A. अभाज्य आधार और उनकी घातें क्रम को छोड़कर निश्चित रहती हैं/Prime bases and their powers remain fixed except for order
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime bases and their powers do not change.
Step 3
Exam Tip
Keep only prime factors in the final answer. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन को निश्चित बताता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य आधार और उनकी घातें नहीं बदलतीं। चरण 3: अंतिम उत्तर में केवल अभाज्य गुणनखंड रखें।
A. केवल गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर/Except only for the order of factors
Step 1
Concept
The theorem gives certainty of prime factorisation for numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Prime factors and their powers remain fixed; only their order may change.
Step 3
Exam Tip
In the final answer, do not leave composite factors. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें निश्चित रहती हैं, केवल क्रम बदल सकता है। चरण 3: उत्तर लिखते समय संयुक्त गुणनखंडों को अंतिम रूप में न छोड़ें।
A. क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें वही रहती हैं/The order may change, but the prime factors and their powers remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime bases and their powers do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, लेकिन अभाज्य आधार और उनकी घातें नहीं बदलतीं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. अभाज्य गुणनखंडों का समूह क्रम को छोड़कर निश्चित रहता है/The set of prime factors remains fixed except for order
Step 1
Concept
This theorem says that the prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime factors do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते/The order may change but the prime factors do not change
Step 1
Concept
Uniqueness means the set of prime factors remains fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, so \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) are the same prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat order change as a different answer. चरण 1: अद्वितीयता का अर्थ है कि अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित रहता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) एक ही अभाज्य गुणनखंडन माने जाते हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग उत्तर मानने की गलती न करें।
A. वे केवल क्रम में अलग होंगे/They will differ only in order
Step 1
Concept
The Fundamental Theorem of Arithmetic states uniqueness of prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The order of prime factors may change, but the prime factors themselves do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a different factorisation. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता बताता है। चरण 2: एक ही संख्या के अभाज्य गुणनखंड क्रम बदलकर लिखे जा सकते हैं, पर अभाज्य गुणनखंड बदलते नहीं हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग गुणनखंडन मानकर गलती न करें।
A. अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Prime factorisation is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem tells us that prime factorisation is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं/The order of factors may change but the prime factors remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, such as \(2\times3\times5\) and \(5\times2\times3\).
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a different factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times2\times3\)। चरण 3: परीक्षा में क्रम देखकर अलग गुणनखंडन न मानें।
A. यह क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/It is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem says prime factorisation is unique.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change, but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
Understand uniqueness separately from order. चरण 1: प्रमेय बताता है कि अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: अद्वितीयता को क्रम से अलग समझें।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\times5\times3\) and \(3\times2\times5\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the set of factors matters, not the order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: \(2\times5\times3\) और \(3\times2\times5\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में गुणनखंडों का समूह महत्वपूर्ण है, क्रम नहीं।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the factors matter, not their order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में क्रम महत्वपूर्ण नहीं, गुणनखंड महत्वपूर्ण हैं।
A. अभाज्य गुणनखंड क्रम बदलने पर भी वही रहते हैं/Prime factors remain the same even if their order changes
Step 1
Concept
Uniqueness means the set of prime factors is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, such as \(2\times3\) and \(3\times2\), but the factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by the order of factors. चरण 1: अद्वितीयता का अर्थ है कि अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, जैसे \(2\times3\) और \(3\times2\), पर गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: उत्तर में क्रम को लेकर भ्रम न करें।
