A. क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें वही रहती हैं/The order may change, but the prime factors and their powers remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime bases and their powers do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, लेकिन अभाज्य आधार और उनकी घातें नहीं बदलतीं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते/The order may change but the prime factors do not change
Step 1
Concept
Uniqueness means the set of prime factors remains fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, so \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) are the same prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat order change as a different answer. चरण 1: अद्वितीयता का अर्थ है कि अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित रहता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) एक ही अभाज्य गुणनखंडन माने जाते हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग उत्तर मानने की गलती न करें।
In the third option \(4/2 \ne 1/3\) so the lines intersect. Intersecting lines give one unique solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4x+y=8) और (2x+3y=7) / (4x+y=8) and (2x+3y=7). In the third option \(4/2 \ne 1/3\) so the lines intersect. Intersecting lines give one unique solution.
Step 3
Exam Tip
तीसरे विकल्प में \(4/2 \ne 1/3\) इसलिए रेखाएं कटती हैं। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं।
For a unique solution, the ratios of (a) and (b) must be different. This is the condition for intersecting lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(a_1 / a_2 \ne b_1 / b_2\). For a unique solution, the ratios of (a) and (b) must be different. This is the condition for intersecting lines.
Step 3
Exam Tip
अद्वितीय हल के लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। यह intersecting lines की शर्त है।
For (5x-2y=11) and (x+y=7), \(\frac{5}{1}\neq\frac{-2}{1}\), so the lines intersect. Different coefficient ratios give a unique solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5x-2y=11), (x+y=7). For (5x-2y=11) and (x+y=7), \(\frac{5}{1}\neq\frac{-2}{1}\), so the lines intersect. Different coefficient ratios give a unique solution.
Step 3
Exam Tip
(5x-2y=11) और (x+y=7) में \(\frac{5}{1}\neq\frac{-2}{1}\), इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेदी हैं। अलग गुणांक अनुपात अद्वितीय समाधान देता है।
For (3x-y=6) and (x+y=4), \(\frac{3}{1}\neq\frac{-1}{1}\), so the lines intersect. Different coefficient ratios give a unique solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3x-y=6), (x+y=4). For (3x-y=6) and (x+y=4), \(\frac{3}{1}\neq\frac{-1}{1}\), so the lines intersect. Different coefficient ratios give a unique solution.
Step 3
Exam Tip
(3x-y=6) और (x+y=4) में \(\frac{3}{1}\neq\frac{-1}{1}\), इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेदी हैं। अलग गुणांक अनुपात अद्वितीय समाधान देता है।
In (x+3y=10) and (3x+y=10), coefficient ratios are not equal. Hence the lines intersect at one point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x+3y=10) और (3x+y=10) / (x+3y=10) and (3x+y=10). In (x+3y=10) and (3x+y=10), coefficient ratios are not equal. Hence the lines intersect at one point.
Step 3
Exam Tip
(x+3y=10) और (3x+y=10) में गुणांक अनुपात समान नहीं हैं। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी।
In (x+2y=7) and (2x+y=8), the coefficient ratios are not equal. Hence the lines will intersect at one point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x+2y=7) और (2x+y=8) / (x+2y=7) and (2x+y=8). In (x+2y=7) and (2x+y=8), the coefficient ratios are not equal. Hence the lines will intersect at one point.
Step 3
Exam Tip
(x+2y=7) और (2x+y=8) में गुणांक अनुपात समान नहीं हैं। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
Link uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें।
A. केवल गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर/Except only for the order of factors
Step 1
Concept
The theorem gives certainty of prime factorisation for numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Prime factors and their powers remain fixed; only their order may change.
Step 3
Exam Tip
In the final answer, do not leave composite factors. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें निश्चित रहती हैं, केवल क्रम बदल सकता है। चरण 3: उत्तर लिखते समय संयुक्त गुणनखंडों को अंतिम रूप में न छोड़ें।
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Every base must be prime; writing powers alone is not enough. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं।
A. अभाज्य गुणनखंडों का समूह क्रम को छोड़कर निश्चित रहता है/The set of prime factors remains fixed except for order
Step 1
Concept
This theorem says that the prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime factors do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. यह क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/It is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem says prime factorisation is unique.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change, but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
Understand uniqueness separately from order. चरण 1: प्रमेय बताता है कि अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: अद्वितीयता को क्रम से अलग समझें।
Changing the order in multiplication does not change the product.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\times5\times3\) and \(3\times2\times5\) both give 30.
Step 3
Exam Tip
In prime factorisation, the set of factors matters, not the order. चरण 1: गुणा में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: \(2\times5\times3\) और \(3\times2\times5\) दोनों 30 देते हैं। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में गुणनखंडों का समूह महत्वपूर्ण है, क्रम नहीं।
D. लोकटक की फुमदी पारिस्थितिकी/Loktak phumdi ecology
Step 1
Concept
Keibul Lamjao is linked with the phumdi ecology of Loktak Lake. For exams remember it as a floating national park.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. लोकटक की फुमदी पारिस्थितिकी / Loktak phumdi ecology. Keibul Lamjao is linked with the phumdi ecology of Loktak Lake. For exams remember it as a floating national park.
Step 3
Exam Tip
केइबुल लामजाओ लोकटक झील की फुमदी पारिस्थितिकी से जुड़ा है। परीक्षा में इसे तैरता राष्ट्रीय उद्यान याद रखें।
D. यह लोकटक झील के फुमदी क्षेत्र से जुड़ा तैरता राष्ट्रीय उद्यान है/It is a floating national park linked with the phumdi area of Loktak Lake
Step 1
Concept
Keibul Lamjao is linked with the phumdi area of Loktak Lake. For exams connect it with Manipur's special lake ecology.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. यह लोकटक झील के फुमदी क्षेत्र से जुड़ा तैरता राष्ट्रीय उद्यान है / It is a floating national park linked with the phumdi area of Loktak Lake. Keibul Lamjao is linked with the phumdi area of Loktak Lake. For exams connect it with Manipur's special lake ecology.
Step 3
Exam Tip
केइबुल लामजाओ लोकटक झील के फुमदी क्षेत्र से जुड़ा है। परीक्षा में इसे मणिपुर की विशेष झील पारिस्थितिकी से जोड़ें।
C. क्योंकि उन्होंने रेडियोधर्मिता शोध में अग्रणी योगदान दिया और दो नोबेल पुरस्कारों से जुड़ीं/Because she pioneered radioactivity research and was linked with two Nobel Prizes
Step 1
Concept
Marie Curie symbolizes radioactivity research and scientific dedication. Exam tip: remember her as a pioneering woman in science.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि उन्होंने रेडियोधर्मिता शोध में अग्रणी योगदान दिया और दो नोबेल पुरस्कारों से जुड़ीं / Because she pioneered radioactivity research and was linked with two Nobel Prizes. Marie Curie symbolizes radioactivity research and scientific dedication. Exam tip: remember her as a pioneering woman in science.
Step 3
Exam Tip
मैरी क्यूरी रेडियोधर्मिता और वैज्ञानिक समर्पण की प्रतीक हैं। परीक्षा में उन्हें विज्ञान में अग्रणी महिला के रूप में याद रखें।
A. सरकार नियोक्ता और कामगार प्रतिनिधियों का संयुक्त प्रतिनिधित्व/Joint representation of governments employers and workers
Step 1
Concept
The ILO gives representation to three sides in labour matters. Exam tip: link it with labour rights and social justice.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरकार नियोक्ता और कामगार प्रतिनिधियों का संयुक्त प्रतिनिधित्व / Joint representation of governments employers and workers. The ILO gives representation to three sides in labour matters. Exam tip: link it with labour rights and social justice.
Step 3
Exam Tip
आई एल ओ श्रम मुद्दों में तीन पक्षों को प्रतिनिधित्व देता है। परीक्षा में इसे श्रमिक अधिकार और सामाजिक न्याय से जोड़ें।
C. इसने दास विद्रोह को स्वतंत्र अश्वेत गणराज्य में बदल दिया/It turned a slave uprising into an independent Black republic
Step 1
Concept
The Haitian Revolution challenged both slavery and colonialism. Exam tip: remember it as a successful slave revolution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. इसने दास विद्रोह को स्वतंत्र अश्वेत गणराज्य में बदल दिया / It turned a slave uprising into an independent Black republic. The Haitian Revolution challenged both slavery and colonialism. Exam tip: remember it as a successful slave revolution.
Step 3
Exam Tip
हैती क्रांति ने दासता और उपनिवेशवाद दोनों को चुनौती दी। परीक्षा में इसे सफल दास क्रांति के रूप में याद रखें।
A. ऊपर से नीचे शैल काटकर निर्माण/Rock carving from top to bottom
Step 1
Concept
Kailasa Temple is an exceptional monolithic rock-cut structure. In exams connect it with Rashtrakuta Krishna I.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ऊपर से नीचे शैल काटकर निर्माण / Rock carving from top to bottom. Kailasa Temple is an exceptional monolithic rock-cut structure. In exams connect it with Rashtrakuta Krishna I.
Step 3
Exam Tip
कैलाश मंदिर एकाश्मक शैलकृत निर्माण का असाधारण उदाहरण है। परीक्षा में इसे राष्ट्रकूट कृष्ण प्रथम से जोड़ें।
D. क्योंकि इसने सेवा, अनुशासन और अहिंसा पर आधारित संगठन बनाया/Because it built an organisation based on service, discipline and non-violence
Step 1
Concept
Khan Abdul Ghaffar Khan led a non-violent Pashtun movement. Exam tip: remember Frontier Gandhi and Red Shirts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. क्योंकि इसने सेवा, अनुशासन और अहिंसा पर आधारित संगठन बनाया / Because it built an organisation based on service, discipline and non-violence. Khan Abdul Ghaffar Khan led a non-violent Pashtun movement. Exam tip: remember Frontier Gandhi and Red Shirts.
Step 3
Exam Tip
खान अब्दुल गफ्फार खान ने अहिंसक पख्तून आंदोलन चलाया। परीक्षा में सीमांत गांधी और लाल कुर्ती याद रखें।
For non-unique solutions, the determinant must be zero. From ((k-3)k-8=0), \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\). For non-unique solutions, the determinant must be zero. From ((k-3)k-8=0), \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\).
Step 3
Exam Tip
अद्वितीय न होने के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए। ((k-3)k-8=0) से \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\) मिलता है।
For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) is required. Hence \(n\neq4\) is the correct exam condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(n\neq4\). For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) is required. Hence \(n\neq4\) is the correct exam condition.
Step 3
Exam Tip
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) चाहिए। अतः \(n\neq4\) परीक्षा में सही शर्त है।
\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, carefully choose the smaller powers. चरण 1: \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। चरण 2: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। चरण 3: ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें।
\(49 \times 7\) gives the value, but it is not final prime factorisation. चरण 1: (343) को \(7 \times 49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(343=7^3\)। चरण 3: \(49 \times 7\) मान देता है, पर अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
\(4^5\) gives the value, but prime factorisation must use base (2). चरण 1: (1024) को (2) की घात के रूप में पहचानें। चरण 2: \(1024=2^{10}\) होता है। चरण 3: \(4^5\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन में आधार (2) होना चाहिए।
\(125=5^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(1250=2 \times 5^4\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep (10) in the final form because it is not prime. चरण 1: (1250) को \(125 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1250=2 \times 5^4\)। चरण 3: (10) को अंतिम रूप में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
A divisor's prime exponents must not exceed the given number's exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4 \times 3^2\), which is fully contained in \(2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: भाजक की अभाज्य घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(144=2^4 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^3\) में पूरा मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
(21) is not prime because \(21=3 \times 7\), so the third option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Always identify hidden composite numbers in options. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (21) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(21=3 \times 7\), इसलिए तीसरा विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: विकल्पों में छिपी संयुक्त संख्याएं जरूर पहचानें।
For larger powers, split the number into familiar cubes. चरण 1: \(729=27 \times 27\) है। चरण 2: \(27=3^3\), इसलिए \(729=3^3 \times 3^3=3^6\)। चरण 3: बड़ी घातों के लिए संख्या को पहचाने हुए घनों में तोड़ें।
An even number must contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check evenness. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल चौथे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
An odd number does not contain (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (5), but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes the number even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (5) हैं, लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
Do not leave (49) in the final answer because it is not prime. चरण 1: (245) को \(5 \times 49\) लिखें। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(245=5 \times 7^2\)। चरण 3: (49) को अंतिम उत्तर में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
Evaluating powers first makes the calculation simple. चरण 1: \(2^2=4\) और \(3^2=9\) है। चरण 2: \(4 \times 9 \times 11=36 \times 11=396\)। चरण 3: पहले घातों को हल करना गणना को सरल बनाता है।
\(4=2^2\) and \(81=3^4\), so \(324=2^2 \times 3^4\).
Step 3
Exam Tip
Identify the required exponent separately in the final answer. चरण 1: (324) को \(4 \times 81\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(81=3^4\), इसलिए \(324=2^2 \times 3^4\)। चरण 3: मांगी गई घात को अंतिम उत्तर में अलग से पहचानें।
\(27=3^3\) and \(25=5^2\), so \(675=3^3 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a number into familiar squares and cubes is a good method. चरण 1: (675) को \(27 \times 25\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\) और \(25=5^2\), इसलिए \(675=3^3 \times 5^2\)। चरण 3: संख्या को आसान वर्ग और घन में तोड़ना अच्छा तरीका है।
Remembering powers of (2) saves time in such questions. चरण 1: (384) को \(128 \times 3\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\), इसलिए \(384=2^7 \times 3\)। चरण 3: (2) की बड़ी घातों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है।
Do not leave (25) in the final form because it is not prime. चरण 1: (275) को \(25 \times 11\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(275=5^2 \times 11\)। चरण 3: (25) को अंतिम रूप में न छोड़ें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
Repeated division by the same prime helps find its exponent. चरण 1: (224) को \(32 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(224=2^5 \times 7\)। चरण 3: किसी अभाज्य की घात जानने के लिए उसी अभाज्य से बार-बार भाग देना उपयोगी है।
\(12=2^2 \times 3\), so \(132=2^2 \times 3 \times 11\).
Step 3
Exam Tip
Always check that all bases in the final answer are prime. चरण 1: (132) को \(12 \times 11\) लिखें। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\), इसलिए \(132=2^2 \times 3 \times 11\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में सभी आधार अभाज्य हैं या नहीं, यह जरूर जांचें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें।
\(9^2\) is not final prime factorisation because (9) is not prime. चरण 1: \(81=9 \times 9\) है। चरण 2: \(9=3^2\), इसलिए \(81=3^2 \times 3^2=3^4\)। चरण 3: \(9^2\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (9) अभाज्य नहीं है।
\(8^3\) may give the value, but prime factorisation must use base (2). चरण 1: (512) को \(64 \times 8\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(8=2^3\), इसलिए \(512=2^9\)। चरण 3: \(8^3\) मान के लिए सही हो सकता है, पर अभाज्य गुणनखंडन में आधार (2) होना चाहिए।
Since \(10=2 \times 5\), (103=\(2 \times 5\)3=23 \times 53).
Step 3
Exam Tip
\(10^3\) is not final prime factorisation because (10) is not prime. चरण 1: \(1000=10^3\) है। चरण 2: \(10=2 \times 5\), इसलिए (103=\(2 \times 5\)3=23 \times 53)। चरण 3: \(10^3\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (10) अभाज्य नहीं है।
For a divisor, its prime exponents must not exceed the available exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in the given number.
Step 3
Exam Tip
To test divisibility, match each prime exponent separately. चरण 1: किसी भाजक के लिए उसकी अभाज्य घातें उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो पूरी तरह दी गई संख्या में मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता जांचने में हर अभाज्य की घात अलग से मिलाएं।
(15) is not prime because \(15=3 \times 5\), so the third option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Identify hidden composite numbers in the options. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: (15) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(15=3 \times 5\), इसलिए तीसरा विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: विकल्प में छिपी संयुक्त संख्याओं को पहचानें।
You can also divide repeatedly by (5) to find the exponent. चरण 1: \(625=25 \times 25\) है। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(625=5^2 \times 5^2=5^4\)। चरण 3: (5) की घात जानने के लिए (5) से बार-बार भाग भी कर सकते हैं।
Only the third option contains (2), so it represents an even number.
Step 3
Exam Tip
To check evenness, calculating the whole number is not necessary. चरण 1: सम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) मौजूद है, इसलिए वही सम संख्या को दर्शाता है। चरण 3: समता जांचने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं है।
An odd number does not contain (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The second option has (3) and (7) but no (2), so it is odd.
Step 3
Exam Tip
The presence of (2) makes a number even. चरण 1: विषम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) नहीं होता। चरण 2: दूसरे विकल्प में (3) और (7) हैं लेकिन (2) नहीं है, इसलिए वह विषम संख्या है। चरण 3: (2) की उपस्थिति संख्या को सम बना देती है।
\(25 \times 7\) gives the value, but it is not final prime factorisation. चरण 1: (175) को \(25 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(175=5^2 \times 7\)। चरण 3: \(25 \times 7\) मान देता है, पर अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
Calculate the number yourself before checking the options. चरण 1: \(2^4=16\) होता है। चरण 2: \(16 \times 3 \times 5=16 \times 15=240\)। चरण 3: विकल्पों में जाने से पहले स्वयं संख्या निकालें।
\(32=2^5\) and \(9=3^2\), so \(288=2^5 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Clearly identify the required exponent in the final answer. चरण 1: (288) को \(32 \times 9\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(9=3^2\), इसलिए \(288=2^5 \times 3^2\)। चरण 3: मांगी गई घात को अंतिम उत्तर में साफ पहचानें।
\(16=2^4\) and \(27=3^3\), so \(432=2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
Recognising squares and cubes makes factorisation faster. चरण 1: (432) को \(16 \times 27\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(27=3^3\), इसलिए \(432=2^4 \times 3^3\)। चरण 3: वर्ग और घन संख्याएं पहचानना अभाज्य गुणनखंडन को तेज बनाता है।
