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A. वे केवल क्रम में अलग होंगे/They will differ only in order
Step 1
Concept
The Fundamental Theorem of Arithmetic states uniqueness of prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The order of prime factors may change, but the prime factors themselves do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a different factorisation. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता बताता है। चरण 2: एक ही संख्या के अभाज्य गुणनखंड क्रम बदलकर लिखे जा सकते हैं, पर अभाज्य गुणनखंड बदलते नहीं हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग गुणनखंडन मानकर गलती न करें।
Since \(2520=2^3\times3^2\times5\times7\), the full factorisation is \(2^3\times3^2\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite factor like 2520 in the final answer. चरण 1: \(27720=2520\times11\) लिखें। चरण 2: \(2520=2^3\times3^2\times5\times7\), इसलिए पूरा गुणनखंडन \(2^3\times3^2\times5\times7\times11\) है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 2520 जैसा संयुक्त गुणनखंड नहीं छोड़ना चाहिए।
For HCF, take the smaller powers of only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The common prime factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^2\) and \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(2^2\times3^3=4\times27=108\), so the answer is 108. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए केवल समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^2\) और \(3^3\) हैं। चरण 3: \(2^2\times3^3=4\times27=108\), इसलिए उत्तर 108 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^4\), \(3^5\), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
\(16\times243\times25\times7=680400\), so the answer is 680400. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: बड़ी घातें \(2^4\), \(3^5\), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: \(16\times243\times25\times7=680400\), इसलिए उत्तर 680400 है।
Use this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(60480\div72=840\) होगा। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें।
In such questions, first notice that exactly two numbers are involved. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(45\times1260=56700\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पहचानें कि दो संख्याओं की बात हो रही है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes it 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(1800=18\times100=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 5 is 1.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 5 makes all remaining exponents even, so the smallest number is 5. चरण 1: \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\) होता है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, लेकिन 5 की घात 1 है। चरण 3: 5 से भाग देने पर शेष घातें सम रहेंगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 5 है।
For a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
The exponent of 5 is 2, so one more 5 is needed; the smallest number is 5. चरण 1: \(5400=54\times100=2^3\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर अभाज्य घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 की घात 2 है, इसलिए एक 5 और चाहिए; सबसे छोटी संख्या 5 है।
\(21^3\) gives the value, but 21 is not prime, so write the final prime form separately. चरण 1: \(9261=21^3\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(21=3\times7\), इसलिए \(21^3=3^3\times7^3\)। चरण 3: \(21^3\) मान देता है, पर 21 अभाज्य नहीं है, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप अलग लिखें।
For a perfect square, every exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of \(2^5\) and \(7^1\) are odd, while the others are even.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times7=14\) makes all exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए हर घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) और \(7^1\) की घातें विषम हैं, बाकी घातें सम हैं। चरण 3: \(2\times7=14\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
To make powers (4,5,2) into (6,6,3), we need \(2^2\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 4 को 6 बनाने के लिए \(2^2\), 3 की घात 5 को 6 बनाने के लिए (3), और 5 की घात 2 को 3 बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5\) है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 2 and in (b) is 4.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 will be (2+4=6). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 2 है और (b) में 3 की घात 4 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (2+4=6) होगी।
The total power is (1+4=5). चरण 1: (xy) में समान आधार 5 की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 5 की घात 1 है और (y) में 5 की घात 4 है। चरण 3: कुल घात (1+4=5) होगी।
The common factors are 2 and 3; the smaller powers are \(2^5\) and \(3^4\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the HCF is \(2^5\times3^4\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं; छोटी घातें \(2^5\) और \(3^4\) हैं। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3^4\) है।
The highest powers are \(2^8\), \(3^6\), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(2^8\times3^6\times5^2\times7\). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^8\), \(3^6\), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: इसलिए सही रूप \(2^8\times3^6\times5^2\times7\) है।
Product of the two numbers is \(18\times540=9720\).
Step 3
Exam Tip
The other number is \(9720\div90=108\). चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(18\times540=9720\) है। चरण 3: दूसरी संख्या \(9720\div90=108\) होगी।
Product of the two numbers is \(24\times840=20160\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 120, so the other is \(20160\div120=168\).
Step 3
Exam Tip
You can check the answer by confirming that HCF of 120 and 168 is 24. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(24\times840=20160\) होगा। चरण 2: एक संख्या 120 है, इसलिए दूसरी संख्या \(20160\div120=168\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 120 और 168 का महत्तम समापवर्तक 24 देख सकते हैं।
Comparing with the given form gives (a=4). चरण 1: 720 का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(720=72\times10=2^4\times3^2\times5\)। चरण 3: दिए गए रूप से तुलना करने पर (a=4) है।
\(8=2^3\) and \(189=3^3\times7\), so \(1512=2^3\times3^3\times7\).
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (b=3). चरण 1: \(1512=8\times189\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(189=3^3\times7\), इसलिए \(1512=2^3\times3^3\times7\)। चरण 3: तुलना करने पर (b=3) है।
Total (4+3+2=9), so the answer is 9. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4, \(3^3\) से 3 और \(5^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2=9), इसलिए उत्तर 9 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या में अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या में अभाज्य गुणनखंड 5 और 7 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be (1001). चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1001) होगा।
\(4^6\) and \(16^3\) can give the value, but 4 and 16 are not prime. चरण 1: 4096 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: \(4096=2^{12}\) होता है। चरण 3: \(4^6\) और \(16^3\) मान दे सकते हैं, पर 4 और 16 अभाज्य नहीं हैं।
Since \(105=3\times5\times7\), \(105^2=3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
In perfect squares, every prime exponent is even. चरण 1: \(11025=105^2\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(105^2=3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: पूर्ण वर्गों में हर अभाज्य घात सम होती है।
The prime factorisation of 315 is \(3^2\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 315. चरण 1: 315 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^2\times5\times7\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 315 से अवश्य विभाज्य है।
In (n), the powers are \(2^4\), \(3^1\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), so divisibility by 48 is possible.
Step 3
Exam Tip
\(80=2^4\times5\), \(75=3\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\) are also present; hence all given options divide (n). चरण 1: (n) में 2 की घात 4, 3 की घात 1 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 48 का गुणनखंडन \(2^4\times3\) है, इसलिए 48 से विभाज्यता संभव है। चरण 3: 80 का गुणनखंडन \(2^4\times5\), 75 का \(3\times5^2\), और 150 का \(2\times3\times5^2\) भी मौजूद हैं; इसलिए दिए गए सभी विभाज्य हैं।
In larger products, evaluate powers first and then multiply. चरण 1: \(2^6=64\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(64\times9\times5=2880\)। चरण 3: बड़े गुणन में पहले घातों का मान निकालें, फिर गुणा करें।
Simplifying powers first keeps the calculation safe. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^4=81\), और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times81\times25=16200\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करने से गणना सुरक्षित रहती है।
The higher power is 4, so the answer is 4. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 2 की घातें 2 और 4 हैं। चरण 3: बड़ी घात 4 है, इसलिए उत्तर 4 होगा।
In HCF, take the smaller power of the common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 5 are 1 and 2.
Step 3
Exam Tip
The smaller power is 1, so the answer is 1. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 5 की घातें 1 और 2 हैं। चरण 3: छोटी घात 1 है, इसलिए उत्तर 1 है।
\(63\times63\) gives the product, but it is not prime factorisation. चरण 1: \(3969=63^2\) है। चरण 2: \(63=3^2\times7\), इसलिए \(63^2=3^4\times7^2\)। चरण 3: \(63\times63\) सही गुणनफल है, पर अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We need (2), (3), and \(5^2\) to make the powers (6,3,6).
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए 2, \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए 3, और \(5^4\) को \(5^6\) बनाने के लिए \(5^2\) चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3\times5^2\) है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 2 gives \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 है। चरण 3: 2 से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) मिलेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
In multiplication, add the exponents of the same prime base.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (x) is 2 and in (y) is 3.
Step 3
Exam Tip
In (xy), the power of 3 is (2+3=5). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जोड़ते हैं। चरण 2: (x) में 3 की घात 2 है और (y) में 3 की घात 3 है। चरण 3: (xy) में 3 की घात (2+3=5) होगी।
Powers of the same base 2 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 2 in (x) is 5 and in (y) is 3.
Step 3
Exam Tip
The total power is (5+3=8). चरण 1: समान आधार 2 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 2 की घात 5 और (y) में 2 की घात 3 है। चरण 3: कुल घात (5+3=8) होगी।
The distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, and 11. चरण 1: \(2310=231\times10\) लिखें। चरण 2: \(231=3\times7\times11\) और \(10=2\times5\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।
The smaller powers are \(2^2\), \(3^1\), and \(11^1\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times3\times11=132\), so the HCF is 132. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\), \(3^1\) और \(11^1\) हैं। चरण 3: \(4\times3\times11=132\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 132 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), \(3^2\), (5), and \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times5\times121=43560\), so the answer is 43560. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), \(3^2\), (5) और \(11^2\) हैं। चरण 3: \(8\times9\times5\times121=43560\), इसलिए उत्तर 43560 है।
\(36=2^2\times3^2\) and \(900=2^2\times3^2\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (2+2=4). चरण 1: गुणनफल \(=36\times900\) होगा। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\) और \(900=2^2\times3^2\times5^2\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (2+2=4) होगी।
30 has no factor 11 and \(2310=2\times3\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the power of 11 in the product is (0+1=1). चरण 1: गुणनफल \(=30\times2310\) होगा। चरण 2: 30 में 11 नहीं है और \(2310=2\times3\times5\times7\times11\) है। चरण 3: इसलिए गुणनफल में 11 की घात (0+1=1) होगी।
49 is composite, so \(49^2\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(2401=49\times49\) है। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(2401=7^4\)। चरण 3: 49 संयुक्त है, इसलिए \(49^2\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
In a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) and \(3^5\) cause the issue; reduce them to 0 and 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2^2\times3^2\) gives exponents (0,3,3). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) और \(3^5\) समस्या देते हैं; इन्हें घटाकर क्रमशः 0 और 3 करना होगा। चरण 3: इसलिए \(2^2\times3^2\) से भाग देने पर घातें (0,3,3) बनेंगी।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^3=8\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times5\times7=2520\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
This also follows from prime powers because the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: यह संबंध अभाज्य घातों से भी समझ आता है क्योंकि छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
The ratio is \(288\div24=12\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। चरण 3: अनुपात \(288\div24=12\) होगा।
Powers become \(2^{6}\), \(3^{4}\), and \(5^{3}\).
Step 3
Exam Tip
Counting with repetition gives (6+4+3=13). चरण 1: (xy) में समान आधारों की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: 2 की घात (2+4=6), 3 की घात (3+1=4), और 5 की घात (1+2=3) होगी। चरण 3: दोहराव सहित कुल संख्या (6+4+3=13) है।
The higher power is 3, so the answer is 3. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: 7 की घातें 1 और 3 हैं। चरण 3: बड़ी घात 3 है, इसलिए उत्तर 3 है।
The smaller power is 2, so the answer is 2. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 3 की घातें 2 और 4 हैं। चरण 3: छोटी घात 2 है, इसलिए उत्तर 2 है।
