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दो चरों \(x\) और \(y\) के लिए समीकरण \(5x+5y=140\) तथा \(6x-6y=24\) दिए गए हैं। ग्राफीय विधि में इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु, अर्थात् समाधान, क्या होगा?
पहले समीकरण को 5 और दूसरे को 6 से भाग देने पर \(x+y=28\) तथा \(x-y=4\) प्राप्त होते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2x=32\), इसलिए \(x=16\); तब \(y=12\) मिलता है। अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु \((16,12)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट गए हैं; उसमें \(x+y=28\) तो सही है, लेकिन \(x-y=-4\) हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफीय विधि में रेखाओं का साझा बिंदु ही युग्मित रैखिक समीकरणों का समाधान होता है। / Dividing the first equation by 5 and the second by 6 gives \(x+y=28\) and \(x-y=4\). Adding these equations yields \(2x=32\), so \(x=16\), and consequently \(y=12\). Therefore, the intersection point of the two lines is \((16,12)\). In option B, the coordinates are reversed; it satisfies \(x+y=28\) but gives \(x-y=-4\), so it is incorrect. Exam tip: In the graphical method, the common point of the two lines represents the solution of the pair of equations.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=126)। संपाती रेखाओं में स्थिर पद भी उसी अनुपात में बदलता है। / The second equation must be (3) times the first, so (k=126). In coincident lines, the constant term also changes in the same ratio.
((2,8)) रखने पर \(13\cdot2+4\cdot8=58\), जो (52) नहीं है। ग्राफ बनाने से पहले हर बिंदु को समीकरण में जांचें। / Substituting ((2,8)) gives \(13\cdot2+4\cdot8=58\), not (52). Check every point in the equation before drawing the graph.
समांतर के लिए \(\frac{9}{27}=\frac{2}{m}\), इसलिए (m=6)। क्योंकि \(\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}\), रेखाएं संपाती नहीं हैं। / For parallel lines, \(\frac{9}{27}=\frac{2}{m}\), so (m=6). Since \(\frac{18}{55}\neq\frac{1}{3}\), the lines are not coincident.
ग्राफीय विधि में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन-बिंदु ही दोनों समीकरणों का साझा हल होता है। समीकरण \(x+y=5\) से \(y=5-x\)। इसे \(5x-y=19\) में रखने पर \(5x-(5-x)=19\), अर्थात \(6x=24\), इसलिए \(x=4\) और \(y=1\)। अतः \((p,q)=(4,1)\) तथा \(p-q=4-1=3\), इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा-युक्ति: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन-बिंदु के निर्देशांक दोनों रैखिक समीकरणों का युग्मित हल होते हैं। / In the graphical method, the intersection point of the two lines represents the common solution of both equations. From \(x+y=5\), we get \(y=5-x\). Substituting this in \(5x-y=19\) gives \(5x-(5-x)=19\), so \(6x=24\) and \(x=4\). Consequently, \(y=1\), hence \((p,q)=(4,1)\) and \(p-q=4-1=3\). Therefore, option C is correct. Exam tip: the coordinates of the intersection of two lines give the simultaneous solution of their equations.
प्रतिच्छेद-बिंदु (r,s) दोनों रेखाओं पर स्थित है, इसलिए उसके निर्देशांक दोनों समीकरणों को संतुष्ट करेंगे। (r-s=1) से (s=r-1)। इसे पहले समीकरण में रखने पर (4r+r-1=29), अर्थात (5r=30) और (r=6) मिलता है। अतः (s=5) तथा (r+s=6+5=11)। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दोनों रेखीय समीकरणों को एक साथ हल करें। / The intersection point (r,s) lies on both lines, so its coordinates satisfy both equations. From (r-s=1), we get (s=r-1). Substituting this into the first equation gives (4r+r-1=29), so (5r=30) and (r=6). Hence (s=5) and (r+s=6+5=11). Therefore, option C is correct. Exam tip: To find the intersection point, solve the two linear equations simultaneously.
गुणांक का अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए संपाती होने के लिए (k=90) चाहिए। (k=88) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\), so coincidence needs (k=90). For (k=88), the lines are distinct and parallel.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3a=18) और (a=6)। अनुपात जांच में स्थिर पद भी शामिल करें। / The second equation is (3) times the first, so (3a=18) and (a=6). Include the constant term in ratio checking.
समीकरण (x+y=154) और (x-y=22) हैं। इन्हें हल करने पर (x=88), (y=66), जो ग्राफ का प्रतिच्छेद है। / The equations are (x+y=154) and (x-y=22). Solving gives (x=88), (y=66), which is the graph intersection.
\(\frac{3}{6}=\frac{-8}{-16}\neq\frac{11}{25}\), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। ऐसे युग्म का कोई समाधान नहीं होता। / \(\frac{3}{6}=\frac{-8}{-16}\neq\frac{11}{25}\), so the lines are distinct and parallel. Such a pair has no solution.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3x+4y=36) पर हर बिंदु समाधान है। ((4,6)) इस रेखा पर है। / The second equation is (3) times the first, so every point on (3x+4y=36) is a solution. ((4,6)) lies on this line.
दिए गए समीकरण से \(5y=-10x+25\), अतः \(y=-2x+5\)। अब इसकी तुलना \(y=mx+c\) से करने पर \(m=-2\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा में ढाल ज्ञात करने के लिए पहले \(y\) को अकेला करें। / From the given equation, \(5y=-10x+25\), so \(y=-2x+5\). Comparing this with \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) gives the slope \(m=-2\); therefore, option B is correct. Option A misses the negative sign. In an exam, isolate \(y\) first to identify the slope directly.
C. समाधान सेट वही रेखा (7x+8y=56) है/The solution set is the line (7x+8y=56)
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। समाधान उसी रेखा के सभी बिंदु हैं, पूरा तल नहीं। / The second equation is (2) times the first, so both are the same line. The solution is all points on that line, not the whole plane.
((-4,1)) रखने पर (x+y=-3) और (2x-y=-9) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखना सबसे तेज जांच है। / Substituting ((-4,1)) makes (x+y=-3) and (2x-y=-9) both true. Substituting the intersection point in both equations is the fastest check.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत समाधान देती हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore the lines are coincident and give infinitely many solutions.
((4,3)) रखने पर (2x+5y=31) और (3x-y=9) नहीं; सही साझा बिंदु (\left\(\frac{66}{17},\frac{79}{17}\right\)) है। सही उत्तर चुनने से पहले दोनों समीकरणों में जांच करें। / Substituting ((4,3)) gives (2x+5y=31) but not (3x-y=7); the true common point is (\left\(\frac{66}{17},\frac{79}{17}\right\)). Verify in both equations before choosing.
((4,3)) रखने पर (2x+5y=23) नहीं, इसलिए यह गलत होता; सही हल (\left\(\frac{64}{17},\frac{73}{17}\right\)) है। विकल्प जांचते समय दोनों समीकरणों में बिंदु रखना जरूरी है। / Substituting ((4,3)) does not give (2x+5y=29), so it is not correct; the true solution is (\left\(\frac{64}{17},\frac{73}{17}\right\)). Check a point in both equations.
दो अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं होता और इसे असंगत युग्म कहा जाता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि प्रतिच्छेद बिंदु तभी होगा जब रेखाएँ एक-दूसरे को काटें। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में अलग-अलग समांतर रेखाएँ दिखें तो हलों की संख्या शून्य लिखें। / Two distinct parallel lines never intersect, so they have no common point. Therefore, the pair has no solution and is called an inconsistent pair. Option B is incorrect because an intersection point exists only when the lines meet. Exam tip: distinct parallel lines represent zero solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए (4k=20) और (k=5)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (4) times the first, so (4k=20) and (k=5). For infinite solutions, the lines must be coincident.
पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 4 से भाग देने पर x + y = 33 तथा x − y = 7 प्राप्त होते हैं। दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद-बिंदु के लिए इन समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 40, अतः x = 20 और y = 13 मिलता है। इसलिए ग्राफीय हल (20, 13) है। विकल्प B में x और y के मान उलट गए हैं; वहाँ x − y = −7 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु ही युग्मित रेखीय समीकरणों का हल होता है। / Dividing the first equation by 3 and the second by 4 gives x + y = 33 and x − y = 7. Adding these equations gives 2x = 40, so x = 20 and y = 13. Therefore, the intersection point of the two lines, and hence the graphical solution, is (20, 13). Option B reverses the coordinates; for (13, 20), x − y = −7, so it is incorrect. Exam tip: the point where the two graphs intersect represents the solution of the pair of linear equations.
समीकरण (x+y=74) और (x-y=16) हैं, जिनसे (x=45), (y=29)। शब्द-प्रश्न में पहले चर स्पष्ट तय करें। / The equations are (x+y=74) and (x-y=16), giving (x=45), (y=29). In word problems, first define the variables clearly.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (m=21)। संपाती रेखा में (y) का गुणांक भी उसी अनुपात में बदलता है। / The second equation is (3) times the first, so (m=21). In a coincident line, the coefficient of (y) also changes in the same ratio.
((4,3)) रखने पर (20+33=53), जो (55) नहीं है। गलत बिंदु से ग्राफ गलत रेखा दिखा सकता है। / Substituting ((4,3)) gives (20+33=53), not (55). A wrong point can make the graph show a wrong line.
पहला समीकरण दूसरे का (4) गुना होना चाहिए, इसलिए (a=20)। संपाती रेखाओं में सभी पद समान गुणक से बदलते हैं। / The first equation must be (4) times the second, so (a=20). In coincident lines, all terms change by the same multiplier.
\(\frac{9}{3}=\frac{12}{4}\neq\frac{45}{20}\), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। अनुपातों में स्थिर पद को भी देखें। / \(\frac{9}{3}=\frac{12}{4}\neq\frac{45}{20}\), so the lines are distinct and parallel. Check the constant term ratio also.
((-1,6)) रखने पर (2x+y=4) और (x-y=-7) दोनों सही हैं। प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं पर होना चाहिए। / Substituting ((-1,6)) makes (2x+y=4) and (x-y=-7) both true. The intersection point must lie on both lines.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{2}\) है; संपाती होने के लिए (k=54) चाहिए। (k=50) पर रेखाएं समांतर अलग-अलग होंगी। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{2}\); coincidence needs (k=54). For (k=50), the lines will be distinct and parallel.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (3p=96) और (p=32)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (3) times the first. Therefore (3p=96) and (p=32).
\(\frac{7}{14}=\frac{-3}{-6}\neq\frac{18}{41}\), इसलिए रेखाएं समांतर अलग-अलग हैं। असंगत युग्म का कोई समाधान नहीं होता। / \(\frac{7}{14}=\frac{-3}{-6}\neq\frac{18}{41}\), so the lines are distinct and parallel. An inconsistent pair has no solution.
समान ढाल और अलग (y)-अवरोध वाली रेखाएं समांतर होती हैं। इसलिए उनका कोई प्रतिच्छेद नहीं होता। / Lines with equal slopes and different (y)-intercepts are parallel. Therefore they have no intersection.
