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simultaneous equations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दो चरों \(x\) और \(y\) के लिए समीकरण \(5x+5y=140\) तथा \(6x-6y=24\) दिए गए हैं। ग्राफीय विधि में इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु, अर्थात् समाधान, क्या होगा?
पहले समीकरण को 5 और दूसरे को 6 से भाग देने पर \(x+y=28\) तथा \(x-y=4\) प्राप्त होते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2x=32\), इसलिए \(x=16\); तब \(y=12\) मिलता है। अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु \((16,12)\) है। विकल्प B में निर्देशांक उलट गए हैं; उसमें \(x+y=28\) तो सही है, लेकिन \(x-y=-4\) हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफीय विधि में रेखाओं का साझा बिंदु ही युग्मित रैखिक समीकरणों का समाधान होता है। / Dividing the first equation by 5 and the second by 6 gives \(x+y=28\) and \(x-y=4\). Adding these equations yields \(2x=32\), so \(x=16\), and consequently \(y=12\). Therefore, the intersection point of the two lines is \((16,12)\). In option B, the coordinates are reversed; it satisfies \(x+y=28\) but gives \(x-y=-4\), so it is incorrect. Exam tip: In the graphical method, the common point of the two lines represents the solution of the pair of equations.
ग्राफीय विधि में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन-बिंदु ही दोनों समीकरणों का साझा हल होता है। समीकरण \(x+y=5\) से \(y=5-x\)। इसे \(5x-y=19\) में रखने पर \(5x-(5-x)=19\), अर्थात \(6x=24\), इसलिए \(x=4\) और \(y=1\)। अतः \((p,q)=(4,1)\) तथा \(p-q=4-1=3\), इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा-युक्ति: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन-बिंदु के निर्देशांक दोनों रैखिक समीकरणों का युग्मित हल होते हैं। / In the graphical method, the intersection point of the two lines represents the common solution of both equations. From \(x+y=5\), we get \(y=5-x\). Substituting this in \(5x-y=19\) gives \(5x-(5-x)=19\), so \(6x=24\) and \(x=4\). Consequently, \(y=1\), hence \((p,q)=(4,1)\) and \(p-q=4-1=3\). Therefore, option C is correct. Exam tip: the coordinates of the intersection of two lines give the simultaneous solution of their equations.
पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 4 से भाग देने पर x + y = 33 तथा x − y = 7 प्राप्त होते हैं। दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद-बिंदु के लिए इन समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 40, अतः x = 20 और y = 13 मिलता है। इसलिए ग्राफीय हल (20, 13) है। विकल्प B में x और y के मान उलट गए हैं; वहाँ x − y = −7 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु ही युग्मित रेखीय समीकरणों का हल होता है। / Dividing the first equation by 3 and the second by 4 gives x + y = 33 and x − y = 7. Adding these equations gives 2x = 40, so x = 20 and y = 13. Therefore, the intersection point of the two lines, and hence the graphical solution, is (20, 13). Option B reverses the coordinates; for (13, 20), x − y = −7, so it is incorrect. Exam tip: the point where the two graphs intersect represents the solution of the pair of linear equations.
दोनों समीकरणों को हल करने पर (x=14) और (y=9) मिलता है। ग्राफ में दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((14,9)) होगा। / Solving both equations gives (x=14) and (y=9). On the graph, the intersection of the two lines will be ((14,9)).
पहले समीकरणों को सरल करने पर \(x+y=36\) और \(x-y=6\) प्राप्त होते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर \(2x=42\), इसलिए \(x=21\)। तब \(y=36-21=15\)। अतः दोनों ग्राफों का प्रतिच्छेद-बिंदु \((21,15)\) है। विकल्प B में x और y के मान उलट दिए गए हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफीय विधि में प्रतिच्छेद-बिंदु ही दोनों समीकरणों का साझा हल होता है। / Simplifying the equations gives \(x+y=36\) and \(x-y=6\). Adding them yields \(2x=42\), so \(x=21\). Substituting this into \(x+y=36\) gives \(y=15\). Therefore, the graphs intersect at \((21,15)\). Option B incorrectly reverses the values of x and y, so it is not the solution. Exam tip: In the graphical method, the point of intersection represents the common solution of both equations.
A. बिंदु/Point: \\(\left(\frac{25}{7},\frac{37}{7}\right)\\)
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से \\(y=4x-9\\)। इसे दूसरे समीकरण में रखने पर \\(2x+3(4x-9)=23\\), इसलिए \\(14x=50\\) और \\(x=\frac{25}{7}\\)। तब \\(y=4\left(\frac{25}{7}\right)-9=\frac{37}{7}\\)। अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु \\(\left(\frac{25}{7},\frac{37}{7}\right)\\) है। विकल्प B में निर्देशांकों का क्रम उलट गया है और वह समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: प्राप्त बिंदु को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the first equation, \\(y=4x-9\\). Substituting this in the second equation gives \\(2x+3(4x-9)=23\\), so \\(14x=50\\) and \\(x=\frac{25}{7}\\). Therefore, \\(y=4\left(\frac{25}{7}\right)-9=\frac{37}{7}\\). Hence, the intersection point of the two lines is \\(\left(\frac{25}{7},\frac{37}{7}\right)\\). In option B, the coordinates are interchanged, so the point does not satisfy the equations. Exam tip: Always substitute the intersection point into both original equations to verify it.
दोनों समीकरणों को घटाने पर \(x=4\) प्राप्त होता है। इसे \(x+3y=10\) में रखने पर \(4+3y=10\), इसलिए \(y=2\)। अतः रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \((4,2)\) है। विकल्प \((2,4)\) में पहला समीकरण तो संतुष्ट होता है, लेकिन \(2(2)+3(4)=16\neq14\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में बिंदु जाँचने के लिए उसके दोनों निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में अवश्य रखें। / Subtracting the first equation from the second gives \(x=4\). Substituting this into \(x+3y=10\) gives \(4+3y=10\), so \(y=2\). Therefore, the lines intersect at \((4,2)\). The distractor \((2,4)\) satisfies the first equation but gives \(2(2)+3(4)=16\neq14\), so it is not the common solution. In an exam, verify an intersection point in both equations.
दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने पर, पहले समीकरण में से दूसरे को घटाने पर \(x=3\) मिलता है। अब \(x+y=8\) में \(x=3\) रखने पर \(y=5\) प्राप्त होता है। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((3,5)\) है। जाँच: \(2(3)+5=11\) और \(3+5=8\)। ग्राफ़ीय विधि में दोनों रेखाओं का साझा बिंदु ही युग्म का हल होता है। / Subtracting the second equation from the first gives \(x=3\). Substituting this into \(x+y=8\) gives \(y=5\). Therefore, the intersection point is \((3,5)\). Check: \(2(3)+5=11\) and \(3+5=8\). In the graphical method, the common point of the two lines represents the solution of the pair. Exam tip: verify both coordinates in both equations.
शर्तों से (a+b=-7) और (4a-2b=2), इसलिए (a=-2), (b=-5) और (a-b=3)। सही गणना से (a-b=3) मिलता है। / The conditions give (a+b=-7) and (4a-2b=2), so (a=-2), (b=-5), and (a-b=3). The correct value is (3).
शर्तों से (1+a+b=0) और (4+2a+b=0), इसलिए (a=-3), (b=2) और (a+b=-1)। सही विकल्प (-1) है। / The conditions give (1+a+b=0) and (4+2a+b=0), so (a=-3), (b=2), and (a+b=-1). The correct option is (-1).
