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A relation is symmetric if \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Here the condition is (a+b is even\(), and (a+b=b+a), so the reverse pair also satisfies it.\)
Step 3
Exam Tip
In exams, check commutative conditions like addition first. चरण 1: सममित संबंध में यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। चरण 2: यहाँ शर्त (a+b सम है) है और (a+b=b+a), इसलिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करता है। चरण 3: परीक्षा में ऐसी शर्तों में जोड़ की क्रम-विनिमेयता तुरंत जाँचें।
If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility conditions often remain symmetric after changing the sign. चरण 1: यदि (a-b) दो से विभाज्य है तो (b-a=-(a-b)) भी दो से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: विभाज्यता में ऋण चिह्न से सममितता नहीं टूटती।
A. हाँ, सभी अनिवार्य उल्टे युग्म हैं/Yes, all required reverse pairs are present
Step 1
Concept
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and both are present.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), and ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not require all possible pairs, only reverse pairs of the chosen pairs. चरण 1: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और दोनों हैं। चरण 2: ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है और दोनों हैं; ((1,1)) अपना ही उल्टा है। चरण 3: सममितता के लिए हर संभव युग्म जरूरी नहीं, केवल लिए गए युग्मों के उल्टे जरूरी हैं।
In a symmetric relation, every included ordered pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) requires ((b,a)), and ((c,a)) requires ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are required for reflexivity, not for symmetry alone. चरण 1: सममित संबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। चरण 2: ((a,b)) के लिए ((b,a)) और ((c,a)) के लिए ((a,c)) जरूरी हैं। चरण 3: विकर्ण युग्म तभी जरूरी होते हैं जब प्रतिवर्ती संबंध पूछा जाए।
The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
For (n=3), the exponent is \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are chosen independently, while non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks. चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=3), इसलिए घात \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होगी। चरण 3: विकर्ण युग्म अलग-अलग चुने जाते हैं और गैर-विकर्ण युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं।
For four elements, the number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
All diagonal pairs are compulsory, so only these six blocks can be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
When reflexive and symmetric are combined, do not count diagonal choices as free. चरण 1: चार अवयवों के लिए गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूहों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। चरण 2: सभी विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए केवल इन छह समूहों को चुनना या छोड़ना है। चरण 3: जब प्रतिवर्ती और सममित साथ हों तो गिनती में विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र मत गिनिए।
There are (n) diagonal positions and (\frac{n(n-1)}{2}) non-diagonal reverse-pair blocks.
Step 2
Why this answer is correct
Total independent choices become (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
While counting symmetric relations, do not treat ((a,b)) and ((b,a)) as independent choices. चरण 1: कुल विकर्ण स्थान (n) होते हैं और गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूह (\frac{n(n-1)}{2}) होते हैं। चरण 2: कुल स्वतंत्र चयन (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हो जाते हैं। चरण 3: सममित संबंधों की गिनती करते समय ((a,b)) और ((b,a)) को अलग-अलग स्वतंत्र नहीं गिनना चाहिए।
A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{24}=m_{42}=1\), and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, compare entries across the main diagonal. चरण 1: संबंध सममित तब होता है जब उसका आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। चरण 2: यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{24}=m_{42}=1\), बाकी संबंधित स्थान भी समान हैं। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्न में हमेशा मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाइए।
A. \(\begin{pmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{pmatrix}\)
Step 1
Concept
A symmetric relation has a matrix satisfying \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
In the first matrix, all corresponding entries across the diagonal are equal.
Step 3
Exam Tip
Even one mismatched pair is enough to make the relation non-symmetric. चरण 1: सममित आव्यूह में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: पहले आव्यूह में विकर्ण के आर-पार सभी संबंधित स्थान बराबर हैं। चरण 3: एक भी असमान जोड़ी मिलते ही संबंध सममित नहीं रहेगा।
In an inverse relation, every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
In a symmetric relation, the reversed pair is already in the same relation, so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
Remembering the link between symmetry and inverse relation saves time in exams. चरण 1: व्युत्क्रम संबंध में हर युग्म उलट जाता है। चरण 2: सममित संबंध में उल्टा युग्म पहले से उसी संबंध में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। चरण 3: सममितता और व्युत्क्रम संबंध का संबंध याद रखना बहुत उपयोगी है।
\(R=R^{-1}\) means every pair is accompanied by its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the definition of a symmetric relation.
Step 3
Exam Tip
This condition alone does not guarantee reflexivity or transitivity. चरण 1: \(R=R^{-1}\) का मतलब है कि हर युग्म के साथ उसका उल्टा भी उपलब्ध है। चरण 2: यही सममित संबंध की परिभाषा है। चरण 3: इस शर्त से प्रतिवर्ती या संक्रमणीय होना अपने आप सिद्ध नहीं होता।
A. क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/Because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
To disprove symmetry, find one pair whose reverse is missing.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is in (R) because (1<2), but ((2,1)) is not because (2<1) is false.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to show a relation is not symmetric. चरण 1: सममितता जाँचने के लिए एक ऐसा युग्म खोजें जिसका उल्टा न हो। चरण 2: ((1,2)) में (1<2), इसलिए यह (R) में है; पर (2<1) गलत है, इसलिए ((2,1)) नहीं है। चरण 3: केवल एक विरोधी उदाहरण संबंध को सममित न मानने के लिए पर्याप्त है।
A. (R) सममित और प्रतिवर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are both present, and diagonal pairs are self-reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
When two properties are asked together, test both separately. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं, इसलिए सममित भी है। चरण 3: एक साथ दो गुण जाँचते समय दोनों की अलग-अलग कसौटी लगाइए।
A. (R) सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं है/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are not compulsory for symmetry alone. चरण 1: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 3: सममितता के लिए विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते।
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
The intersection of two symmetric relations is always symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, अतः \((b,a)\in R\cap S\)। चरण 3: दो सममित संबंधों का प्रतिच्छेद हमेशा सममित रहता है।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations is also symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में यह युग्म है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में और फिर \(R\cup S\) में होगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है।
A. हमेशा सममित नहीं होता/It is not always symmetric
Step 1
Concept
\(R\setminus S\) keeps pairs of (R) that are not in (S).
Step 2
Why this answer is correct
It is possible that ((a,b)) remains but ((b,a)) is removed because it lies in (S).
Step 3
Exam Tip
Difference of relations does not always preserve symmetry. चरण 1: \(R\setminus S\) में (R) के वे युग्म रहते हैं जो (S) में नहीं हैं। चरण 2: संभव है ((a,b)) बच जाए लेकिन ((b,a)) (S) में होने के कारण हट जाए। चरण 3: अंतर लेने पर सममितता सुरक्षित रहेगी, ऐसा हमेशा नहीं मानना चाहिए।
A. हाँ, क्योंकि (1R2) और (2R3)/Yes, because (1R2) and (2R3)
Step 1
Concept
\((a,c)\in R\circ R\) when some (b) satisfies (aRb) and (bRc).
Step 2
Why this answer is correct
Here (1R2) and (2R3), so \((1,3)\in R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
In composition, look for an intermediate element, not only a direct pair. चरण 1: \(R\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो जिससे (aRb) और (bRc) दोनों हों। चरण 2: यहाँ (1R2) और (2R3), इसलिए \((1,3)\in R\circ R\)। चरण 3: संयोजन में सीधे युग्म नहीं, बीच का अवयव देखना होता है।
Suppose \((a,c)\in R\circ R\). Then there is some (b) such that (aRb) and (bRc).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is symmetric, (cRb) and (bRa), so \((c,a)\in R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
In such proofs, reuse the intermediate element in the reverse direction. चरण 1: मानिए \((a,c)\in R\circ R\), तब कोई (b) है जिससे (aRb) और (bRc)। चरण 2: (R) सममित है, इसलिए (cRb) और (bRa), अतः \((c,a)\in R\circ R\)। चरण 3: प्रमाण में बीच के अवयव को उल्टी दिशा में उपयोग करना याद रखें।
Therefore, whenever ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on absolute distance are often symmetric. चरण 1: यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=|a-b|=1)। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: निरपेक्ष मान वाली दूरी संबंधी शर्तें अक्सर सममित होती हैं।
A. नहीं, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं/No, because (1) divides (2) but (2) does not divide (1)
Step 1
Concept
One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
(1) divides (2), so \((1,2)\in R\), but (2) does not divide (1).
Step 3
Exam Tip
Divisibility relations are generally not symmetric. चरण 1: सममितता तोड़ने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। चरण 2: (1) संख्या (2) को विभाजित करती है, इसलिए \((1,2)\in R\), पर (2) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती। चरण 3: विभाज्यता संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता।
If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Equality-based conditions are often symmetric, but always verify both directions. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो बराबरी को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सही है। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: बराबरी वाली शर्तों में दोनों दिशाएँ ध्यान से जाँचें।
Since (a+b=b+a), we also get \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
Congruence conditions based on addition usually remain unchanged after swapping the order. चरण 1: शर्त \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) है। चरण 2: क्योंकि (a+b=b+a), इसलिए \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। चरण 3: जोड़ पर आधारित सर्वांगसमता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती।
A. नहीं, क्योंकि उलटने पर \(b-a\equiv 3 \pmod{4}\) हो सकता है/No, because after reversing, \(b-a\equiv 3 \pmod{4}\) may occur
Step 1
Concept
If \(a-b\equiv 1 \pmod{4}\), then \(b-a\equiv -1 \pmod{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(-1\equiv 3 \pmod{4}\), the reversed pair need not satisfy the original condition.
Step 3
Exam Tip
For subtraction-based congruence, check the sign carefully. चरण 1: यदि \(a-b\equiv 1 \pmod{4}\), तो \(b-a\equiv -1 \pmod{4}\)। चरण 2: \(-1\equiv 3 \pmod{4}\), जो (1) के बराबर नहीं है। चरण 3: घटाव वाली सर्वांगसमता में उल्टी दिशा हमेशा वही शर्त नहीं देती।
A. क्योंकि (b-a=-(a-b)) और शून्य का ऋण भी शून्य होता है/Because (b-a=-(a-b)), and the negative of zero is zero
Step 1
Concept
\(a-b\equiv 0 \pmod{5}\) means (a-b) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Subtraction conditions with zero remainder often give symmetry. चरण 1: \(a-b\equiv 0 \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a-b) पाँच से विभाज्य है। चरण 2: तब (b-a=-(a-b)) भी पाँच से विभाज्य होगा। चरण 3: शून्य शेष वाली घटाव संबंधी शर्त सममितता देती है।
In the first relation, ((2,3)) is present but its reverse ((3,2)) is missing.
Step 2
Why this answer is correct
So at least ((3,2)) must be added to make it symmetric.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs and the empty relation are already symmetric. चरण 1: पहले संबंध में ((2,3)) है, पर इसका उल्टा ((3,2)) नहीं है। चरण 2: इसलिए इसे सममित बनाने के लिए कम से कम ((3,2)) जोड़ना होगा। चरण 3: विकर्ण युग्म और रिक्त संबंध पहले से सममित माने जाते हैं।
The smallest symmetric relation containing (R) is formed by adding the reverse of every given pair.
Step 2
Why this answer is correct
The new pairs are ((2,1),(3,2),(1,3)), so the total is (3+3=6).
Step 3
Exam Tip
Add only the required reverse pairs, not extra pairs. चरण 1: सबसे छोटी सममित अधिसंबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा जोड़ते हैं। चरण 2: ((2,1),(3,2),(1,3)) तीन नए युग्म जुड़ेंगे, इसलिए कुल (3+3=6) युग्म होंगे। चरण 3: केवल आवश्यक उल्टे युग्म जोड़ें, अतिरिक्त युग्म नहीं।
((1,1)) is self-reverse, and ((1,2),(2,1)) are already paired.
Step 2
Why this answer is correct
Only the reverse of ((2,3)), namely ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
A symmetric closure does not require adding unnecessary diagonal pairs. चरण 1: ((1,1)) अपना उल्टा स्वयं है और ((1,2),(2,1)) पहले से जोड़ी में हैं। चरण 2: केवल ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) गायब है। चरण 3: सममित आवरण में अनावश्यक विकर्ण युग्म जोड़ना जरूरी नहीं।
A. क्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जो नियम तोड़े/Because it has no pair that can violate the condition
Step 1
Concept
Symmetry fails only when a pair is present and its reverse is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pairs, so no counterexample can exist.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is symmetric, but it is not reflexive on a non-empty set. चरण 1: सममितता तभी टूटती है जब कोई युग्म हो और उसका उल्टा न हो। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं बन सकता। चरण 3: रिक्त संबंध सममित होता है, पर गैर-रिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती नहीं होता।
A. क्योंकि हर संभव ((a,b)) और ((b,a)) दोनों इसमें होते हैं/Because every possible ((a,b)) and ((b,a)) are both present
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, if ((a,b)) is present, ((b,a)) is also definitely present.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is always symmetric and reflexive. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) इसमें है, तो ((b,a)) भी निश्चित रूप से इसमें होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित और प्रतिवर्ती होता है।
The identity relation contains only diagonal pairs like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of such a pair is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs automatically satisfy symmetry. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: ऐसे युग्म का उल्टा भी ((a,a)) ही होता है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता को अपने आप पूरा करते हैं।
A. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं कि ((q,p)) है या नहीं/No definite conclusion about whether ((q,p)) is present
Step 1
Concept
Symmetry says that if a pair is in the relation, then its reverse is also in it.
Step 2
Why this answer is correct
From the absence of one pair, we cannot always decide about the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the direction of an implication without justification. चरण 1: सममितता केवल यह कहती है कि यदि कोई युग्म संबंध में है तो उसका उल्टा भी होगा। चरण 2: किसी युग्म के न होने से उल्टे युग्म के बारे में हमेशा निर्णय नहीं मिलता। चरण 3: परिभाषा में दिए गए निहित कथन की दिशा को उल्टा मत करिए।
If \((p,q)\in R\), symmetry would imply \((q,p)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \((q,p)\notin R\), ((p,q)) cannot be in (R).
Step 3
Exam Tip
This is a valid contrapositive use of the symmetry condition. चरण 1: यदि \((p,q)\in R\) होता, तो सममितता से \((q,p)\in R\) भी होता। चरण 2: लेकिन \((q,p)\notin R\) दिया है, इसलिए \((p,q)\in R\) नहीं हो सकता। चरण 3: यहाँ प्रतिलोम तर्क का सही उपयोग किया गया है।
In (a+b=10), swapping (a) and (b) gives (b+a=10), the same condition.
Step 2
Why this answer is correct
The other conditions depend on direction and usually change after swapping.
Step 3
Exam Tip
To test symmetry, swap the variables and recheck the condition. चरण 1: (a+b=10) में (a) और (b) को बदलने पर (b+a=10) ही मिलता है। चरण 2: बाकी शर्तें दिशा पर निर्भर हैं और उलटने पर सामान्यतः वही नहीं रहतीं। चरण 3: सममितता के लिए चर बदलकर शर्त को दोबारा देखिए।
The possible pairs are ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of every pair is also in the list, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
For fixed-sum relations, listing pairs helps avoid mistakes. चरण 1: संभव युग्म ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)) हैं। चरण 2: हर युग्म का उल्टा भी इसी सूची में है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: जोड़ वाली निश्चित राशि के प्रश्न में युग्म सूची बनाकर गलती कम होती है।
The sum is odd when one number is odd and the other is even.
Step 2
Why this answer is correct
There are two odd and two even numbers, so the number of pairs is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
Step 3
Exam Tip
In ordered pairs, both orders are counted separately. चरण 1: योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। चरण 2: (A) में दो विषम और दो सम संख्याएँ हैं, इसलिए युग्मों की संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। चरण 3: क्रमित युग्मों में दोनों क्रम अलग-अलग गिने जाते हैं।
A. (R) सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं है/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
For ((a,a)), (a+a=2a) is even, so no diagonal pair appears.
Step 3
Exam Tip
A symmetric relation need not be reflexive. चरण 1: (a+b) विषम होने पर (b+a) भी विषम होगा, इसलिए सममितता है। चरण 2: ((a,a)) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आता। चरण 3: सममित संबंध प्रतिवर्ती हो ही, यह जरूरी नहीं।
A. (R) सममित और संक्रमणीय है/(R) is symmetric and transitive
Step 1
Concept
An even sum means the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
This relation is both symmetric and transitive. चरण 1: सम योग का मतलब दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम प्रकार की हैं। चरण 2: यदि (a) और (b) एक ही प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी एक ही प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी एक ही प्रकार के होंगे। चरण 3: यह संबंध सममित भी है और संक्रमणीय भी।
In the first relation, every pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is missing, so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Symmetry and transitivity are different properties and must be checked separately. चरण 1: पहले संबंध में हर युग्म का उल्टा है, इसलिए सममित है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीय नहीं है। चरण 3: सममितता और संक्रमणीयता अलग गुण हैं, इन्हें अलग जाँचें।
In a directed graph, an arrow from (a) to (b) means \((a,b)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
If every arrow has its reverse arrow, then \((b,a)\in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
Two-way arrows are a visual sign of symmetry. चरण 1: निर्देशित आलेख में (a) से (b) तक तीर का अर्थ \((a,b)\in R\) है। चरण 2: यदि हर तीर के साथ उल्टा तीर भी है, तो \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: आलेख में दोतरफा तीर सममितता की पहचान है।
\(1\to2\) and \(2\to1\) are already reverse arrows.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of \(2\to3\), namely \(3\to2\), is missing, so it must be added.
Step 3
Exam Tip
In graph questions, first find the missing reverse arrow. चरण 1: \(1\to2\) और \(2\to1\) पहले से एक-दूसरे के उल्टे हैं। चरण 2: \(2\to3\) का उल्टा \(3\to2\) नहीं है, इसलिए वही जोड़ना होगा। चरण 3: आलेख में गायब उल्टा तीर सबसे पहले खोजें।
The total number of symmetric relations on four elements is \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
Reflexive and symmetric relations require all four diagonal pairs, leaving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
Hence symmetric but not reflexive relations are \(2^{10}-2^6\). चरण 1: चार अवयवों पर कुल सममित संबंध \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}\) हैं। चरण 2: प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। चरण 3: सममित पर प्रतिवर्ती नहीं संबंधों की संख्या \(2^{10}-2^6\) होगी।
The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
Putting (n=5), the exponent is \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
Identify counting questions on symmetric relations before applying the formula. चरण 1: (n) अवयवों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: (n=5) रखने पर घात \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) आती है। चरण 3: सूत्र लगाने से पहले यह पहचानें कि प्रश्न सममित संबंधों की गिनती का है।
In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Identify properties by their conditions, not by names only. चरण 1: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए संबंध सममित है। चरण 2: ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 3: गुणों को नाम से नहीं, उनकी शर्तों से पहचानें।
First simplify the inverse relation using symmetry, then perform the set operation. चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R=R\)। चरण 3: पहले सममितता से व्युत्क्रम संबंध को सरल करें, फिर समुच्चय क्रिया करें।
This idea is useful for both union and intersection questions involving inverses. चरण 1: सममित संबंध में \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)। चरण 3: संघ और प्रतिच्छेद दोनों में यह विचार उपयोगी है।
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), so swapping (a) and (b) does not change the condition.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) belongs to the relation, then ((b,a)) also belongs to it.
Step 3
Exam Tip
Conditions involving sums often preserve symmetry after swapping terms. चरण 1: \(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए (a) और (b) बदलने से शर्त नहीं बदलती। चरण 2: यदि ((a,b)) संबंध में है, तो ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: जोड़ में पदों का क्रम बदलने से सममितता अक्सर सुरक्षित रहती है।
Take a counterexample: (a=2), (b=1). Then (a+2b=4) is even, so \((2,1)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
For the reverse pair ((1,2)), (1+4=5) is odd, so \((1,2)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to reject symmetry. चरण 1: विरोधी उदाहरण लें: (a=2), (b=1)। तब (a+2b=4) सम है, इसलिए \((2,1)\in R\)। चरण 2: उल्टा युग्म ((1,2)) में (1+4=5) विषम है, इसलिए \((1,2)\notin R\)। चरण 3: एक विरोधी उदाहरण सममितता को अस्वीकार करने के लिए काफी है।
A. क्योंकि दूरी में (d(a,b)=d(b,a)) होता है/Because distance satisfies (d(a,b)=d(b,a))
Step 1
Concept
In a distance function, the distance between two points does not change when direction is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
If (d(a,b)=2), then (d(b,a)=2) also holds.
Step 3
Exam Tip
Distance-based relations are usually symmetric because of this property. चरण 1: दूरी फलन में दो बिंदुओं की दूरी दिशा बदलने से नहीं बदलती। चरण 2: यदि (d(a,b)=2), तो (d(b,a)=2) भी होगा। चरण 3: दूरी आधारित संबंधों में सममितता सामान्यतः दूरी के इसी गुण से आती है।
A. हर \(a,b\in A\) के लिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
The core condition of symmetry is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
The first statement says exactly this.
Step 3
Exam Tip
The other statements relate to reflexive, transitive, or identity-like ideas. चरण 1: सममितता की मूल शर्त हर युग्म के साथ उल्टा युग्म होना है। चरण 2: पहला कथन ठीक यही कहता है। चरण 3: बाकी कथन क्रमशः प्रतिवर्ती, संक्रमणीय और पहचान संबंध जैसी अलग धारणाओं से जुड़े हैं।
