A. परावर्तक, सममित, संक्रामक/Reflexive, symmetric, transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation is identified by three properties.
Step 2
Why this answer is correct
It must be reflexive, symmetric, and transitive together.
Step 3
Exam Tip
In exams, never decide by checking only one or two properties. चरण 1: तुल्यता संबंध की पहचान तीन गुणों से होती है। चरण 2: उसमें हर तत्व अपने से जुड़ा हो, उलटा क्रम भी हो और जुड़ाव आगे बढ़े। चरण 3: परीक्षा में हमेशा परावर्तक, सममित और संक्रामक तीनों जाँचें।
Every integer has the same absolute value as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Equality of absolute values is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Relations based on equality usually become equivalence relations after all three checks. चरण 1: हर पूर्णांक का परिमाण अपने परिमाण के बराबर होता है, इसलिए परावर्तकता है। चरण 2: परिमाण की बराबरी उलटने पर भी सही रहती है और तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है। चरण 3: बराबरी पर आधारित संबंधों में तीनों गुण शांत मन से जाँचें।
A. क्योंकि हर ((a,a)) संबंध में होता है/Because every ((a,a)) is in the relation
Step 1
Concept
A relation is reflexive if every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
The universal relation contains all pairs of \(A\times A\), so each ((a,a)) is present.
Step 3
Exam Tip
For a non-empty set, the universal relation is always reflexive. चरण 1: परावर्तक होने के लिए हर तत्व का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: सर्वसम संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं, इसलिए ((a,a)) भी होते हैं। चरण 3: सर्वसम संबंध को छोटे समुच्चय पर जल्दी परावर्तक मान सकते हैं।
The relation holds only when both elements are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) and (5) both lie in ({3,5}), so \((3,5)\in R\).
Step 3
Exam Tip
In class-based questions, first locate the two elements in the given groups. चरण 1: संबंध उसी समय बनेगा जब दोनों तत्व एक ही वर्ग में हों। चरण 2: (3) और (5) दोनों ({3,5}) में हैं, इसलिए ((3,5)) संबंध में होगा। चरण 3: वर्गों से बने प्रश्न में पहले दिए गए समूहों को ध्यान से पढ़ें।
All self-pairs are present and reverse pairs are also visible.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,2)) and ((2,3)) should imply ((1,3)), which is missing.
Step 3
Exam Tip
For transitivity, look for pairs whose middle element matches. चरण 1: सभी अपने युग्म हैं और उलटे युग्म भी दिख रहे हैं। चरण 2: लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में नहीं है। चरण 3: संक्रामकता जाँचते समय बीच वाला तत्व समान वाले युग्म खोजें।
Reflexivity is necessary for an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no self-pairs such as ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, the empty relation is not an equivalence relation. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए परावर्तक होना जरूरी है। चरण 2: रिक्त संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसे युग्म नहीं हैं। चरण 3: खाली संबंध को अरिक्त समुच्चय पर तुल्यता संबंध न मानें।
In the given set, (8) also leaves remainder (0), so (4) and (8) are in the same class.
Step 3
Exam Tip
In remainder-class questions, use only elements from the given set. चरण 1: (4) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय में (8) का भी शेषफल (0) है, इसलिए (4) और (8) एक ही वर्ग में हैं। चरण 3: शेषफल वाले प्रश्न में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें।
When the middle element matches, check transitivity. चरण 1: तुल्यता संबंध संक्रामक होता है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलना चाहिए। चरण 3: दो जुड़े हुए युग्मों में बीच वाला तत्व समान हो तो संक्रामकता लगाएँ।
If (a-b) is even, then (b-a) is even, and even differences combine transitively.
Step 3
Exam Tip
Same parity is a standard equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए परावर्तक गुण है। चरण 2: यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और सम अंतरों का जोड़ भी सम रहता है। चरण 3: समान सम-विषम प्रकृति वाला संबंध सामान्य तुल्यता संबंध का उदाहरण है।
Modulo (n) usually gives (n) equivalence classes. चरण 1: \( \pmod{3}\) में शेषफल केवल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: समान शेषफल वाले पूर्णांक एक ही वर्ग में आते हैं। चरण 3: \( \pmod{n}\) में सामान्यतः (n) तुल्यता वर्ग होते हैं।
