\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a<b\) और b-a विषम है}) है। यह संबंध कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a<b\) and b-a is odd}). What is the nature of this relation?
#odd difference
#less than
#non transitive
#class 12
A संक्रामक नहीं / Not transitive
B संक्रामक / Transitive
C सार्वत्रिक / Universal
D सममित / Symmetric
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Correct Answer
A. संक्रामक नहीं / Not transitive
Step 1
Concept
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1<2) और (2-1) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है। / ((1,2)) is in the relation because (1<2) and (2-1) is odd. ((2,3)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2) सम है। / Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2) is even.
Step 3
Exam Tip
विषम अंतर की दो कड़ियाँ मिलकर सम अंतर दे सकती हैं। / Two odd-difference links can combine into an even difference.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) विषम है। यह संबंध संक्रामक नहीं है। कौन-सा प्रतिवाद सही है?
On integers, (aRb) is defined when (a-b) is odd. This relation is not transitive. Which counterexample is correct?
#odd difference
#counterexample
#non transitive
#class 12
A (3R2) और (2R1) हैं पर (3R1) नहीं है / (3R2) and (2R1) hold but (3R1) does not
B (4R2) और (2R0) हैं पर (4R0) नहीं है / (4R2) and (2R0) hold but (4R0) does not
C (1R1) और (1R1) हैं पर (1R1) नहीं है / (1R1) and (1R1) hold but (1R1) does not
D (5R3) और (3R1) हैं पर (5R1) नहीं है / (5R3) and (3R1) hold but (5R1) does not
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Correct Answer
A. (3R2) और (2R1) हैं पर (3R1) नहीं है / (3R2) and (2R1) hold but (3R1) does not
Step 1
Concept
(3-2=1) विषम है और (2-1=1) भी विषम है। / (3-2=1) is odd, and (2-1=1) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (3R1) चाहिए, लेकिन (3-1=2) सम है, इसलिए (3R1) नहीं है। / Transitivity requires (3R1), but (3-1=2) is even, so (3R1) does not hold.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद चुनते समय दोनों आरंभिक संबंध सच होने चाहिए। / When choosing a counterexample, both starting relations must be true.
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\(यदि (R={(a,b):a,b \in \mathbb{Z}\) और a-b विषम है}), तो क्या (R) संक्रमण है?
\(If (R={(a,b):a,b \in \mathbb{Z}\) and a-b is odd}), is (R) transitive?
#odd difference
#non transitive
#integers
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Only on positive integers
D केवल शून्य के साथ / Only with zero
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
विषम अंतर और विषम अंतर को जोड़ने पर सम अंतर मिलता है। / Adding an odd difference and an odd difference gives an even difference.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विषम और (b-c) विषम है, तो (a-c) सम होगा, इसलिए संबंध टूटेगा। / If (a-b) is odd and (b-c) is odd, then (a-c) is even, so the relation fails.
Step 3
Exam Tip
दो विषम संख्याओं का योग सम होता है, यह तथ्य याद रखें। / Remember that odd plus odd is even.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) विषम है। क्या यह संबंध संक्रामी है?
On integers, (aRb) if (a-b) is odd. Is this relation transitive?
#transitive relation
#counterexample
#odd difference
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल सम पूर्णांकों पर / Only on even integers
D केवल जब (a=b) / Only when (a=b)
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
उदाहरण लें (1R2) क्योंकि (1-2) विषम है और (2R3) क्योंकि (2-3) विषम है। / Take (1R2) because (1-2) is odd, and (2R3) because (2-3) is odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1-3) सम है, इसलिए (1R3) नहीं है। / But (1-3) is even, so (1R3) is false.
Step 3
Exam Tip
संक्रामिता तोड़ने के लिए एक छोटा प्रतिउदाहरण काफी होता है। / One small counterexample is enough to disprove transitivity.
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\(संबंध (R={(x,y):x-y\) विषम है\(}), जहाँ (x,y\in {1,2,3,4}), के लिए सही कथन कौन-सा है\)?
\(For the relation (R={(x,y):x-y\) is odd\(}), where (x,y\in {1,2,3,4}), which statement is correct\)?
#odd difference
#symmetric relation
#class 12
#hard
A सममित है / It is symmetric
B सममित नहीं है / It is not symmetric
C केवल स्वतुल्य है / It is only reflexive
D कोई युग्म नहीं बनेगा / No ordered pair will be formed
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Correct Answer
A. सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि (x-y) विषम है, तो (y-x=-(x-y)) भी विषम होगा। / If (x-y) is odd, then (y-x=-(x-y)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) होने पर ((y,x)) भी संबंध में होगा। / Hence whenever ((x,y)) is in the relation, ((y,x)) will also be in it.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले नियम में चिन्ह बदलने से सम या विषम होने की प्रकृति नहीं बदलती। / In difference-based parity rules, changing the sign does not change oddness or evenness.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। (R) कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is odd}). What is (R)?
#odd difference
#symmetric relation
#parity
A सममित है / Symmetric
B सममित नहीं है / Not symmetric
C परावर्ती है / Reflexive
D रिक्त संबंध है / Empty relation
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Correct Answer
A. सममित है / Symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। / If (a-b) is odd, then (b-a=-(a-b)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए युग्म उलटने पर भी शर्त बनी रहती है। / Thus the condition remains true after reversing the pair.
Step 3
Exam Tip
संकेत बदलने से विषमता नहीं बदलती, इसलिए संबंध सममित है। / Changing the sign does not change oddness, so the relation is symmetric.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is odd}). Choose the correct statement about (R).
#symmetric relation
#odd difference
#relations
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) में कोई युग्म नहीं है / (R) has no pair
D (R) केवल विकर्ण युग्म रखता है / (R) has only diagonal pairs
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। / If (a-b) is odd, then (b-a=-(a-b)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी शर्त पूरी करता है। / Hence the reverse pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक विषम संख्या भी विषम ही मानी जाती है। / Remember that the negative of an odd integer is also odd.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) संबंध कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4}), what type is the relation (R={(a,b):a-b\) is odd})?
#odd difference
#symmetric relation
#relations
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल स्वतुल्य / Only reflexive
D केवल रिक्त / Only empty
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a) भी विषम होगा क्योंकि केवल चिह्न बदलता है। / If (a-b) is odd, then (b-a) is also odd because only the sign changes.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर युग्म का उलटा भी उसी नियम को पूरा करेगा। / Therefore the reverse pair also satisfies the same rule.
Step 3
Exam Tip
सम या विषम होने की जाँच में ऋण चिह्न से घबराएँ नहीं। / While checking evenness or oddness, do not worry about the negative sign.
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\(समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) दिया है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a-b\) is odd}) is given. Choose the correct statement about (R).
#odd difference
#not reflexive
#relation condition
A (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
B (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं / (R) has all self-pairs
D \(R=A\times A\)
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Correct Answer
B. (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म के लिए (a-b=a-a=0) होगा। / For a self-pair, (a-b=a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) विषम नहीं है, इसलिए कोई ((a,a)) इस शर्त को पूरा नहीं करता। / (0) is not odd, so no self-pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
यदि अपने-आप वाले युग्म छूट जाएं, तो सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं होता। / If self-pairs are missing, the relation is not reflexive.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):|a-b|\) विषम है(}) है। (R) परावर्ती क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R={(a,b):|a-b|\) is odd(}). Why is (R) not reflexive?
#odd difference
#not reflexive
#absolute value
#class 12
A क्योंकि (|a-a|=0), जो विषम नहीं है / Because (|a-a|=0), which is not odd
B क्योंकि (|a-a|=1), जो विषम है / Because (|a-a|=1), which is odd
C क्योंकि हर अंतर विषम होता है / Because every difference is odd
D क्योंकि सभी अपने-अपने युग्म मिलते हैं / Because all self-pairs are present
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Correct Answer
A. क्योंकि (|a-a|=0), जो विषम नहीं है / Because (|a-a|=0), which is not odd
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0) होता है और 0 विषम नहीं है। / (|a-a|=0), and 0 is not odd.
Step 3
Exam Tip
यदि नियम विषम अंतर मांगता है, तो अपने-अपने युग्म अनुपस्थित होंगे। / If the rule requires an odd difference, self-pairs are absent.
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\((A={1,2,3}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। कौन-सा कथन सही है?
\(On (A={1,2,3}), (R={(a,b):a-b\) is odd}). Which statement is correct?
#odd difference
#not reflexive
#relations
A (R) स्वतुल्य है / (R) is reflexive
B (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं / (R) has all self-pairs
D \(R=A\times A\)
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Correct Answer
B. (R) स्वतुल्य नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
अपने-आप वाले युग्म के लिए (a-b=a-a=0) होगा। / For a self-pair, (a-b=a-a=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0) विषम नहीं है, इसलिए ((a,a)) शर्त पूरी नहीं करता। / (0) is not odd, so ((a,a)) does not satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं है। / Therefore the relation is not reflexive.
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\(पूर्णांकों पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। यह परावर्ती क्यों नहीं है?
\(On integers, (R={(a,b):a-b\) is odd}). Why is it not reflexive?
#odd difference
#not reflexive
#integers
#relations
A क्योंकि (a-a=0) विषम नहीं है / Because (a-a=0) is not odd
B क्योंकि (a-a=1) है / Because (a-a=1)
C क्योंकि हर अंतर विषम होता है / Because every difference is odd
D क्योंकि हर संख्या विषम है / Because every number is odd
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Correct Answer
A. क्योंकि (a-a=0) विषम नहीं है / Because (a-a=0) is not odd
Step 1
Concept
अपने-अपने युग्म के लिए (a=b) लें। / For a self-pair, take (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) मिलता है और 0 विषम नहीं होता। / Then (a-a=0), and 0 is not odd.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती गुण में सभी तत्वों के अपने-अपने युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity needs self-pairs for all elements.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तभी जब (a-b) विषम संख्या हो। यह संबंध स्वसम क्यों नहीं है?
On integers, (aRb) if (a-b) is odd. Why is this relation not reflexive?
#not reflexive
#odd difference
#relations
A क्योंकि (a-a=0) विषम नहीं है / Because (a-a=0) is not odd
B क्योंकि (a-b) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता / Because (a-b) can never be negative
C क्योंकि हर अंतर सम होता है / Because every difference is even
D क्योंकि हर युग्म उल्टा नहीं होता / Because every pair is not reversed
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Correct Answer
A. क्योंकि (a-a=0) विषम नहीं है / Because (a-a=0) is not odd
Step 1
Concept
स्वसमता के लिए हर (a) पर (aRa) सत्य होना चाहिए। / For reflexivity, (aRa) must be true for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (a-a=0) है, और (0) विषम संख्या नहीं है। / Here (a-a=0), and (0) is not odd.
Step 3
Exam Tip
अपने युग्म की जाँच में अक्सर (a-a) लगाकर देखें। / To test self-pairs, substitute (a-a).
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