When will (α - 1)x + 5y = 2 and 8x + 10y = 6 have a unique solution?(α - 1)x + 5y = 2 और 8x + 10y = 6 का अद्वितीय हल कब होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: α ≠ 5α ≠ 5
For two linear equations, a unique solution exists when the ratios of the x-coefficients and y-coefficients are unequal: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂. Here the condition is (α − 1)/8 ≠ 5/10. Since 5/10 = 1/2, equality would occur when (α − 1)/8 = 1/2, so α − 1 = 4 and α = 5. At that exceptional value, the coefficient ratios are equal, but the constant ratio 2/6 = 1/3 is different; hence the lines would be parallel and there would be no solution. For every α other than 5, the coefficient ratios differ and the lines intersect once. Therefore option B is correct.दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तब होता है जब x-गुणांकों और y-गुणांकों के अनुपात समान न हों, अर्थात a₁/a₂ ≠ b₁/b₂। इस प्रश्न में शर्त (α − 1)/8 ≠ 5/10 है। चूँकि 5/10 = 1/2, बराबरी की स्थिति में (α − 1)/8 = 1/2 होगा। इससे α − 1 = 4 और α = 5 मिलता है। α = 5 पर दोनों गुणांक अनुपात समान होंगे, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात 2/6 = 1/3 अलग रहेगा; इसलिए रेखाएँ समानांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। α के हर दूसरे मान पर गुणांक अनुपात अलग होंगे, इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलेंगी। अतः अद्वितीय हल के लिए α ≠ 5 और विकल्प B सही है।
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