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गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) से (s=7) है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) gives (s=7). The constant ratio is not equal.
अनंत हलों में \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\) होता है। इसलिए (q=6) सही मान है। / For infinitely many solutions, \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\). Therefore, (q=6) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) से (p=4) है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) gives (p=4). The constant ratio is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (n=6) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (n=6).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) से (k=4) है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) gives (k=4). The constant ratio is different.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) से (i=9) आता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) gives (i=9). The constant ratio is not equal.
अनंत हलों के लिए \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) होना चाहिए। इससे (g=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) must hold. This gives (g=5).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) बनाने के लिए (f=5) चाहिए। स्थिर पद अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं होगा। / To make the coefficient ratio \(\frac{1}{4}\), (f=5) is required. The different constant ratio gives no solution.
अनंत हलों में \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) होना चाहिए। इसलिए (d=5) सही है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) must hold. So (d=5) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) से (c=3) आता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{10}\) अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) gives (c=3). The constant ratio \(\frac{5}{10}\) is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) होना चाहिए। इससे (b=4) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) must hold. This gives (b=4).
दो रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल तभी नहीं होगा जब गुणांकों का निर्धारक शून्य हो: \((z+2)(z-1)-3\times6=0\)। अतः \(z^2+z-20=0\), अर्थात् \((z+5)(z-4)=0\)। इसलिए \(z=4\) या \(z=-5\), यानी विकल्प C सही है। ध्यान रखें कि अद्वितीयता जाँचने के लिए पहले \(a_1b_2-a_2b_1\) को शून्य रखा जाता है। / A pair of linear equations does not have a unique solution when the determinant of the coefficient matrix is zero: \((z+2)(z-1)-3\times6=0\). Thus, \(z^2+z-20=0\,\), or \((z+5)(z-4)=0\). Therefore, \(z=4\) or \(z=-5\), so option C is correct. Exam tip: to test uniqueness, first set \(a_1b_2-a_2b_1=0\).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
C. युग्म का अद्वितीय हल है/The pair has a unique solution
Explanation
Simple Explanation
सारणिक शून्य नहीं होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल होता है। / When the determinant is non-zero, the lines intersect at one point. Hence there is a unique solution.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) हो, तो दोनों रैखिक समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं; अर्थात रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए उस रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है और अनंत हल होते हैं। \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर कोई हल नहीं होता, इसलिए वह निकटतम भ्रामक विकल्प है। परीक्षा टिप: तीनों अनुपात बराबर दिखें तो तुरंत संपाती रेखाएँ और अनंत हल लिखें। / When \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the two linear equations represent the same line; that is, the lines are coincident. Hence, every point on the line satisfies both equations, giving infinitely many solutions. No solution occurs in the close but different case \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Exam tip: If all three ratios are equal, identify coincident lines and infinitely many solutions immediately.
अद्वितीय हल तब मिलता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) है। / A unique solution occurs when the lines intersect at one point. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) से \(\gamma=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) gives \(\gamma=3\). The constant ratio is different.
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) is required. Hence \(\alpha\neq5\) is correct.
\(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) है। गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) से \(\mu=4\)। / \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\). Equating coefficient ratios, \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) gives \(\mu=4\).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{6}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\) इसलिए \(\lambda=8\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{6}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\), so \(\lambda=8\).
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तब होता है जब उनके गुणांकों का निर्धारक शून्य न हो। यहाँ निर्धारक \(w(-24)-16(-6)=96-24w=24(4-w)\) है। यह शून्य नहीं होगा जब \(w\ne4\) होगा। \(w=4\) पर दोनों समीकरणों के \(x\) और \(y\) के गुणांक समान अनुपात में हैं, पर नियत पदों का अनुपात अलग है; इसलिए उस स्थिति में कोई हल नहीं मिलता। परीक्षा टिप: अद्वितीय हल जाँचने के लिए \(a_1b_2-a_2b_1\ne0\) का प्रयोग करें। / A pair of linear equations has a unique solution when the determinant of its coefficient matrix is non-zero. Here, the determinant is \(w(-24)-16(-6)=96-24w=24(4-w)\). It is non-zero when \(w\ne4\). At \(w=4\), the coefficients of \(x\) and \(y\) are in the same ratio, but the constants are not, so the lines are parallel and there is no solution. Exam tip: for a unique solution, check that \(a_1b_2-a_2b_1\ne0\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (v-2=3) मिलता है। इसलिए (v=5) और स्थिर अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (v-2=3). Thus (v=5), and the different constant ratio gives no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) चाहिए। इससे (u=1) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) is needed. This gives (u=1).
\(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\) होने से रेखाएँ काटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलेगा। / Since \(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\), the lines intersect. Hence a unique solution is obtained.
यहाँ
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) हैं। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं और युग्म के अनंत हल हैं। विकल्प B तब सही होता जब दोनों अनुपातों में से पहले दो समान, लेकिन तीसरा भिन्न होता। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होने पर अनंत हल होते हैं। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}\), \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), and \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\). Therefore, both equations represent the same line, so the pair has infinitely many solutions. Option B would be correct only if the first two ratios were equal but the third ratio were different. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the pair has infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन \(\frac{2}{7}\) अलग है। इसलिए दोनों अलग समांतर रेखाएँ हैं। / The coefficient ratio is equal but \(\frac{2}{7}\) is different. Hence both are distinct parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / The second equation is (2) times the first. So both lines are coincident and give infinitely many solutions.
