A. हाँ, क्योंकि सभी जरूरी युग्म उपस्थित हैं/Yes, because all required pairs are present
Step 1
Concept
A relation is transitive if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\) imply \((a,c) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present. Other required cases also do not fail.
Step 3
Exam Tip
In exams, first check pairs with matching middle elements. चरण 1: संक्रामी होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो उपस्थित है। बाकी जरूरी स्थितियाँ भी टूटती नहीं हैं। चरण 3: परीक्षा में पहले बीच वाले तत्व को मिलाकर जांचें।
To test transitivity, look for ((a,b)) and ((b,c)), then check ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Since ((1,2)) and ((2,3)) are in (R), ((1,3)) must also be in (R). It is missing, so (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
A single missing required pair is enough to disprove transitivity. चरण 1: संक्रामी जाँच में ((a,b)) और ((b,c)) को साथ देखकर ((a,c)) खोजते हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) दोनों (R) में हैं, इसलिए ((1,3)) भी होना चाहिए। पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। चरण 3: एक ही कमी भी सम्बन्ध को असंक्रामी सिद्ध कर देती है।
If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).
Step 2
Why this answer is correct
Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
For divisibility questions, write the numbers in multiplication form. चरण 1: यदि (a) किसी (b) को विभाजित करता है और (b) किसी (c) को विभाजित करता है, तो (a) भी (c) को विभाजित करेगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। यह संक्रामी की शर्त है। चरण 3: विभाज्यता वाले प्रश्नों में गुणन रूप लिखना जल्दी मदद करता है।
If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) belongs to (R), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In such questions, add the given differences. चरण 1: यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी (R) में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंतरों को जोड़कर देखें।
Therefore ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
For inequality relations, remember the direction on the number line. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो क्रम नियम से (a<c) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः (R) संक्रामी है। चरण 3: असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly the condition for transitivity, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Both \(\le\) and (<) are transitive in usual order. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\) अवश्य होगा। चरण 2: यही संक्रामी सम्बन्ध की मुख्य शर्त है। इसलिए दिया गया सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: \(\le\) और (<) दोनों सामान्य क्रम में संक्रामी होते हैं।
In ((1,2)) and ((2,4)), the middle element (2) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,4)), and it is present in (R).
Step 3
Exam Tip
Quickly identify pairs with a common middle element. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) में बीच का तत्व (2) समान है। चरण 2: संक्रामी होने के लिए इनके कारण ((1,4)) चाहिए। यह युग्म (R) में दिया है। चरण 3: मिलते हुए बीच वाले तत्व तुरंत पहचानें।
Transitivity does not require every reflexive pair; it only requires the pairs forced by chains.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)), which is present. ((a,b)) and ((b,b)) again require ((a,b)).
Step 3
Exam Tip
Do not confuse transitivity with reflexivity. चरण 1: संक्रामी के लिए हर आत्म युग्म जरूरी नहीं होता, केवल आवश्यक बने हुए युग्म चाहिए। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए, जो मौजूद है। ((a,b)) और ((b,b)) से ((a,b)) फिर मिल जाता है। चरण 3: संक्रामी को आत्म सम्बन्ध से अलग पहचानें।
A. हाँ, शर्त टूटने का कोई उदाहरण नहीं है/Yes, there is no case that violates the condition
Step 1
Concept
To disprove transitivity, we need ((a,b)) and ((b,c)) present but ((a,c)) absent.
Step 2
Why this answer is correct
In the empty relation, no starting pair exists, so the condition is never violated. Hence it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not assume an empty relation is non-transitive. चरण 1: संक्रामी न होने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें ((a,b)) और ((b,c)) हों पर ((a,c)) न हो। चरण 2: खाली सम्बन्ध में कोई भी पहला युग्म नहीं है, इसलिए शर्त कभी टूटती नहीं। अतः यह संक्रामी माना जाता है। चरण 3: खाली सम्बन्ध को देखकर जल्दी असंक्रामी न मानें।
A universal relation contains every possible ordered pair from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, if ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also certainly present. Hence it is transitive.
Step 3
Exam Tip
In \(A\times A\), no required pair is missing. चरण 1: सार्वत्रिक सम्बन्ध में (A) के हर सम्भव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो ((a,c)) भी निश्चित रूप से होगा। अतः यह संक्रामी है। चरण 3: \(A\times A\) वाले प्रश्नों में कोई युग्म छूटता नहीं।
From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is also required. Since it is missing, it must be added.
Step 3
Exam Tip
In longer chains, check the end-to-end pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) ही चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है, इसलिए इसे जोड़ना जरूरी है। चरण 3: लम्बी श्रृंखला में बने अंतिम युग्मों को अवश्य जाँचें।
If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then their sum (a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Use the addition property of divisibility. चरण 1: यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: विभाज्यता में योग का नियम याद रखें।
A. नहीं, क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए/No, because ((1,1)) and ((2,2)) are required
Step 1
Concept
From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
Similarly, from ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required. Both are missing, so (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs can force reflexive pairs in transitivity checks. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामी शर्त के अनुसार ((1,1)) चाहिए। चरण 2: इसी प्रकार ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। चरण 3: उल्टे युग्म होने पर आत्म युग्मों की जरूरत बन सकती है।
In the transitive rule, the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,5)) and ((5,7)), the required pair is ((2,7)).
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the order of ordered pairs. चरण 1: संक्रामी नियम में पहले युग्म का दूसरा तत्व और दूसरे युग्म का पहला तत्व समान होता है। चरण 2: ((2,5)) और ((5,7)) से सीधा युग्म ((2,7)) बनता है। इसलिए यह आवश्यक है। चरण 3: क्रमित युग्मों में क्रम बदलने की गलती न करें।
This behaves like the equality relation, containing only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((a,a)) and ((a,a)), the required pair is again ((a,a)), which is present. So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
A relation with only identity pairs is transitive. चरण 1: यह समानता सम्बन्ध जैसा है, जिसमें केवल ((a,a)) रूप के युग्म हैं। चरण 2: ((a,a)) और ((a,a)) से फिर ((a,a)) ही चाहिए, जो उपस्थित है। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: केवल आत्म युग्म वाला सम्बन्ध संक्रामी होता है।
Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so equality is transitive.
Step 3
Exam Tip
Equality is reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो (a=c) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः समानता सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: समानता सम्बन्ध आत्म, सममित और संक्रामी तीनों होता है।
One counterexample is enough to show a relation is not transitive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\ne2\) and \(2\ne1\), but \(1\ne1\) is false. So ((1,2)) and ((2,1)) are present, but ((1,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the relation \(a\ne b\) is transitive. चरण 1: संक्रामी न होने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। चरण 2: \(1\ne2\) और \(2\ne1\), पर \(1\ne1\) गलत है। इसलिए ((1,2)) और ((2,1)) हैं, लेकिन ((1,1)) नहीं होगा। चरण 3: असमानता \(a\ne b\) को हमेशा संक्रामी न मानें।
They require ((1,1)), but ((1,1)) is not present. Hence (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
In cyclic pairs, check the required reflexive pairs carefully. चरण 1: ((1,3)) और ((3,1)) दोनों (R) में हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,1)) चाहिए, लेकिन ((1,1)) नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। चरण 3: चक्र जैसे युग्मों में आत्म युग्मों की जाँच जरूर करें।
A. \(R \cap S\) हमेशा संक्रामी है/\(R \cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R \cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are transitive, ((a,c)) belongs to both, so it belongs to \(R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
For intersection, check membership in both relations. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)), \(R \cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। चरण 2: (R) और (S) दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा। अतः ((a,c)), \(R \cap S\) में होगा। चरण 3: प्रतिच्छेद के प्रश्न में सदस्यता दोनों सम्बन्धों में जाँचें।
In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Do not treat union like intersection for transitivity. चरण 1: संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। चरण 2: उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें।
Transitivity requires ((1,3)), but it is absent. This is a clear reason (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Start checking from the shortest visible chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) (R) में हैं। चरण 2: संक्रामी होने के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर यह नहीं है। इसलिए असंक्रामी होने का साफ कारण यही है। चरण 3: सूची में सबसे छोटी श्रृंखला से जाँच शुरू करें।
If person (a) has the same age as (b), and (b) has the same age as (c), then (a) has the same age as (c).
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((a,c)) also belongs to the relation, so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Relations based on the same property are often transitive. चरण 1: यदि व्यक्ति (a) की आयु (b) के बराबर है और (b) की आयु (c) के बराबर है, तो (a) की आयु (c) के बराबर होगी। चरण 2: इसलिए ((a,c)) भी सम्बन्ध में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: समान गुण वाले सम्बन्ध अक्सर संक्रामी होते हैं।
In friendship, if (a) is a friend of (b), and (b) is a friend of (c), it is not necessary that (a) is a friend of (c).
Step 2
Why this answer is correct
So the transitive condition does not generally hold.
Step 3
Exam Tip
For real-life relations, test the rule using examples. चरण 1: मित्रता में यदि (a), (b) का मित्र है और (b), (c) का मित्र है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भी मित्र हो। चरण 2: इसलिए संक्रामी शर्त सामान्य रूप से पूरी नहीं होती। चरण 3: वास्तविक जीवन के सम्बन्धों में जरूरी नियम को उदाहरण से जाँचें।
From ((1,2)) and ((2,2)), ((1,2)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present. From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) is required and present. So the condition does not fail.
Step 3
Exam Tip
Check chains involving reflexive pairs separately. चरण 1: ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो है। इसलिए शर्त नहीं टूटती। चरण 3: आत्म युग्मों के साथ बने युग्मों को अलग से देखें।
In a transitive relation, ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=4), (b=6), (c=9), so \((4,9)\in R\) is certain.
Step 3
Exam Tip
Reverse pairs do not follow from transitivity alone. चरण 1: संक्रामी सम्बन्ध में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहाँ (a=4), (b=6), (c=9), इसलिए \((4,9)\in R\) निश्चित है। चरण 3: उल्टे युग्मों का निष्कर्ष केवल संक्रामी से नहीं निकलता।
From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and present. Other reflexive pairs satisfy their own chains. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
When reverse pairs exist, check whether the needed reflexive pairs are present. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो है। बाकी आत्म युग्म अपने-अपने साथ शर्त पूरी करते हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: दोतरफा युग्मों के साथ आत्म युग्म मौजूद हों तो जाँच आसान हो जाती है।
The second element of ((2,3)) matches the first element of ((3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, combine the first and last elements to get ((2,4)).
Step 3
Exam Tip
Keep the order of ordered pairs unchanged. चरण 1: ((2,3)) का दूसरा तत्व और ((3,4)) का पहला तत्व समान है। चरण 2: संक्रामी नियम से पहला और अंतिम तत्व मिलाकर ((2,4)) मिलेगा। चरण 3: क्रमित युग्म में दिशा वही रखें जिसमें सम्बन्ध दिया है।
The definition of transitivity is exactly in this form.
Step 2
Why this answer is correct
From ((x,y)) and ((y,z)), ((x,z)) must belong to (R). Reverse pairs do not follow.
Step 3
Exam Tip
In symbolic questions, read (x,y,z) just like (a,b,c). चरण 1: संक्रामी सम्बन्ध की परिभाषा सीधे इसी रूप में दी जाती है। चरण 2: ((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) अनिवार्य होता है। उल्टे युग्मों का निष्कर्ष नहीं निकलता। चरण 3: प्रतीकों वाले प्रश्न में (x,y,z) को (a,b,c) जैसा ही पढ़ें।
The main chains are ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), and ((1,3),(3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
They require ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)), all of which are present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
Transitivity does not require every reflexive or reverse pair. चरण 1: मुख्य श्रृंखलाएँ ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), ((1,3),(3,4)) हैं। चरण 2: इनके लिए क्रमशः ((1,3)), ((2,4)), ((1,4)) चाहिए, और ये सभी मौजूद हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: संक्रामी होने के लिए हर आत्म या उल्टा युग्म जरूरी नहीं है।
A. क्योंकि \(a \equiv b \pmod{5}\) और \(b \equiv c \pmod{5}\) से \(a \equiv c \pmod{5}\)/Because \(a \equiv b \pmod{5}\) and \(b \equiv c \pmod{5}\) imply \(a \equiv c \pmod{5}\)
Step 1
Concept
Same remainder means the difference of two numbers is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
For congruence relations, think in terms of differences. चरण 1: समान शेषफल का अर्थ है कि दो संख्याओं का अंतर (5) से विभाज्य है। चरण 2: यदि (a-b) और (b-c) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: सर्वांगसमता वाले प्रश्नों में अंतर का विचार करें।
They require ((1,3)), which is missing. Reflexive pairs do not create a problem here. So ((1,3)) must be added.
Step 3
Exam Tip
First check pairs that create a new reach from start to end. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) (R) में हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,3)) चाहिए, पर यह नहीं है। बाकी आत्म युग्म समस्या नहीं बनाते। इसलिए ((1,3)) जोड़ना होगा। चरण 3: पहले उन युग्मों को देखें जो नई दूरी बनाते हैं।
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
Transitivity is identified using two connected ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) must also be present. This is the correct definition.
Step 3
Exam Tip
Keep it separate from symmetric and reflexive definitions. चरण 1: संक्रामी की पहचान दो जुड़े हुए युग्मों से होती है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) मिलने पर ((a,c)) भी होना चाहिए। यही सही परिभाषा है। चरण 3: सममित और आत्म सम्बन्ध की परिभाषाओं से इसे अलग रखें।
((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Chains involving ((2,2)) give existing pairs again, and ((4,4)) does not create a missing pair. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
Check all connected pairs systematically. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो है। चरण 2: ((2,2)) के साथ बने युग्म फिर वही युग्म देते हैं, और ((4,4)) भी कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: सभी संभावित जुड़े युग्मों को व्यवस्थित रूप से देखें।
If (a) is the father of (b), and (b) is the father of (c), then (a) may be the grandfather of (c), not the father.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,c)) need not belong to the same relation. Hence it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
In family relation questions, read the exact relation name carefully. चरण 1: यदि (a), (b) का पिता है और (b), (c) का पिता है, तो (a), (c) का पिता नहीं बल्कि दादा हो सकता है। चरण 2: इसलिए ((a,c)) उसी सम्बन्ध में जरूरी नहीं आएगा। अतः यह संक्रामी नहीं है। चरण 3: रिश्तों वाले प्रश्नों में सम्बन्ध का नाम ठीक-ठीक पढ़ें।
Therefore ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)). This satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
Usual order relations are generally transitive. चरण 1: यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। यह संक्रामी की शर्त पूरी करता है। चरण 3: बड़े-छोटे क्रम वाले सम्बन्ध अक्सर संक्रामी होते हैं।
Transitivity requires ((2,1)), but it is missing. Hence (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
One broken chain is enough to prove non-transitivity. चरण 1: ((2,3)) और ((3,1)) (R) में हैं। चरण 2: संक्रामी होने के लिए ((2,1)) होना चाहिए। पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। चरण 3: किसी एक टूटे हुए क्रम से उत्तर सिद्ध किया जा सकता है।
Adding ((1,1)) makes chains such as ((1,1)) with ((1,2)) requiring ((1,2)), and ((1,1)) with ((1,3)) requiring ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
These pairs are already present, so no new missing requirement appears.
Step 3
Exam Tip
When adding a pair, check all chains it creates. चरण 1: ((1,1)) जोड़ने से ((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)), तथा ((1,1)) और ((1,3)) से ((1,3)) ही चाहिए। चरण 2: ये दोनों पहले से उपस्थित हैं, इसलिए नई कमी नहीं बनेगी। चरण 3: नया युग्म जोड़ने पर उससे बनने वाली सभी श्रृंखलाएँ सोचें।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Chains with ((1,1)) and ((2,2)) require already existing pairs. Therefore (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not be confused by missing reflexive pairs that are not required by a chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। चरण 2: ((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)), तथा ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: अनावश्यक आत्म युग्मों की कमी से भ्रमित न हों।
Thus the transitive condition is satisfied, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Understand \(\ge\) and \(\le\) as order relations. चरण 1: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\) होगा। चरण 2: इसलिए संक्रामी शर्त पूरी होती है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: \(\ge\) और \(\le\) दोनों को क्रम सम्बन्ध की तरह समझें।
It requires ((1,4)), which is present. ((2,2)) only requires itself with itself. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
For each pair, look for another pair that starts from its second element. चरण 1: यहाँ मुख्य श्रृंखला ((1,3)) और ((3,4)) है। चरण 2: इनके लिए ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,2)) केवल अपने साथ ((2,2)) ही माँगता है। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: प्रत्येक युग्म से आगे चलने वाला युग्म ढूँढें।
A. \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), पर \((a,c)\notin R\)/\((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), but \((a,c)\notin R\)
Step 1
Concept
To prove non-transitivity, we must show the transitive rule fails.
Step 2
Why this answer is correct
That means two connected pairs are in (R), but the required third pair is not in (R). This is the correct situation.
Step 3
Exam Tip
Always write a counterexample using clear ordered pairs. चरण 1: असंक्रामी सिद्ध करने के लिए संक्रामी नियम का टूटना दिखाना होता है। चरण 2: यानी दो जुड़े युग्म (R) में हों, पर उनसे बनने वाला तीसरा युग्म (R) में न हो। यही स्थिति सही है। चरण 3: विरोधी उदाहरण हमेशा स्पष्ट युग्मों से लिखें।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is present. Reflexive chains also create no missing pair. So (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
The absence of pairs involving the third element is not automatically a problem. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो है। आत्म युग्मों के साथ भी कोई नई कमी नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: तीसरे तत्व का न आना अपने आप समस्या नहीं है।
If (a) is an ancestor of (b), and (b) is an ancestor of (c), then (a) is also an ancestor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
An ancestor relation continues through generations. चरण 1: यदि (a), (b) का पूर्वज है और (b), (c) का पूर्वज है, तो (a), (c) का भी पूर्वज होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। चरण 3: पूर्वज जैसा सम्बन्ध पीढ़ियों में आगे बढ़ता है।
Since (1<3) and (3<5), we get (1<5). Hence \((1,5)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the direction in inequality relations. चरण 1: छोटे होने का सम्बन्ध क्रम में आगे बढ़ता है। चरण 2: (1<3) और (3<5), इसलिए (1<5)। अतः \((1,5)\in R\)। चरण 3: असमानता में दिशा उलटकर उत्तर न चुनें।
They require ((2,2)), which is not in (R). Hence the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Opposite connected pairs often demand reflexive pairs. चरण 1: ((2,3)) और ((3,2)) दोनों (R) में हैं। चरण 2: इनके कारण ((2,2)) होना चाहिए। यह युग्म (R) में नहीं है, इसलिए सम्बन्ध संक्रामी नहीं है। चरण 3: उल्टे जुड़े युग्म आत्म युग्म की मांग करते हैं।
The transitive condition becomes active only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
If no such connected pairs exist, there is no chance for the condition to fail. So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
First search for connected pairs when testing transitivity. चरण 1: संक्रामी शर्त तभी सक्रिय होती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसे जुड़े युग्म हों। चरण 2: यदि ऐसे युग्म ही नहीं हैं, तो शर्त टूटने का अवसर नहीं मिलता। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी माना जाएगा। चरण 3: संक्रामी जाँच में पहले जुड़े युग्म खोजें।
After ((1,2)), there is no pair starting with (2). After ((3,4)), there is no pair starting with (4).
Step 2
Why this answer is correct
So no transitive requirement is created. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not assume every small relation is non-transitive. चरण 1: ((1,2)) के बाद कोई ऐसा युग्म नहीं है जो (2) से शुरू हो। ((3,4)) के बाद भी कोई युग्म (4) से शुरू नहीं है। चरण 2: इसलिए कोई संक्रामी बाध्यता बनती ही नहीं। अतः (R) संक्रामी है। चरण 3: हर छोटे सम्बन्ध को असंक्रामी मानना गलत है।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) with ((2,3)) requires ((2,3)), and ((2,3)) with ((3,3)) again requires ((2,3)), which is present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
Check only the pairs that are actually required. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)), तथा ((2,3)) और ((3,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है। इसलिए (R) संक्रामी है। चरण 3: केवल जरूरी बने युग्मों को ही जाँचें।
Then from ((1,3)) and ((3,4)), we get ((1,4)). So ((1,4)) is certain.
Step 3
Exam Tip
In a transitive relation, extend the chain step by step. चरण 1: पहले ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मिलेगा। इसलिए ((1,4)) निश्चित है। चरण 3: संक्रामी सम्बन्ध में श्रृंखला को क्रम से आगे बढ़ाएँ।
((1,2),(2,3)) require ((1,3)); ((2,3),(3,4)) require ((2,4)); and ((1,3),(3,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
All these pairs are present in (R). ((4,4)) does not create a missing pair. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
In a long list, mark the required pairs while checking. चरण 1: ((1,2),(2,3)) से ((1,3)), ((2,3),(3,4)) से ((2,4)), और ((1,3),(3,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ये सभी युग्म (R) में हैं। ((4,4)) भी कोई नई कमी नहीं बनाता। अतः (R) संक्रामी है। चरण 3: बड़ी सूची में जरूरी युग्मों को निशान लगाकर जाँचें।
