समीकरण (8x+py=24) और (2x+3y=7) का अद्वितीय हल होने के लिए कौन-सी शर्त सही है?

Correct Answer: B. \(p\ne12\). Explanation: दो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{8}{2}=4\) और \(\frac{p}{3}\) हैं, इसलिए \(4\ne\frac{p}{3}\), अर्थात् \(p\ne12\)। अतः विकल्प B सही है। ध्यान रखें कि \(p=12\) पर गुणांकों के अनुपात समान हो जाते हैं, जबकि नियतांकों के अनुपात \(\frac{24}{7}\) अलग हैं; इसलिए उस स्थिति में कोई हल नहीं होगा, अद्वितीय हल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करके अद्वितीय हल की शर्त जाँचें। / A pair of linear equations has a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{8}{2}=4\) and \(\frac{p}{3}\), so the condition is \(4\ne\frac{p}{3}\), which gives \(p\ne12\). Therefore, option B is correct. Notice that when \(p=12\), the coefficient ratios become equal, but the constant ratio \(\frac{24}{7}\) is different; hence the equations have no solution rather than a unique solution. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first to test for a unique solution.