Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। यहाँ \(k\neq2\) परीक्षा में सीधे अनुपात से जाँचें। / For a unique solution, coefficient ratios must not be equal. Here \(k\neq2\); check ratios directly in exams.
कोई हल नहीं के लिए गुणांकों के अनुपात समान और स्थिर पद का अनुपात अलग होना चाहिए। (k=4) पर यही स्थिति बनती है। / For no solution, coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. At (k=4), this condition holds.
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात समान होते हैं। यहाँ \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\) से (m=3) मिलता है। / For infinitely many solutions, all three ratios are equal. From \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\), (m=3).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p+2}{6}\neq\frac{5}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(p\neq1\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{p+2}{6}\neq\frac{5}{10}\). Hence \(p\neq1\) is correct.
समांतर अलग रेखाओं के लिए गुणांक अनुपात समान और स्थिर अनुपात अलग होता है। हल करने पर \(q=\frac{3}{2}\) मिलता है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and constant ratio is different. Solving gives \(q=\frac{3}{2}\).
अनंत हलों में \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\) होता है। इससे (r=8) प्राप्त होता है। / In infinitely many solutions, \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\). This gives (r=8).
अद्वितीय हल के लिए सारणिक (D=ab-35) शून्य नहीं होना चाहिए। इसलिए \(ab\neq35\) सही है। / For a unique solution, determinant (D=ab-35) must be non-zero. So \(ab\neq35\) is correct.
अनंत हलों के लिए सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\) से (s=9) है। / For infinitely many solutions, all ratios must be equal. From \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\), (s=9).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), इसलिए \(t\neq5\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{t}{20}\neq\frac{1}{4}\), so \(t\neq5\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) चाहिए। अतः \(n\neq4\) परीक्षा में सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{2}{n}\) is required. Hence \(n\neq4\) is the correct exam condition.
तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाएँ अनंत हल देती हैं। / All three ratios are equal, so the lines are coincident. Coincident lines give infinitely many solutions.
गुणांकों के अनुपात समान हैं पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and have no solution.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{3}\) है पर स्थिर अनुपात \(\frac{5}{17}\) है। अतः कोई हल नहीं मिलेगा। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{3}\) but the constant ratio is \(\frac{5}{17}\). Therefore, there is no solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / The second equation is (2) times the first. Thus both are the same line and have infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन स्थिर पद का अनुपात समान नहीं है। परीक्षा में इसे समांतर अलग रेखाओं का संकेत मानें। / The coefficient ratio is equal but the constant ratio is not equal. In exams, treat this as distinct parallel lines.
गुणांक अनुपात समान करने पर (k=2) आता है। स्थिर अनुपात अलग है, इसलिए कोई हल नहीं होगा। / Making coefficient ratios equal gives (k=2). The constant ratio is different, so there is no solution.
अनंत हलों में \(\frac{7}{14}=\frac{m-4}{6}=\frac{13}{26}\) होना चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{7}{14}=\frac{m-4}{6}=\frac{13}{26}\) must hold. This gives (m=7).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p-2}{5}\neq\frac{9}{15}\) चाहिए। इसलिए \(p\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{p-2}{5}\neq\frac{9}{15}\) is needed. Hence \(p\neq5\) is correct.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{3}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{c}{21}\neq\frac{1}{3}\), अतः \(c\neq7\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{3}\). For no solution, \(\frac{c}{21}\neq\frac{1}{3}\), hence \(c\neq7\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{r}{8}\neq\frac{5}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(r\neq4\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{r}{8}\neq\frac{5}{10}\) must hold. So \(r\neq4\) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{12}{20}=\frac{s}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (s=6) आता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{12}{20}=\frac{s}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (s=6).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{u}{4}=\frac{9}{6}\) से (u=6) मिलता है। स्थिर पद अनुपात अलग है, इसलिए कोई हल नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{u}{4}=\frac{9}{6}\) gives (u=6). The constant ratio is different, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{13}{26}\neq\frac{t}{10}\) होना चाहिए। अतः \(t\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{13}{26}\neq\frac{t}{10}\) must hold. Hence \(t\neq5\) is correct.
यहाँ \(\frac{v+2}{10}=\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}\) होना चाहिए। इससे (v=4) मिलता है। / Here \(\frac{v+2}{10}=\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}\) must hold. This gives (v=4).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{7}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{d}{28}\neq\frac{1}{7}\), इसलिए \(d\neq4\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{7}\). For no solution, \(\frac{d}{28}\neq\frac{1}{7}\), so \(d\neq4\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{l}{9}=\frac{6}{18}\) से (l=3) मिलता है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{l}{9}=\frac{6}{18}\) gives (l=3). The constant ratio is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{15}=\frac{h+1}{20}=\frac{12}{30}\) होना चाहिए। इससे (h=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{15}=\frac{h+1}{20}=\frac{12}{30}\) must hold. This gives (h=7).
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है। दोनों समान रेखाएँ हैं, इसलिए अनंत हल हैं। / The second equation is (4) times the first. Both are the same line, so there are infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / The coefficient ratio is equal but the constant ratio is not equal. Hence the lines are parallel and distinct.
यहाँ \(\frac{4}{8}\neq\frac{5}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। / Here \(\frac{4}{8}\neq\frac{5}{9}\). Therefore, the lines intersect at one point.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
कोई हल नहीं तब होता है जब रेखाएँ समांतर और अलग हों। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) है। / No solution occurs when lines are parallel and distinct. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\).
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाएँ बनाती है। इसलिए युग्म असंगत होता है। / This condition forms distinct parallel lines. Therefore, the pair is inconsistent.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
संपाती रेखाएँ एक ही रेखा को दर्शाती हैं। इसलिए तीनों अनुपात समान होते हैं और अनंत हल मिलते हैं। / Coincident lines represent the same line. Hence all three ratios are equal and infinitely many solutions occur.
(D=0) और असंगत सहायक सारणिक समांतर अलग रेखाओं का संकेत देते हैं। इसलिए कोई हल नहीं होता। / (D=0) with a non-zero auxiliary determinant indicates distinct parallel lines. Hence there is no solution.
समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ अलग समांतर रेखाएँ है। इसलिए वे कभी नहीं कटतीं। / Same slope and different intercepts mean distinct parallel lines. Therefore, they never intersect.
अलग ढाल वाली रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Hence the pair is consistent and independent.
अद्वितीय न होने के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए। ((k-3)k-8=0) से \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\) मिलता है। / For non-unique solutions, the determinant must be zero. From ((k-3)k-8=0), \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (k=0) मिलता है। स्थिर अनुपात \(\frac{3}{8}\) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (k=0). The constant ratio \(\frac{3}{8}\) is different, so there is no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) is required. This gives (m=7).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p+4}{5}\neq\frac{-9}{-15}\) होना चाहिए। इसलिए \(p\neq-1\)। / For a unique solution, \(\frac{p+4}{5}\neq\frac{-9}{-15}\) must hold. Hence \(p\neq-1\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (q=2) मिलता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (q=2). The constant ratio is not equal, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha}{9}\neq\frac{4}{12}\) होना चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq3\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha}{9}\neq\frac{4}{12}\) must hold. Thus \(\alpha\neq3\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\beta=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{9}\) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives \(\beta=3\). The constant ratio \(\frac{5}{9}\) is different, so there is no solution.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\gamma}{36}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(\gamma=9\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\gamma}{36}=\frac{1}{4}\), so \(\gamma=9\).
सारणिक (D=(s+2)(s-1)-15=s-2+s-17) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) चाहिए। / The determinant is (D=(s+2)(s-1)-15=s-2+s-17). For a unique solution, \(D\neq0\) is required.
