समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने अलग-अलग सममित संबंध बनाए जा सकते हैं?
How many different symmetric relations can be formed on the set \(A=\{1,2,3,4\}\)?
#symmetric relation
#counting relations
#class 12 math
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? Hint Small clue
A \(2^{10}\)
B \(2^{16}\)
C \(2^6\)
D \(4^{10}\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सममित संबंध में विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (4) diagonal pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (4) अवयवों से \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) उलटे युग्म-जोड़े बनते हैं। / The off-diagonal pairs form \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) mirror-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए उत्तर \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (10), so the number of relations is \(2^{10}\).
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समुच्चय (A) में (5) अवयव हैं। यदि सममित संबंध (R) में सभी विकर्ण युग्म अवश्य हों, तो ऐसे संबंधों की संख्या कितनी होगी?
A set (A) has (5) elements. If every symmetric relation (R) must contain all diagonal pairs, how many such relations are possible?
#symmetric relation
#reflexive symmetric
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{10}\)
B \(2^{15}\)
C \(2^5\)
D \(2^{20}\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सभी (5) विकर्ण युग्म पहले से तय हैं, इसलिए उनमें चुनाव नहीं है। / The (5) diagonal pairs are fixed, so they give no choice.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़ा या तो पूरा लिया जाएगा या नहीं लिया जाएगा, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / Each group is either included fully or excluded, so the number is \(2^{10}\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\) है, तो (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3)\}\), which minimum pair must be added to make (R) symmetric?
#symmetric closure
#ordered pairs
#relations
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? Hint Small clue
A ((3,2))
B ((1,1))
C ((3,3))
D ((1,3))
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Correct Answer
A. ((3,2))
Step 1
Concept
सममित संबंध में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होना चाहिए। / A symmetric relation must contain ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) पहले से साथ हैं, पर ((2,3)) का उलटा ((3,2)) नहीं है। / ((1,2)) and ((2,1)) are already paired, but ((2,3)) needs ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
केवल ((3,2)) जोड़ने से संबंध सममित बन जाता है। / Adding only ((3,2)) makes the relation symmetric.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है}) दिया है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even}) is given. Choose the correct statement about (R).
#parity relation
#symmetric relation
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (R) has no diagonal pair
D (R) केवल रिक्त संबंध है / (R) is only the empty relation
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुण की दिशा बदलकर जांचना सबसे तेज तरीका है। / For such questions, reverse the pair and check whether the condition remains true.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) धनात्मक है}) है। (R) सममित क्यों नहीं है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is positive}). Why is (R) not symmetric?
#counterexample
#symmetric relation
#ordered pairs
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A \((2,1)\in R\) पर \((1,2)\notin R\) / \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
B \((1,1)\in R\)
C हर युग्म का उलटा है / Every pair has its reverse
D (R) रिक्त है / (R) is empty
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Correct Answer
A. \((2,1)\in R\) पर \((1,2)\notin R\) / \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
((2,1)) के लिए (2-1=1), इसलिए यह संबंध में है। / For ((2,1)), (2-1=1), so it belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
उलटे युग्म ((1,2)) के लिए (1-2=-1), जो धनात्मक नहीं है। / For the reverse pair ((1,2)), (1-2=-1), which is not positive.
Step 3
Exam Tip
एक ही विरोधी उदाहरण सममितता को गलत सिद्ध कर देता है। / One counterexample is enough to prove that a relation is not symmetric.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर सममित संबंध हैं, तो इनमें से कौन-सा संबंध निश्चित रूप से सममित होगा?
If (R) and (S) are both symmetric relations on (A), which of the following relations is definitely symmetric?
#intersection of relations
#symmetric relation
#properties
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A \(R\cap S\)
B (R-S)
C \(R\circ S\)
D केवल \(R^{-1}\circ S\) / Only \(R^{-1}\circ S\)
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Correct Answer
A. \(R\cap S\)
Step 1
Concept
\((a,b)\in R\cap S\) का अर्थ है कि ((a,b)) दोनों संबंधों में है। / \((a,b)\in R\cap S\) means the pair is in both relations.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) is also in both.
Step 3
Exam Tip
अतः \((b,a)\in R\cap S\), इसलिए प्रतिच्छेद निश्चित रूप से सममित है। / Hence \((b,a)\in R\cap S\), so the intersection is definitely symmetric.
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यदि (R) (A) पर सममित संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) is a symmetric relation on (A), what is the correct statement about \(R^{-1}\)?
#inverse relation
#symmetric relation
#class 12
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A \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}\) हमेशा रिक्त है / \(R^{-1}\) is always empty
C \(R^{-1}=A\times A\)
D \(R^{-1}\) कभी सममित नहीं होता / \(R^{-1}\) is never symmetric
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Correct Answer
A. \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध में हर युग्म के साथ उसका उलटा युग्म भी होता है। / In a symmetric relation, every pair appears with its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम संबंध \(R^{-1}\) सभी युग्मों को उलट देता है। / The inverse relation \(R^{-1}\) reverses all ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
उलटने के बाद भी वही युग्म मिलते हैं, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / Reversing gives the same set of pairs, so \(R^{-1}=R\).
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किसी (4) अवयवों वाले समुच्चय पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ठीक (3) विकर्ण युग्म हों?
On a set with (4) elements, how many symmetric relations have exactly (3) diagonal pairs?
#counting symmetric relations
#diagonal pairs
#hard
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A \(4\cdot2^6\)
B \(3\cdot2^4\)
C \(2^9\)
D \(6\cdot2^3\)
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Correct Answer
A. \(4\cdot2^6\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्मों में से ठीक (3) चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। / Exactly (3) diagonal pairs can be chosen in \(\binom{4}{3}=4\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (6) उलटे युग्म-जोड़े स्वतंत्र हैं। / There are (6) independent off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(4\cdot2^6\) होगी। / Therefore the total number is \(4\cdot2^6\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध (R) की मैट्रिक्स \(\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&1\1&1&0\end{pmatrix}\) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), the matrix of relation (R) is \(\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&1\1&1&0\end{pmatrix}\). What is the correct conclusion about (R)?
#matrix of relation
#symmetric matrix
#relations
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A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) केवल परावर्ती है / (R) is only reflexive
D (R) रिक्त संबंध है / (R) is the empty relation
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
संबंध की मैट्रिक्स सममित हो तो मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियां समान होती हैं। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
दी गई मैट्रिक्स में \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{23}=m_{32}=1\), साथ ही \(m_{12}=m_{21}=0\)। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{23}=m_{32}=1\), and \(m_{12}=m_{21}=0\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित है। / Hence the relation is symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध (R) की मैट्रिक्स \(\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\0&1&1\end{pmatrix}\) है। सममितता के लिए न्यूनतम कौन-सी प्रविष्टि बदलनी होगी?
On \(A=\{1,2,3\}\), the matrix of relation (R) is \(\begin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\0&1&1\end{pmatrix}\). Which minimum entry must be changed for symmetry?
#matrix correction
#symmetric relation
#minimum change
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A \(m_{21}\) को (1) करें / Make \(m_{21}\) equal to (1)
B \(m_{13}\) को (1) करें / Make \(m_{13}\) equal to (1)
C \(m_{33}\) को (0) करें / Make \(m_{33}\) equal to (0)
D \(m_{12}\) को (0) और \(m_{23}\) को (0) करें / Make \(m_{12}=0\) and \(m_{23}=0\)
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Correct Answer
A. \(m_{21}\) को (1) करें / Make \(m_{21}\) equal to (1)
Step 1
Concept
सममित मैट्रिक्स में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(m_{12}=1\), पर \(m_{21}=0\), बाकी विपरीत स्थान सही हैं। / Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), while the other opposite entries match.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल \(m_{21}\) को (1) करने से मैट्रिक्स सममित बन जाएगी। / So changing only \(m_{21}\) to (1) makes the matrix symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|=1\}\) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|=1\}\). Choose the correct statement about (R).
#absolute difference
#symmetric relation
#reflexivity
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A (R) सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / (R) is symmetric but not reflexive
B (R) परावर्ती है लेकिन सममित नहीं / (R) is reflexive but not symmetric
C (R) न सममित है न रिक्त / (R) is neither symmetric nor empty
D (R) केवल विकर्ण युग्मों से बना है / (R) contains only diagonal pairs
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Correct Answer
A. (R) सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / (R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी होगा। / If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) also.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर युग्म का उलटा भी संबंध में आएगा और संबंध सममित है। / Hence every pair has its reverse, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((a,a)) के लिए (|a-a|=0), इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / For ((a,a)), (|a-a|=0), so it is not reflexive.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) सममित क्यों है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). Why is (R) symmetric?
#modulo relation
#symmetric relation
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है / Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
B क्योंकि हर युग्म विकर्ण है / Because every pair is diagonal
C क्योंकि कोई युग्म नहीं है / Because there is no pair
D क्योंकि (a<b) हमेशा सत्य है / Because (a<b) is always true
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है / Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल वाली संख्याएं क्रम बदलने पर भी समान शेषफल वाली ही रहती हैं। / Numbers with the same remainder still have the same remainder after reversing their order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\equiv b \pmod{2}\) होने पर \(b\equiv a \pmod{2}\) भी सही है। / Thus \(a\equiv b \pmod{2}\) implies \(b\equiv a \pmod{2}\).
Step 3
Exam Tip
सममितता में यही उलटा युग्म जांचना होता है। / Symmetry is exactly about checking this reverse pair.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\mid b\}\) है। (R) सममित नहीं है, इसका सही विरोधी उदाहरण कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\mid b\}\). Which is the correct counterexample showing that (R) is not symmetric?
#divisibility relation
#counterexample
#symmetric relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \((1,2)\in R\), पर \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\), but \((2,1)\notin R\)
B \((2,4)\in R\) और \((4,2)\in R\) / \((2,4)\in R\) and \((4,2)\in R\)
C \((3,3)\notin R\)
D \((4,1)\in R\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \((1,2)\in R\), पर \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\), but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
\(1\mid2\), इसलिए \((1,2)\in R\) है। / Since \(1\mid2\), \((1,2)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid1\) सत्य नहीं है, इसलिए \((2,1)\notin R\) है। / But \(2\mid1\) is false, so \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता तोड़ने के लिए ऐसा एक युग्म काफी है। / One such pair is enough to disprove symmetry.
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की कुल संख्या क्या होगी?
If (A) has (n) elements, what is the total number of symmetric relations on (A)?
#general formula
#symmetric relation
#counting
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A \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
B \(2^{n^2}\)
C \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
D \(n^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े (\frac{n(n-1)}{2}) हैं। / The off-diagonal mirror groups are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ((1,2)) अवश्य हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many symmetric relations must contain ((1,2))?
#fixed pair
#counting symmetric relations
#class 12
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A \(2^5\)
B \(2^6\)
C \(2^4\)
D \(3^5\)
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Correct Answer
A. \(2^5\)
Step 1
Concept
(3) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) हैं। / For (3) elements, there are \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी तय हो जाता है, यानी एक समूह निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), fixing one group.
Step 3
Exam Tip
बचे (5) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / The remaining (5) groups are free, so the count is \(2^5\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ((1,2)) हो लेकिन ((1,1)) न हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many symmetric relations contain ((1,2)) but do not contain ((1,1))?
#restricted counting
#symmetric relation
#diagonal condition
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A \(2^4\)
B \(2^5\)
C \(2^3\)
D \(2^6\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^4\)
Step 1
Concept
कुल स्वतंत्र समूह (6) हैं। / There are (6) independent groups in total.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाला समूह लेना तय है और ((1,1)) वाला विकर्ण समूह न लेना तय है। / The group containing ((1,2)) is fixed as included, and the diagonal pair ((1,1)) is fixed as excluded.
Step 3
Exam Tip
दो समूह तय होने के बाद (4) समूह स्वतंत्र बचे, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / So (4) groups remain free, giving \(2^4\).
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यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\cup R^{-1}\) is correct?
#inverse relation
#union
#symmetric relation
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A यह (R) के बराबर है / It is equal to (R)
B यह रिक्त संबंध है / It is the empty relation
C यह हमेशा \(A\times A\) है / It is always \(A\times A\)
D यह कभी सममित नहीं होता / It is never symmetric
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Correct Answer
A. यह (R) के बराबर है / It is equal to (R)
Step 1
Concept
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R\) बनेगा। / Hence \(R\cup R^{-1}=R\cup R\).
Step 3
Exam Tip
किसी समुच्चय का अपने साथ संघ वही समुच्चय होता है, अतः उत्तर (R) है। / The union of a set with itself is the same set, so it equals (R).
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किसी संबंध (R) के लिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा कैसा संबंध होता है?
For any relation (R), what type of relation is \(R\cup R^{-1}\) always?
#symmetric closure
#union with inverse
#relations
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A सममित / Symmetric
B केवल परावर्ती / Only reflexive
C केवल संक्रामक / Only transitive
D कभी संबंध नहीं / Never a relation
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it belongs to (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों स्थितियों में उलटा युग्म ((b,a)) भी \(R\cup R^{-1}\) में आ जाता है। / In either case, the reverse pair ((b,a)) belongs to \(R\cup R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह किसी भी (R) के लिए सममित संबंध बनाता है। / Therefore it is always symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b=5\}\). What is (R)?
#sum relation
#symmetric relation
#reflexivity
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A सममित लेकिन परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
B परावर्ती लेकिन सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C न सममित न परावर्ती / Neither symmetric nor reflexive
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. सममित लेकिन परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) too.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा, अतः यह सममित है। / So each pair comes with its reverse, making the relation symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं आते, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / Diagonal pairs like ((1,1)) are not included, so it is not reflexive.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) विषम है}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is odd}). What is the correct statement about (R)?
#odd sum relation
#parity
#symmetric relation
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A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
D (R) केवल एक युग्म वाला है / (R) has only one pair
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / Changing the order in addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर युग्म का उलटा भी संबंध में है और (R) सममित है। / Hence every pair has its reverse, so (R) is symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). Choose the correct statement.
#reflexive symmetric
#ordered pairs
#relation type
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? Hint Small clue
A (R) सममित और परावर्ती है / (R) is symmetric and reflexive
B (R) सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / (R) is symmetric but not reflexive
C (R) परावर्ती है लेकिन सममित नहीं / (R) is reflexive but not symmetric
D (R) न सममित है न परावर्ती / (R) is neither symmetric nor reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) सममित और परावर्ती है / (R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
तीनों विकर्ण युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी मौजूद है और बाकी युग्म विकर्ण हैं। / ((1,2)) appears with ((2,1)), and the remaining pairs are diagonal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित भी है। / Hence the relation is also symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है। (R) किस कारण सममित नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\). Why is (R) not symmetric?
#missing reverse pair
#symmetric relation
#counterexample
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? Hint Small clue
A ((2,1)) अनुपस्थित है / ((2,1)) is missing
B ((1,1)) उपस्थित है / ((1,1)) is present
C ((3,3)) उपस्थित है / ((3,3)) is present
D ((2,2)) उपस्थित है / ((2,2)) is present
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((2,1)) अनुपस्थित है / ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना जरूरी है। / Symmetry requires ((2,1)) whenever ((1,2)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है। / The relation contains ((1,2)) but not ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता को खराब नहीं करते, कमी उलटे युग्म की है। / Diagonal pairs do not break symmetry; the missing reverse pair does.
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किसी (5) अवयवों वाले समुच्चय पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें कोई भी विकर्ण युग्म नहीं है?
On a set with (5) elements, how many symmetric relations have no diagonal pair?
#irreflexive symmetric
#counting relations
#diagonal pairs
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? Hint Small clue
A \(2^{10}\)
B \(2^{15}\)
C \(2^5\)
D \(10^2\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
सभी (5) विकर्ण युग्म न लेने हैं, इसलिए वे तय हो गए। / All (5) diagonal pairs are fixed as excluded.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) उलटे युग्म-जोड़े स्वतंत्र हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) independent off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़े के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) होगी। / Each group has two choices, so the number is \(2^{10}\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंध (R) में ठीक (2) विकर्ण युग्म और ठीक (2) विकर्ण-बाह्य युग्म-जोड़े हैं। ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), a symmetric relation (R) has exactly (2) diagonal pairs and exactly (2) off-diagonal mirror-pair groups. How many such relations are possible?
#advanced counting
#symmetric relation
#combinations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
B \(4\cdot6\)
C \(2^8\)
D \(\binom{10}{4}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्मों में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}\) हैं। / Choose (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण-बाह्य उलटे युग्म-जोड़े में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}\) हैं। / Choose (2) off-diagonal mirror groups from (6) in \(\binom{6}{2}\) ways.
Step 3
Exam Tip
दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) है। / The choices are independent, so the total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\).
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यदि (R) सममित है और \((a,b)\notin R\), तो क्या \((b,a)\notin R\) निश्चित रूप से होगा?
If (R) is symmetric and \((a,b)\notin R\), must \((b,a)\notin R\) also be true?
#logical reasoning
#symmetric relation
#contrapositive
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A हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा / Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
B नहीं, सममितता अनुपस्थित युग्मों पर कुछ नहीं कहती / No, symmetry says nothing about absent pairs
C हाँ, केवल जब (a=b) हो / Yes, only when (a=b)
D नहीं, ((b,a)) हमेशा संबंध में होगा / No, ((b,a)) is always in the relation
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा / Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि किसी भी उपस्थित युग्म का उलटा भी उपस्थित होगा। / Symmetry says the reverse of every present pair is also present.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((b,a)\in R\) होता, तो उलटकर \((a,b)\in R\) भी होना चाहिए था। / If \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) would also have to be present.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \((a,b)\notin R\), इसलिए \((b,a)\notin R\) निश्चित है। / Since \((a,b)\notin R\), \((b,a)\notin R\) must be true.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Choose the correct statement about (R).
#symmetric not reflexive
#relation classification
#ordered pairs
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A सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive
B परावर्ती है लेकिन सममित नहीं / It is reflexive but not symmetric
C सममित नहीं है / It is not symmetric
D सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
A. सममित है लेकिन परावर्ती नहीं / It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। / ((1,2)) appears with ((2,1)), and ((2,3)) appears with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर उपस्थित गैर-विकर्ण युग्म का उलटा मौजूद है। / Thus every present non-diagonal pair has its reverse.
Step 3
Exam Tip
((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / The diagonal pairs are missing, so it is not reflexive.
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यदि किसी संबंध की निर्देशित आकृति में (x) से (y) तक तीर है, तो सममित संबंध के लिए क्या जरूरी है?
If the directed graph of a relation has an arrow from (x) to (y), what is necessary for the relation to be symmetric?
#directed graph
#symmetric relation
#visual reasoning
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A (y) से (x) तक भी तीर हो / There must also be an arrow from (y) to (x)
B (x) पर घेरा जरूर हो / There must be a loop at (x)
C (y) पर घेरा जरूर हो / There must be a loop at (y)
D कोई और तीर नहीं होना चाहिए / There must be no other arrow
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Correct Answer
A. (y) से (x) तक भी तीर हो / There must also be an arrow from (y) to (x)
Step 1
Concept
निर्देशित आकृति में तीर (x) से (y) का अर्थ \((x,y)\in R\) है। / An arrow from (x) to (y) represents \((x,y)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए \((y,x)\in R\) भी होना चाहिए। / Symmetry requires \((y,x)\in R\) as well.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उलटी दिशा का तीर जरूरी है। / Therefore an arrow in the reverse direction is necessary.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\). What type of relation is (R)?
#equality relation
#symmetric relation
#functions
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A सममित है / It is symmetric
B सममित नहीं है / It is not symmetric
C रिक्त संबंध है / It is empty
D केवल दो युग्मों वाला है / It has only two pairs
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Correct Answer
A. सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a^2=b^2\), तो समानता पलटने पर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। / If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) से \((b,a)\in R\) मिलता है। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समानता वाले संबंधों में अक्सर सममितता सीधे उलटकर जांची जाती है। / Relations based on equality are often checked by simply reversing the equality.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq5\}\) है। (R) सममित है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq5\}\). Is (R) symmetric?
#inequality relation
#symmetric relation
#sum condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, सममित है / Yes, it is symmetric
B नहीं, सममित नहीं है / No, it is not symmetric
C केवल परावर्ती है / It is only reflexive
D केवल रिक्त है / It is only empty
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Correct Answer
A. हाँ, सममित है / Yes, it is symmetric
Step 1
Concept
\(a+b\leq5\) होने पर \(b+a\leq5\) भी होगा। / If \(a+b\leq5\), then \(b+a\leq5\) also.
Step 2
Why this answer is correct
योग क्रम बदलने से नहीं बदलता। / The sum does not change when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर युग्म का उलटा भी शर्त पूरी करता है और संबंध सममित है। / So every pair's reverse also satisfies the condition, making the relation symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है। (R) सममित क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\leq b\}\). Why is (R) not symmetric?
#less than equal relation
#counterexample
#symmetric relation
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? Hint Small clue
A \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
B \((2,2)\in R\)
C \((4,4)\in R\)
D हर युग्म का उलटा है / Every pair has its reverse
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Correct Answer
A. \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
\(1\leq2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। / Since \(1\leq2\), ((1,2)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\leq1\) गलत है, इसलिए ((2,1)) संबंध में नहीं है। / But \(2\leq1\) is false, so ((2,1)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
क्रम-आधारित असमानता वाले संबंध अक्सर सममित नहीं होते। / Order-based inequality relations are often not symmetric.
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यदि (R) सममित है, तो \(A\times A-R\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is symmetric, which statement about \(A\times A-R\) is correct?
#complement relation
#symmetric relation
#set difference
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? Hint Small clue
A यह भी सममित है / It is also symmetric
B यह कभी सममित नहीं है / It is never symmetric
C यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
D यह हमेशा परावर्ती है / It is always reflexive
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Correct Answer
A. यह भी सममित है / It is also symmetric
Step 1
Concept
सममित (R) में ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ होते हैं या साथ-साथ अनुपस्थित होते हैं। / In a symmetric (R), ((a,b)) and ((b,a)) are either both present or both absent.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पूरक संबंध में भी दोनों उलटे युग्म साथ-साथ आएंगे। / Therefore, in the complement, reverse pairs also appear together.
Step 3
Exam Tip
अतः \(A\times A-R\) भी सममित होगा। / Hence \(A\times A-R\) is also symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) और \(S=\{(2,3),(3,2)\}\) हैं। \(R\cup S\) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) and \(S=\{(2,3),(3,2)\}\). What is correct about \(R\cup S\)?
#union of symmetric relations
#ordered pairs
#class 12
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? Hint Small clue
A \(R\cup S\) सममित है / \(R\cup S\) is symmetric
B \(R\cup S\) सममित नहीं है / \(R\cup S\) is not symmetric
C \(R\cup S\) परावर्ती है / \(R\cup S\) is reflexive
D \(R\cup S\) रिक्त है / \(R\cup S\) is empty
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) सममित है / \(R\cup S\) is symmetric
Step 1
Concept
(R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। / (R) contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं। / (S) contains both ((2,3)) and ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
संघ में ये सभी उलटे युग्म बने रहते हैं, इसलिए संघ सममित है। / The union keeps all reverse pairs, so it is symmetric.
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यदि (R) और (S) सममित हैं, तो (R-S) हमेशा सममित है या नहीं?
If (R) and (S) are symmetric, is (R-S) always symmetric?
#difference of relations
#symmetric relation
#proof based
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, हमेशा सममित है / Yes, always symmetric
B नहीं, कभी सममित नहीं है / No, never symmetric
C केवल तब जब \(S\subseteq R\) हो / Only when \(S\subseteq R\)
D केवल तब जब (R) रिक्त हो / Only when (R) is empty
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Correct Answer
A. हाँ, हमेशा सममित है / Yes, always symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित होने से \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से \((a,b)\notin S\) का अर्थ \((b,a)\notin S\) है। / Symmetry of (R) gives \((b,a)\in R\), and symmetry of (S) ensures \((b,a)\notin S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a)\in R-S\), अतः यह हमेशा सममित है। / Thus \((b,a)\in R-S\), so it is always symmetric.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):|a-b|\) सम है}) है। (R) कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):|a-b|\) is even}). What is (R)?
#absolute value relation
#parity
#symmetric relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है / Symmetric
B सममित नहीं है / Not symmetric
C केवल रिक्त है / Empty only
D केवल एक युग्म है / Has only one pair
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Correct Answer
A. सममित है / Symmetric
Step 1
Concept
(|a-b|=|b-a|) हमेशा सत्य है। / (|a-b|=|b-a|) is always true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि (|a-b|) सम है, तो (|b-a|) भी सम होगा। / Therefore if (|a-b|) is even, then (|b-a|) is also even.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष अंतर वाले संबंधों में उलटा युग्म वही अंतर देता है। / Absolute-difference relations usually preserve symmetry because the difference value stays the same.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) सम है}) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is even}). Choose the correct statement about (R).
#even difference
#symmetric relation
#parity
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A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (R) has no diagonal pair
D (R) में केवल एक युग्म है / (R) has only one pair
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। / If (a-b) is even, then (b-a=-(a-b)) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So whenever ((a,b)) belongs, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक सम संख्या भी सम ही रहती है, यह मुख्य बात है। / The key point is that the negative of an even integer is also even.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। (R) कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is odd}). What is (R)?
#odd difference
#symmetric relation
#parity
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A सममित है / Symmetric
B सममित नहीं है / Not symmetric
C परावर्ती है / Reflexive
D रिक्त संबंध है / Empty relation
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Correct Answer
A. सममित है / Symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। / If (a-b) is odd, then (b-a=-(a-b)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए युग्म उलटने पर भी शर्त बनी रहती है। / Thus the condition remains true after reversing the pair.
Step 3
Exam Tip
संकेत बदलने से विषमता नहीं बदलती, इसलिए संबंध सममित है। / Changing the sign does not change oddness, so the relation is symmetric.
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समुच्चय (A) पर \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\) है। (R) के सममित होने का सही कारण क्या है?
On a set (A), \(R=\{(a,b):a+b=ab\}\). What is the correct reason for (R) being symmetric?
#algebraic relation
#symmetric condition
#commutativity
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A क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba) / Because (a+b=b+a) and (ab=ba)
B क्योंकि (a<b) हमेशा सत्य है / Because (a<b) is always true
C क्योंकि केवल विकर्ण युग्म आते हैं / Because only diagonal pairs occur
D क्योंकि कोई युग्म नहीं आता / Because no pair occurs
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba) / Because (a+b=b+a) and (ab=ba)
Step 1
Concept
दी गई शर्त में जोड़ और गुणा दोनों हैं। / The condition uses addition and multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=ab) होने पर क्रम बदलने से (b+a=ba) भी सही रहता है। / If (a+b=ab), reversing the order gives (b+a=ba), which is the same condition.
Step 3
Exam Tip
जब शर्त क्रम बदलने पर वही रहे, तो संबंध सममित होता है। / When the condition is unchanged by reversing the pair, the relation is symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+2b=6\}\) है। (R) सममित है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+2b=6\}\). Is (R) symmetric?
#linear condition
#counterexample
#symmetric relation
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+10 Time+ 10 sec extra
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A नहीं, क्योंकि \((4,1)\in R\) पर \((1,4)\notin R\) / No, because \((4,1)\in R\) but \((1,4)\notin R\)
B हाँ, क्योंकि जोड़ क्रमविनिमेय है / Yes, because addition is commutative
C हाँ, क्योंकि सभी युग्म विकर्ण हैं / Yes, because all pairs are diagonal
D नहीं, क्योंकि (R) में कोई युग्म नहीं है / No, because (R) has no pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि \((4,1)\in R\) पर \((1,4)\notin R\) / No, because \((4,1)\in R\) but \((1,4)\notin R\)
Step 1
Concept
((4,1)) के लिए \(4+2\cdot1=6\), इसलिए यह संबंध में है। / For ((4,1)), \(4+2\cdot1=6\), so the pair belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
उलटा ((1,4)) लेने पर \(1+2\cdot4=9\), जो (6) नहीं है। / For the reverse ((1,4)), \(1+2\cdot4=9\), not (6).
Step 3
Exam Tip
गुणांक अलग हों तो क्रम बदलने से शर्त बदल सकती है। / Unequal coefficients can break symmetry when the order is reversed.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=10\}\) है। (R) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=10\}\). What type of relation is (R)?
#quadratic relation
#symmetric relation
#sum of squares
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल परावर्ती / Only reflexive
D सार्वत्रिक / Universal
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a^2+b^2=10\), तो \(b^2+a^2=10\) भी होगा। / If \(a^2+b^2=10\), then \(b^2+a^2=10\) as well.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। / Hence ((a,b)) comes with ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए यह संबंध सममित है। / The sum is unchanged when the order is reversed, so the relation is symmetric.
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यदि (A) में (6) अवयव हैं, तो (A) पर कुल सममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (6) elements, how many symmetric relations are there on (A)?
#counting formula
#symmetric relation
#n elements
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{21}\)
B \(2^{36}\)
C \(2^{15}\)
D \(2^{12}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{21}\)
Step 1
Concept
(n) अवयवों के लिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / For (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=6) रखने पर \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / Substituting (n=6), we get \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^{21}\) है। / Hence the total number is \(2^{21}\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे सममित संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((3,4)) दोनों अवश्य हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many symmetric relations must contain both ((1,2)) and ((3,4))?
#fixed off diagonal pairs
#counting
#symmetric relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^8\)
B \(2^{10}\)
C \(2^6\)
D \(2^{12}\)
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Correct Answer
A. \(2^8\)
Step 1
Concept
(4) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह (10) हैं। / For (4) elements, there are (10) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाला समूह और ((3,4)) वाला समूह लेना तय हो गया। / The groups containing ((1,2)) and ((3,4)) are fixed as included.
Step 3
Exam Tip
बचे (8) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^8\) है। / The remaining (8) groups are free, so the number is \(2^8\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ((1,2)) हो और ((2,1)) न हो?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many symmetric relations contain ((1,2)) but not ((2,1))?
#impossible condition
#symmetric relation
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B \(2^9\)
C \(2^8\)
D (1)
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Step 1
Concept
सममित संबंध में ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना अनिवार्य है। / A symmetric relation must contain ((2,1)) whenever it contains ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
प्रश्न में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, यह सममितता के विरुद्ध है। / The condition asks for ((1,2)) to be present but ((2,1)) absent, which violates symmetry.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या (0) है। / Hence the number of such relations is (0).
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यदि किसी संबंध (R) की मैट्रिक्स (M) है, तो (R) के सममित होने की सही मैट्रिक्स शर्त क्या है?
If (M) is the matrix of a relation (R), what is the correct matrix condition for (R) to be symmetric?
#relation matrix
#transpose
#symmetric relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(M=M^T\)
B \(M^2=M\)
C \(M+M^T=0\)
D (M) में सभी प्रविष्टियां (1) हों / All entries of (M) are (1)
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Correct Answer
A. \(M=M^T\)
Step 1
Concept
संबंध में (\(a_i,a_j\)) होने का अर्थ मैट्रिक्स में \(m_{ij}=1\) है। / (\(a_i,a_j\)) in a relation means \(m_{ij}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी होना चाहिए, यानी \(m_{ji}=1\)। / Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), meaning \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर (i,j) के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\), अर्थात \(M=M^T\)। / Thus \(m_{ij}=m_{ji}\) for all (i,j), so \(M=M^T\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\). What is the minimum number of pairs to add to make (R) symmetric?
#symmetric closure
#minimum pairs
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (3)
B (1)
C (2)
D (0)
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Step 1
Concept
((1,2)) के लिए ((2,1)) चाहिए। / ((1,2)) needs ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) के लिए ((3,2)) चाहिए और ((3,1)) के लिए ((1,3)) चाहिए। / ((2,3)) needs ((3,2)), and ((3,1)) needs ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
तीनों उलटे युग्म अनुपस्थित हैं, इसलिए न्यूनतम (3) युग्म जोड़ने होंगे। / All three reverse pairs are missing, so the minimum number to add is (3).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\) है। (R) को सममित बनाने के लिए क्या करना होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\). What must be done to make (R) symmetric?
#minimum addition
#symmetric relation
#closure
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल ((4,3)) जोड़ना होगा / Add only ((4,3))
B केवल ((3,3)) जोड़ना होगा / Add only ((3,3))
C केवल ((4,4)) जोड़ना होगा / Add only ((4,4))
D कुछ नहीं जोड़ना होगा / Add nothing
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Correct Answer
A. केवल ((4,3)) जोड़ना होगा / Add only ((4,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से युग्म बनाकर मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) already appear as a reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) का उलटा ((4,3)) नहीं है। / The reverse of ((3,4)), namely ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((4,3)) जोड़ना पर्याप्त और न्यूनतम है। / Adding only ((4,3)) is enough and minimal.
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कौन-सा संबंध \(\mathbb{R}\) पर सममित है?
Which relation on \(\mathbb{R}\) is symmetric?
#real numbers
#symmetric relation
#equality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R=\{(a,b):a-b=0\}\)
B \(R=\{(a,b):a-b=1\}\)
C \(R=\{(a,b):a<b\}\)
D \(R=\{(a,b):a=2b\}\)
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Correct Answer
A. \(R=\{(a,b):a-b=0\}\)
Step 1
Concept
(a-b=0) का अर्थ (a=b) है। / (a-b=0) means (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b), तो (b=a) भी सत्य है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। / If (a=b), then (b=a), so the reverse pair also belongs.
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित संबंध सममित होते हैं, पर (a-b=1) जैसे संबंध उलटने पर बदल जाते हैं। / Equality-based relations are symmetric, while conditions like (a-b=1) change when reversed.
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कौन-सा कथन सममित संबंध की परिभाषा को सबसे सही रूप में बताता है?
Which statement gives the most accurate definition of a symmetric relation?
#definition
#symmetric relation
#relation properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\) / For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
B हर \(a\in A\) के लिए, \((a,a)\in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
C यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
D हर दो अवयवों के बीच ठीक एक युग्म हो / There is exactly one pair between every two elements
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Correct Answer
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\) / For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता उलटे युग्म की उपस्थिति से जुड़ी है। / Symmetry is about the presence of reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना चाहिए। / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also hold.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण वाली शर्त परावर्तिता और तीसरी शर्त संक्रामकता बताती है। / The diagonal condition is reflexivity, and the three-pair condition is transitivity.
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यदि (R) और (S) (A) पर सममित संबंध हैं, तो \(R\triangle S\) के बारे में सही कथन चुनिए, जहां \(R\triangle S=(R-S)\cup(S-R)\)।
If (R) and (S) are symmetric relations on (A), choose the correct statement about \(R\triangle S\), where \(R\triangle S=(R-S)\cup(S-R)\).
#symmetric difference
#relations
#set operations
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A \(R\triangle S\) सममित है / \(R\triangle S\) is symmetric
B \(R\triangle S\) कभी सममित नहीं है / \(R\triangle S\) is never symmetric
C \(R\triangle S\) हमेशा परावर्ती है / \(R\triangle S\) is always reflexive
D \(R\triangle S=A\times A\) हमेशा होगा / \(R\triangle S=A\times A\) always
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Correct Answer
A. \(R\triangle S\) सममित है / \(R\triangle S\) is symmetric
Step 1
Concept
सममित संबंधों का अंतर भी सममित रहता है। / The difference of two symmetric relations is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे। / Therefore (R-S) and (S-R) are both symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है, इसलिए \(R\triangle S\) सममित है। / The union of two symmetric relations is symmetric, so \(R\triangle S\) is symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv -b \pmod{5}\)}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a\equiv -b \pmod{5}\)}). What is the correct statement about (R)?
#modular relation
#symmetric relation
#hard
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A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) रिक्त है / (R) is empty
D (R) केवल परावर्ती है / (R) is only reflexive
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
\(a\equiv -b \pmod{5}\) का अर्थ \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\) है। / \(a\equiv -b \pmod{5}\) means \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह शर्त क्रम बदलने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\) बनती है, जो वही है। / Reversing the order gives \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\), the same condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा और संबंध सममित है। / Therefore the reverse pair also belongs, so the relation is symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) है। (R) से न्यूनतम कितने युग्म हटाकर संबंध को सममित बनाया जा सकता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\). What is the minimum number of pairs to remove to make the relation symmetric?
#minimum removal
#symmetric relation
#ordered pairs
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (0)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं, और विकर्ण युग्म समस्या नहीं बनाते। / ((1,2)) and ((2,1)) are already balanced, and diagonal pairs cause no issue.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) है लेकिन ((3,2)) नहीं है। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
जोड़ने की जगह हटाने पर केवल ((2,3)) हटाना होगा, इसलिए न्यूनतम संख्या (1) है। / If only removal is allowed, remove ((2,3)), so the minimum number is (1).
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