Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। / A sum is even when the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / The total is (8) pairs.
A. (R) समतुल्यता संबंध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा और समान सम-विषम प्रकृति संक्रामिता देती है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, and same parity gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
सम योग का अर्थ दोनों संख्याओं की सम-विषम प्रकृति समान है। / An even sum means both numbers have the same parity.
A. यह समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएं तीसरी के साथ समान सम-विषम प्रकृति रखती हैं, तो वे आपस में भी वैसी ही होंगी। / If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\le b\), \(b\le c\), और दोनों कड़ियों में समान प्रकृति है, तो \(a\le c\) और (a,c) की प्रकृति भी समान होगी। / If \(a\le b\), \(b\le c\), and both links have the same parity, then \(a\le c\) and (a,c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित शर्तों में क्रम और सम-विषम दोनों को जाँचें। / For mixed conditions, check both order and parity.
A. क्योंकि समान सम-विषम प्रकृति आगे भी समान रहती है/Because same parity remains same through the chain
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम हो तो (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, इसलिए (a) और (c) की प्रकृति समान होगी। अतः (a+c) सम होगा। / If (b+c) is even, then (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में संख्या की सम-विषम प्रकृति से सोचें। / For such questions, think using parity.
A. क्योंकि (a) और (b) की समान सम-विषम प्रकृति तथा (b) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति से (a) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति मिलती है/Because same parity of (a,b) and same parity of (b,c) imply same parity of (a,c)
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों सम-विषम दृष्टि से समान हैं। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने पर (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, इसलिए (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। तब (a+c) सम होगा। / (b+c) being even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में समान प्रकृति को जोड़कर सोचें। / For parity relations, think in terms of same or different parity.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की समता भी समान है, तो (a) और (c) की समता समान होगी, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
समान समता वाला संबंध संक्रामी होता है। / Same-parity relations are transitive.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। / Hence whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में शर्त को उल्टा करके देखें कि वही सत्य रहती है या नहीं। / For such questions, reverse the condition and check whether it remains true.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So whenever ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
ऐसी शर्तों में क्रम बदलकर शर्त जांचें। / For condition-based relations, swap the order and test the condition.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / Hence if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) too.
Step 3
Exam Tip
जोड़ वाले नियमों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममितता आसानी से जाँची जाती है। / In addition-based rules, changing order does not change the sum, so symmetry is easy to test.
(a+b) सम होने की शर्त देखें। / Look at the condition that (a+b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम है क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing order does not change the sum.
Step 3
Exam Tip
योग वाली शर्तों में उलटा युग्म जल्दी पहचानें। / In sum-based conditions, reverse pairs are easy to verify.
A. क्योंकि (a+b) और (b+a) समान होते हैं/Because (a+b) and (b+a) are equal
Step 1
Concept
सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) देखना होता है। / For symmetry, if ((a,b)) is present, we check ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing order does not change the sum.
Step 3
Exam Tip
ऐसे नियमों में उल्टा युग्म नियम को फिर से पूरा करता है या नहीं, यह जाँचें। / In rule-based relations, check whether the reversed pair still satisfies the rule.
A. हर \(a\in A\) के लिए (a+a=2a) सम है/For every \(a\in A\), (a+a=2a) is even
Step 1
Concept
स्वतुल्यता जांचने के लिए ((a,a)) को सम्बन्ध की शर्त में रखते हैं। / To check reflexivity, put ((a,a)) into the relation condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हर पूर्णांक के लिए सम होता है, इसलिए हर ((a,a)) सम्बन्ध में आएगा। / (a+a=2a) is even for every integer, so every self-pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में शर्त आधारित प्रश्नों में पहले अपने-आप वाले युग्म जांचें। / In condition-based questions, test self-pairs first.
