In a transitive relation, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) and ((2,3)) are present, and ((1,3)) is also present. So the condition holds.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the missing direct pair after linking two pairs. चरण 1: संक्रमण में यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) और ((2,3)) हैं, साथ में ((1,3)) भी है। इसलिए शर्त पूरी होती है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा बीच वाले तत्व को मिलाकर तीसरी जोड़ी जांचें।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The relation does not contain ((1,3)), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
One missing required pair is enough to make a relation non-transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से संक्रमण के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूटती है। चरण 3: केवल जरूरी बनी हुई जोड़ी की कमी संक्रमण को असत्य बना देती है।
A. यह हमेशा संक्रमण होता है/It is always transitive
Step 1
Concept
In the identity relation, each ordered pair has the same first and second element.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,a)) and ((a,a)) are present, then ((a,a)) is already present. So transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
Remember that the identity relation is both reflexive and transitive. चरण 1: पहचान संबंध में हर जोड़ी का पहला और दूसरा तत्व समान होता है। चरण 2: यदि ((a,a)) और ((a,a)) हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए संक्रमण शर्त पूरी होती है। चरण 3: पहचान संबंध को परावर्ती और संक्रमण दोनों मानकर चलें।
The transitivity condition is checked only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is considered vacuously transitive. चरण 1: संक्रमण शर्त तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसी जोड़ी मौजूद हो। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए कोई विरोधी उदाहरण नहीं बनता। चरण 3: रिक्त संबंध को शून्य रूप से संक्रमण माना जाता है।
If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the divisibility relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
In divisibility questions, connect the multiplication factors. चरण 1: यदि (a) संख्या (b) को विभाजित करता है और (b) संख्या (c) को विभाजित करता है, तो (a) संख्या (c) को भी विभाजित करेगा। चरण 2: इसलिए विभाज्यता का संबंध संक्रमण है। चरण 3: विभाज्यता में गुणन के रास्ते को जोड़कर सोचें।
A. हाँ, क्योंकि (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/Yes, because (a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
In the less-than relation, order moves forward.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c). So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
For inequality relations, remember the direction on the number line. चरण 1: कम-से-कम संबंध में क्रम आगे बढ़ता है। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो सीधे (a<c) होगा। इसलिए संबंध संक्रमण है। चरण 3: असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the less-than-or-equal relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Both (<) and \(\le\) are transitive in the same order direction. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\) अवश्य होगा। चरण 2: इसलिए छोटा या बराबर का संबंध संक्रमण है। चरण 3: \(\le\) और (<) दोनों में संक्रमण की दिशा समान रहती है।
A. नहीं, क्योंकि ((2,2)) चाहिए/No, because ((2,2)) is required
Step 1
Concept
From ((2,1)) and ((1,2)), transitivity requires ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((2,2)) is not in the relation, so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Opposite pairs often create a required self-pair. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) से संक्रमण के लिए ((2,2)) चाहिए। चरण 2: संबंध में ((2,2)) नहीं है, इसलिए यह संक्रमण नहीं है। चरण 3: उलटी जोड़ियों से अक्सर समान तत्व वाली जोड़ी की जरूरत बनती है।
The main check is from ((1,2)) and ((2,3)), which requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present, and ((3,3)) creates no missing required pair. So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Check all linked pairs systematically. चरण 1: मुख्य जांच ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) की है। चरण 2: ((1,3)) दिया हुआ है और ((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती। इसलिए संबंध संक्रमण है। चरण 3: हर संभव जुड़ी हुई जोड़ी को व्यवस्थित ढंग से देखें।
In transitivity, ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a=4), (b=6), and (c=9), so ((4,9)) is required.
Step 3
Exam Tip
When the middle element matches, connect the first and last elements. चरण 1: संक्रमण में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। चरण 2: यहां (a=4), (b=6), (c=9), इसलिए ((4,9)) जरूरी है। चरण 3: बीच का तत्व समान हो तो पहले और आखिरी को जोड़ें।
((1,4)) is present, and ((4,4)) does not create any missing pair. Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Find each chain and match the required final pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,4)) मौजूद है, और ((4,4)) कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए संबंध संक्रमण है। चरण 3: सभी श्रृंखलाओं को खोजकर आवश्यक अंतिम जोड़ी मिलाएं।
A. नहीं, क्योंकि ((2,1)) चाहिए/No, because ((2,1)) is required
Step 1
Concept
((2,4)) and ((4,1)) require ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) is not in the given relation, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not stop after one chain; check all possible chains. चरण 1: ((2,4)) और ((4,1)) से ((2,1)) चाहिए। चरण 2: दी गई सूची में ((2,1)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है। चरण 3: केवल पहली स्पष्ट श्रृंखला नहीं, सभी श्रृंखलाएं जांचें।
The universal relation contains every possible ordered pair from (A).
Step 2
Why this answer is correct
So if ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also definitely present.
Step 3
Exam Tip
In a universal relation, no required pair can be missing. चरण 1: पूर्ण संबंध में (A) के हर संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) होने पर ((a,c)) भी जरूर होगा। चरण 3: पूर्ण संबंध में किसी जरूरी जोड़ी की कमी नहीं हो सकती।
The given self-pairs do not create any other missing required pair. So ((1,3)) must be added.
Step 3
Exam Tip
To make a relation transitive, first locate the missing direct pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: बाकी दी हुई समान तत्व वाली जोड़ियां नई कमी नहीं बनातीं। इसलिए ((1,3)) जोड़ना होगा। चरण 3: संबंध को संक्रमण बनाने में सबसे पहले गुम सीधी जोड़ी खोजें।
If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum (a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
Hence (a) and (c) are related.
Step 3
Exam Tip
In parity-based relations, add the differences. चरण 1: यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग (a-c) भी सम होगा। चरण 2: इसलिए (a) और (c) भी इसी संबंध में आएंगे। चरण 3: सम-विषम वाले प्रश्नों में अंतरों का योग देखें।
Adding an odd difference and an odd difference gives an even difference.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is odd and (b-c) is odd, then (a-c) is even, so the relation fails.
Step 3
Exam Tip
Remember that odd plus odd is even. चरण 1: विषम अंतर और विषम अंतर को जोड़ने पर सम अंतर मिलता है। चरण 2: यदि (a-b) विषम और (b-c) विषम है, तो (a-c) सम होगा, इसलिए संबंध टूटेगा। चरण 3: दो विषम संख्याओं का योग सम होता है, यह तथ्य याद रखें।
Equality is reflexive, symmetric, and transitive. चरण 1: यदि (a=b) और (b=c), तो (a=c) अवश्य होगा। चरण 2: इसलिए बराबरी का संबंध संक्रमण है। चरण 3: बराबरी का संबंध परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों होता है।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
When opposite pairs create self-pair requirements, both must be checked. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। चरण 3: दोनों उलटी जोड़ियों की बनाई हुई जरूरतें पूरी हों तो संक्रमण बना रहता है।
For transitivity, the relation should pass forward like a chain.
Step 2
Why this answer is correct
If (a<b) and (b<c), then (a<c), so less than is transitive.
Step 3
Exam Tip
Everyday relations are often not transitive, so test them mathematically. चरण 1: संक्रमण के लिए संबंध को श्रृंखला की तरह आगे बढ़ना चाहिए। चरण 2: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए से छोटा है संक्रमण है। चरण 3: दैनिक जीवन वाले संबंध अक्सर संक्रमण नहीं होते, इसलिए गणितीय जांच जरूरी है।
A. नहीं, सममित होना संक्रमण होने की गारंटी नहीं देता/No, being symmetric does not guarantee transitivity
Step 1
Concept
Symmetry deals with ((a,b)) implying ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). The conditions are different.
Step 3
Exam Tip
Check each property by its own definition. चरण 1: सममित में ((a,b)) से ((b,a)) की बात होती है। चरण 2: संक्रमण में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। दोनों शर्तें अलग हैं। चरण 3: गुणों को अलग-अलग परिभाषा से जांचें।
In the definition of transitivity, the middle element is common.
Step 2
Why this answer is correct
From ((x,y)) and ((y,z)), the first and last elements form ((x,z)).
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the order of ordered pairs. चरण 1: संक्रमण की परिभाषा में बीच का तत्व समान होता है। चरण 2: ((x,y)) और ((y,z)) से पहले और अंतिम तत्व जुड़कर ((x,z)) बनाते हैं। चरण 3: क्रमित युग्म में क्रम बदलना गलत निष्कर्ष दे सकता है।
((1,3)) is present, and requirements created with ((2,2)) are also satisfied by given pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not forget to check self-pairs too. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है; ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी दी हुई जोड़ियों से पूरी हैं। चरण 3: समान तत्व वाली जोड़ी को भी जांचना न भूलें।
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
Both ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Missing reflexive pairs do not always break transitivity; focus on required chains. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) दोनों संबंध में हैं। चरण 2: संक्रमण के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर यह नहीं है। चरण 3: परावर्ती जोड़ी की कमी हर बार संक्रमण को नहीं तोड़ती; जरूरी श्रृंखला देखें।
If (a) is a multiple of (b), and (b) is a multiple of (c), then (a) is a multiple of (c).
Step 2
Why this answer is correct
The multiple relation passes along the chain.
Step 3
Exam Tip
Divisibility and multiple relations use similar transitivity logic. चरण 1: यदि (a), (b) का गुणज है और (b), (c) का गुणज है, तो (a), (c) का भी गुणज होगा। चरण 2: गुणज का संबंध श्रृंखला में आगे बढ़ता है। चरण 3: विभाज्यता और गुणज दोनों में संक्रमण की सोच समान है।
In longer chains, apply transitivity repeatedly. चरण 1: पहले ((2,5)) और ((5,7)) से ((2,7)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((2,7)) और ((7,9)) से ((2,9)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रमण को बार-बार लगाएं।
(1) is different from (2), and (2) is different from (1), but (1) is not different from (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the different-from relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
A counterexample is the fastest way to disprove transitivity. चरण 1: यदि (1) संख्या (2) से अलग है और (2) संख्या (1) से अलग है, तो (1) संख्या (1) से अलग नहीं है। चरण 2: इसलिए से अलग है संबंध संक्रमण नहीं है। चरण 3: विरोधी उदाहरण बनाने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
A. \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\) होने पर \((a,c) \in R\) होगा/If \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\)
Step 1
Concept
The basic form of transitivity is making a third pair from two linked pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
Keep this separate from symmetry and reflexivity. चरण 1: संक्रमण का मूल रूप दो जुड़ी जोड़ियों से तीसरी जोड़ी बनाना है। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) जरूरी है। चरण 3: सममित और परावर्ती की परिभाषाओं से इसे अलग रखें।
With ((1,2)) and ((2,2)), transitivity requires ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
With ((1,1)) and ((1,2)), it again requires ((1,2)), which is present. So no required pair is missing.
Step 3
Exam Tip
Extra reflexive pairs do not break transitivity. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,2)) होने पर ((1,2)) ही चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,1)) के साथ ((1,2)) होने पर भी ((1,2)) मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं है। चरण 3: हर अतिरिक्त परावर्ती जोड़ी संक्रमण को नहीं तोड़ती।
This pair is not given, so it is the first clear requirement.
Step 3
Exam Tip
More pairs may be needed later, but the first chain gives ((1,3)). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। चरण 2: यह जोड़ी दी हुई नहीं है, इसलिए इसे जोड़ना पहली स्पष्ट जरूरत है। चरण 3: ध्यान दें कि आगे और भी जोड़ियां जरूरी हो सकती हैं, पर पहली श्रृंखला से ((1,3)) मिलता है।
If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
Congruence relations are generally transitive. चरण 1: यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। चरण 2: इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। चरण 3: सर्वसमता वाले संबंध सामान्यतः संक्रमण होते हैं।
First, ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
Now ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
Include newly implied pairs in further checking. चरण 1: पहले ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है, जो मौजूद है। चरण 2: अब ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, पर यह नहीं है। चरण 3: बनी हुई नई जोड़ी को भी आगे की जांच में शामिल करें।
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
Tick all required pairs in a longer chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। चरण 3: लंबी श्रृंखला की सभी जरूरी जोड़ियां सूची में टिक करें।
A. जब \((a,b) \in R\), \((b,c) \in R\), पर \((a,c) \notin R\) हो/When \((a,b) \in R\), \((b,c) \in R\), but \((a,c) \notin R\)
Step 1
Concept
To break transitivity, two linked pairs must exist.
Step 2
Why this answer is correct
If the required third pair is absent, that is a counterexample.
Step 3
Exam Tip
One valid counterexample is enough to disprove a statement. चरण 1: संक्रमण टूटने के लिए दो जुड़ी जोड़ियां होनी चाहिए। चरण 2: यदि उनसे बनने वाली तीसरी जोड़ी न मिले, तो वही विरोधी उदाहरण है। चरण 3: असत्य सिद्ध करने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण पर्याप्त है।
A. हाँ, क्योंकि कोई जुड़ी हुई दूसरी जोड़ी नहीं है/Yes, because there is no second linked pair
Step 1
Concept
To test transitivity, both ((a,b)) and ((b,c)) are needed.
Step 2
Why this answer is correct
A single pair ((2,3)) does not form such a chain, so no condition fails.
Step 3
Exam Tip
Without a counter-chain, the relation may be transitive. चरण 1: संक्रमण जांचने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) दोनों चाहिए। चरण 2: एक ही जोड़ी ((2,3)) से ऐसी श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए कोई शर्त नहीं टूटती। चरण 3: बिना विरोधी श्रृंखला के संबंध संक्रमण माना जा सकता है।
((3,1)) and ((1,2)) have the common middle element (1).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((3,2)), but it is not present.
Step 3
Exam Tip
Try combining pairs in different valid orders, not only the listed order. चरण 1: ((3,1)) और ((1,2)) से बीच का तत्व (1) मिल रहा है। चरण 2: संक्रमण के लिए ((3,2)) चाहिए, लेकिन यह संबंध में नहीं है। चरण 3: जोड़ियों को दिए गए क्रम के अलावा उलट क्रम में भी मिलाकर देखें।
((3,2)) is present, and no other missing requirement occurs.
Step 3
Exam Tip
A small relation can be transitive if all required pairs are included. चरण 1: ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। चरण 2: ((3,2)) संबंध में मौजूद है, और कोई दूसरी कमी नहीं बनती। चरण 3: जरूरी जोड़ी जोड़ देने से छोटा संबंध भी संक्रमण हो सकता है।
If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the greater-than-or-equal relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not change the direction of the inequality. चरण 1: यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\) अवश्य होगा। चरण 2: इसलिए बड़ा या बराबर का संबंध संक्रमण है। चरण 3: असमानता में दिशा न बदलें, वही पूरी जांच का आधार है।
For both (>) and (<), use the direction of order to conclude. चरण 1: यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c) होगा। चरण 2: इसलिए (>) संबंध संक्रमण है। चरण 3: (>) और (<) दोनों संबंधों में क्रम की दिशा से निष्कर्ष निकालें।
In ((1,2)) and ((2,1)), the middle element is (2).
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, the first element of the first pair and the second element of the second pair form ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
For opposite pairs, check both directions separately. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) में बीच का तत्व (2) है। चरण 2: संक्रमण के अनुसार पहली जोड़ी का पहला तत्व और दूसरी का दूसरा तत्व लेकर ((1,1)) बनता है। चरण 3: उलटी जोड़ियों में दोनों दिशाओं से अलग-अलग जांच करें।
A. एक ही कक्षा में होने का संबंध/Relation of being in the same class
Step 1
Concept
If student (A) is in the same class as (B), and (B) is in the same class as (C), then (A) is in the same class as (C).
Step 2
Why this answer is correct
So being in the same class is transitive.
Step 3
Exam Tip
Even in daily examples, test the chain condition. चरण 1: यदि विद्यार्थी (A), (B) की ही कक्षा में है और (B), (C) की ही कक्षा में है, तो (A), (C) की ही कक्षा में होगा। चरण 2: इसलिए एक ही कक्षा में होने का संबंध संक्रमण है। चरण 3: रोजमर्रा के उदाहरण में भी श्रृंखला बनाकर जांच करें।
((1,3)) is present; ((1,1)) and ((3,3)) do not create a missing required pair.
Step 3
Exam Tip
Check the main chain first, then self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है; ((1,1)) और ((3,3)) कोई अनुपस्थित जरूरी जोड़ी नहीं बनाते। चरण 3: पहले मुख्य श्रृंखला देखें, फिर समान तत्व वाली जोड़ियां जांचें।
((1,3)) is missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
The presence of ((3,3)) does not fix this missing pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है। चरण 3: ((3,3)) होना इस कमी को पूरा नहीं करता।
Repeat transitivity step by step in a long chain. चरण 1: ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((a,c)) और ((c,d)) से ((a,d)) मिलेगा। चरण 3: लंबी श्रृंखला में संक्रमण को क्रम से दोहराएं।
Reflexivity requires ((a,a)), and symmetry requires reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity is a separate condition and must be checked separately.
Step 3
Exam Tip
In exams, prove each property by its own rule. चरण 1: परावर्ती में ((a,a)) और सममित में उलटी जोड़ी की शर्त होती है। चरण 2: संक्रमण की शर्त अलग है और उसे अलग से जांचना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में तीनों गुणों को अपने-अपने नियम से सिद्ध करें।
A relation with a single self-pair can be transitive. चरण 1: ((5,5)) और ((5,5)) से संक्रमण के लिए फिर ((5,5)) ही चाहिए। चरण 2: यह जोड़ी मौजूद है, इसलिए शर्त पूरी होती है। चरण 3: एक समान तत्व वाली जोड़ी वाला संबंध संक्रमण हो सकता है।
((2,1)) and ((1,3)) require ((2,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), and ((2,1)) with ((1,2)) requires ((2,2)). Both are present.
Step 3
Exam Tip
After checking all chains, the relation is actually transitive, so option A is the trap. चरण 1: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: लेकिन ((2,3)) के बाद यदि कोई ((3,c)) नहीं है तो वहां कमी नहीं बनेगी; फिर ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) मौजूद है। चरण 3: अब ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) भी मौजूद है, इसलिए यहां गलत विकल्प नहीं चुनना चाहिए।
In transitivity, we only check whether every required ((a,c)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
If no required pair is missing, the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by many pairs; look for missing pairs. चरण 1: संक्रमण में केवल यह देखा जाता है कि हर जरूरी ((a,c)) मौजूद है या नहीं। चरण 2: यदि कोई भी जरूरी जोड़ी अनुपस्थित नहीं है, तो संबंध संक्रमण होगा। चरण 3: ज्यादा जोड़ियां देखकर भ्रमित न हों; कमी खोजें।
((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
So the minimum new pair is ((2,2)). चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो पहले से है। चरण 3: इसलिए न्यूनतम नई जोड़ी ((2,2)) है।
Apply transitivity repeatedly along the chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मिलेगा। चरण 2: फिर ((1,4)) और ((4,8)) से ((1,8)) मिलेगा। चरण 3: श्रृंखला जितनी लंबी हो, संक्रमण उतनी बार लगाएं।
A. हर ((a,b)) और ((b,c)) जोड़ी खोजकर ((a,c)) की उपस्थिति जांचना/Find every ((a,b)) and ((b,c)) pair and check whether ((a,c)) is present
Step 1
Concept
Transitivity is not checked by counting pairs; it is checked by finding linked pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For every ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Making a small table reduces mistakes in exams. चरण 1: संक्रमण की जांच संख्या गिनने से नहीं, जुड़ी जोड़ियां खोजने से होती है। चरण 2: हर ((a,b)) और ((b,c)) के लिए ((a,c)) मिलना चाहिए। चरण 3: तालिका बनाकर जांचने से गलती कम होती है।
