Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c)। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
सम अंतर वाली बढ़ती श्रृंखला संक्रामक रहती है। / An increasing chain with even differences remains transitive.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (b-a) and (c-b) are both divisible by (2), then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें। / In combined conditions, check order and divisibility separately.
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में हर शर्त को अलग-अलग जाँचें। / In relations with combined conditions, check each condition separately.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है। / For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी (R) में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Hence ((a,c)) belongs to (R), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतरों को जोड़कर देखें। / In such questions, add the given differences.
(a-b) सम होने का अर्थ है (a) और (b) दोनों समान सम-विषम प्रकार के हैं। / If (a-b) is even, then (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-c) भी सम है, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे, इसलिए (a-c) सम होगा। / If (b-c) is also even, then (a) and (c) have the same parity, so (a-c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति से जल्दी निर्णय लें। / Use parity to decide quickly in such questions.
(a-b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a-b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b-a) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। / Then (b-a) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाली शर्तों में चिह्न बदल सकता है, पर सम-विषम गुण नहीं बदलता। / For difference-based conditions, the sign may change, but parity remains the same.
A. क्योंकि (b-a) भी सम होगा/Because (b-a) will also be even
Step 1
Concept
यदि (a-b) सम है, तो उसका ऋणात्मक (b-a) भी सम होता है। / If (a-b) is even, then its negative (b-a) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी नियम पूरा करता है। / So whenever ((a,b)) satisfies the rule, ((b,a)) also satisfies it.
Step 3
Exam Tip
नियम आधारित संबंधों में उल्टा युग्म उसी शर्त को पूरा कर रहा है या नहीं, यह देखें। / For rule-based relations, check whether the reversed pair satisfies the same rule.
(a-a=0) सम है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0) is even, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
दो सम अंतरों को जोड़ने पर फिर सम अंतर मिलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Adding two even differences gives an even difference, so it is an equivalence relation.
(a-a=0) सम है इसलिए संबंध स्वतः है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और दो सम अंतरों को जोड़ने पर सम अंतर मिलता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and adding two even differences gives an even difference.
Step 3
Exam Tip
तीनों गुण होने से यह तुल्यता संबंध है। / Since all three properties hold, it is an equivalence relation.
