A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) सम हो/On integers, (aRb) when (a-b) is even
Step 1
Concept
(a-b) being even means the two integers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
This relation is reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
Order-type relations often fail symmetry. चरण 1: (a-b) सम होने का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की हैं। चरण 2: यह संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण है। चरण 3: छोटे या विभाज्यता जैसे क्रम आधारित संबंधों में सममितता अक्सर नहीं होती।
For (|1-b|) to be even, (b) must have the same parity as (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1,3,5) are odd, so they are related to (1).
Step 3
Exam Tip
An even difference relation groups numbers by parity. चरण 1: (|1-b|) सम होने के लिए (b) की सम-विषम प्रकृति (1) जैसी होनी चाहिए। चरण 2: (1,3,5) सभी विषम हैं, इसलिए (1) से संबंधित हैं। चरण 3: सम अंतर वाला संबंध समान सम-विषम प्रकृति के वर्ग बनाता है।
If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
An increasing chain with even differences remains transitive. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c)। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: सम अंतर वाली बढ़ती श्रृंखला संक्रामक रहती है।
If (b-a) and (c-b) are both divisible by (2), then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
In combined conditions, check order and divisibility separately. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: संयुक्त शर्तों में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें।
If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
In relations with combined conditions, check each condition separately. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। चरण 3: संयुक्त शर्तों में हर शर्त को अलग-अलग जाँचें।
If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check. चरण 1: यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए (aRc) सत्य होगा। चरण 3: अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है।
If (a-b) and (b-c) are even, then (a-c=(a-b)+(b-c)) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Also, \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\).
Step 3
Exam Tip
For two conditions, build a separate chain for each condition. चरण 1: (a-b) सम और (b-c) सम होने से (a-c=(a-b)+(b-c)) सम होगा। चरण 2: साथ ही \(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलेगा। चरण 3: दो शर्तों में दोनों की अलग-अलग श्रृंखला बनाकर निर्णय लें।
If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is even.
Step 3
Exam Tip
For relations with two conditions, verify both conditions separately. चरण 1: (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलेगा। चरण 2: यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। चरण 3: दो शर्तों वाले संबंध में दोनों शर्तों को अलग-अलग जांचना चाहिए।
If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum (a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (a) and (c) are related.
Step 3
Exam Tip
In parity-based relations, add the differences. चरण 1: यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग (a-c) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए (a) और (c) भी इसी संबंध में आएंगे। चरण 3: सम-विषम वाले प्रश्नों में अंतरों का योग देखें।
If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) belongs to (R), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In such questions, add the given differences. चरण 1: यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी (R) में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंतरों को जोड़कर देखें।
In such questions, adding the differences is a useful exam method. चरण 1: (a-b) सम और (b-c) सम मानें। चरण 2: दोनों को जोड़ने पर (a-c) सम मिलता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंतरों को जोड़ना उपयोगी रहता है।
If (a-b) is even, then (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (b-c) is also even, then (a) and (c) have the same parity, so (a-c) is even.
Step 3
Exam Tip
Use parity to decide quickly in such questions. चरण 1: (a-b) सम होने का अर्थ है (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकार के हैं। चरण 2: यदि (b-c) भी सम है, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे, इसलिए (a-c) सम होगा। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति से जल्दी निर्णय लें।
So whenever ((a,b)) belongs, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
The key point is that the negative of an even integer is also even. चरण 1: यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: ऋणात्मक सम संख्या भी सम ही रहती है, यह मुख्य बात है।
(a-b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
Then (b-a) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
For difference-based conditions, the sign may change, but parity remains the same. चरण 1: (a-b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: तब (b-a) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। चरण 3: अंतर वाली शर्तों में चिह्न बदल सकता है, पर सम-विषम गुण नहीं बदलता।
A. \((R={(a,b):a-b\) is even}) on integers/\(पूर्णांकों पर (R={(a,b):a-b\) is even})
Step 1
Concept
(a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Test each property separately in exam questions. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: एक ही संबंध में अलग-अलग गुणों को अलग-अलग जांचें।
Therefore, whenever ((a,b)) satisfies the condition, ((b,a)) also satisfies it.
Step 3
Exam Tip
In parity questions, remember that the negative of an even number is also even. चरण 1: यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी शर्त पूरी करता है। चरण 3: सम-विषम से जुड़े प्रश्नों में ऋणात्मक सम संख्या भी सम ही रहती है।
A. क्योंकि (b-a) भी सम होगा/Because (b-a) will also be even
Step 1
Concept
If (a-b) is even, then its negative (b-a) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
So whenever ((a,b)) satisfies the rule, ((b,a)) also satisfies it.
Step 3
Exam Tip
For rule-based relations, check whether the reversed pair satisfies the same rule. चरण 1: यदि (a-b) सम है, तो उसका ऋणात्मक (b-a) भी सम होता है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी नियम पूरा करता है। चरण 3: नियम आधारित संबंधों में उल्टा युग्म उसी शर्त को पूरा कर रहा है या नहीं, यह देखें।
In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), which is even.
Step 2
Why this answer is correct
In (S), putting ((a,a)) gives (a-a=0), which is even.
Step 3
Exam Tip
Both relations contain all self-pairs. चरण 1: (R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो सम है। चरण 2: (S) में ((a,a)) रखने पर (a-a=0), जो सम है। चरण 3: दोनों में सभी अपने-आप वाले युग्म मौजूद होंगे।
A. हाँ, क्योंकि (|a-a|=0) सम है/Yes, because (|a-a|=0) is even
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), and (0) is even.
Step 3
Exam Tip
In parity-of-difference relations, remember the zero difference. चरण 1: परावर्ती जांच में (b=a) रखना होता है। चरण 2: (|a-a|=0), और (0) सम संख्या है। चरण 3: अंतर की समता वाले संबंध में शून्य अंतर को याद रखें।
If the condition is true for every element with itself, the relation is reflexive. चरण 1: परावर्तिता के लिए (a-a) को देखें। चरण 2: (a-a=0) होता है और (0) सम है। चरण 3: जब शर्त अपने-आप पर सत्य हो, तो संबंध परावर्ती होता है।
(0) is even, so every self-pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
For subtraction conditions, test by putting (a=a). चरण 1: ((a,a)) के लिए (a-a=0) होता है। चरण 2: (0) सम संख्या है, इसलिए हर अपने-आप वाला युग्म शर्त पूरी करता है। चरण 3: घटाव वाली शर्त में (a=a) रखकर जांच करें।
A. हाँ, क्योंकि (a-a=0) सम है/Yes, because (a-a=0) is even
Step 1
Concept
For reflexivity, put (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
Then (a-a=0), and 0 is even.
Step 3
Exam Tip
In difference-based rules, first subtract the element from itself. चरण 1: परावर्ती जांच के लिए (a=b) रखें। चरण 2: तब (a-a=0) मिलता है और 0 सम संख्या है। चरण 3: घटाव वाले नियमों में पहले अपने-आप से घटाकर देखें।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Adding two even differences gives an even difference, so it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए स्वसमता है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। चरण 3: दो सम अंतरों को जोड़ने पर फिर सम अंतर मिलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है।
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and adding two even differences gives an even difference.
Step 3
Exam Tip
Since all three properties hold, it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है इसलिए संबंध स्वतः है। चरण 2: यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और दो सम अंतरों को जोड़ने पर सम अंतर मिलता है। चरण 3: तीनों गुण होने से यह तुल्यता संबंध है।
