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A. सममित है लेकिन केवल इसी आधार पर तुल्यता सिद्ध नहीं होती/Symmetric but equivalence is not proved by this alone
Step 1
Concept
किसी भी \((a,b) \in R\) के लिए (a+b) सम होता है। / For any \((a,b) \in R\), (a+b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b+a) भी सम होगा, इसलिए \((b,a) \in R\) होगा। / Since (b+a) has the same value, \((b,a) \in R\) also belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में योग पर बने संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममिति जल्दी जांचें। / In exam questions based on sum conditions, first check whether changing the order changes the condition.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4)\}\) है, तो (R) को सममित बनाने के लिए कम से कम कौन-सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, लेकिन ((2,4)) है और ((4,2)) नहीं है। / ((1,3)) and ((3,1)) are paired, but ((2,4)) is missing its reverse ((4,2)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में हर गैर-समान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of each unequal ordered pair.
सममित संबंध में \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। / Here ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में केवल गायब उल्टे युग्म खोजें, सभी युग्म दोबारा न गिनें। / For such questions, look only for missing reverse pairs instead of recounting all pairs.
यदि समुच्चय में (n) अवयव हों, तो सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / For a set with (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए संख्या \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\) है। / Here (n=3), so the number is \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
गिनती वाले प्रश्नों में पहले अवयवों की संख्या साफ लिखें। / For counting questions, first write the value of (n) clearly.
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण से बाहर के (\frac{n(n-1)}{2}) उल्टे युग्मों के जोड़े साथ-साथ चुने जाते हैं या हटते हैं। / The off-diagonal reverse pair groups are (\frac{n(n-1)}{2}), and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
सभी स्वतुल्य युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) पहले से अनिवार्य हैं। / The reflexive pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
बचे हुए तीन उल्टे युग्मों के समूह हैं: ((1,2)) के साथ ((2,1)), ((1,3)) के साथ ((3,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2))। / The remaining off-diagonal reverse-pair groups are three.
Step 3
Exam Tip
हर समूह के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) संबंध होंगे। / Each group has two choices, so the total number is \(2^3=8\).
A. क्योंकि \((1,2) \in R\), पर \((2,1) \notin R\)/Because \((1,2) \in R\), but \((2,1) \notin R\)
Step 1
Concept
सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every ordered pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) इसलिए \((1,2) \in R\), लेकिन \(2\le1\) असत्य है, इसलिए \((2,1) \notin R\)। / Since \(1\le2\), \((1,2) \in R\), but \(2\le1\) is false, so \((2,1) \notin R\).
Step 3
Exam Tip
असममितता दिखाने के लिए केवल एक सही प्रतिउदाहरण काफी होता है। / To disprove symmetry, one valid counterexample is enough.
आव्यूह से सममिति जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियां बराबर होनी चाहिए। / To check symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}\), \(m_{12}=m_{21}\), and \(m_{23}=m_{32}\).
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / If the relation matrix equals its transpose, the relation is symmetric.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=4) रखने पर \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\) मिलता है। / For (n=4), this becomes \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\).
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) के कुल युग्म और सममित संबंधों की संख्या अलग-अलग होती है, इन्हें न मिलाएँ। / Do not confuse the total number of pairs in \(A\times A\) with the count of symmetric relations.
आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें। / In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है, इसलिए सममितता पूरी है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्य होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो यहाँ नहीं हैं। / Reflexivity would need ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
सममित और स्वतुल्य गुणों को अलग-अलग जाँचें। / Check symmetry and reflexivity separately.
विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / The option contains both ((1,2)) and ((2,1)), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)) for transitivity, which is absent.
Step 3
Exam Tip
सममिति और संक्रामकता अलग गुण हैं; उल्टे युग्म होने से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती। / Symmetry and transitivity are different properties; reverse pairs do not automatically give transitivity.
यदि (x-y) विषम है, तो (y-x=-(x-y)) भी विषम होगा। / If (x-y) is odd, then (y-x=-(x-y)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) होने पर ((y,x)) भी संबंध में होगा। / Hence whenever ((x,y)) is in the relation, ((y,x)) will also be in it.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले नियम में चिन्ह बदलने से सम या विषम होने की प्रकृति नहीं बदलती। / In difference-based parity rules, changing the sign does not change oddness or evenness.
A. \(R\cap S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cap S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b) \in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा और इसीलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so it belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में गुण सिद्ध करते समय युग्म को दोनों संबंधों में अलग-अलग जाँचें। / For intersection proofs, check membership in both relations separately.
यदि (a-b) संख्या (2) से विभाज्य है, तो (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus, each pair has its reverse pair.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में ऋण चिह्न सममिति को नहीं बिगाड़ता। / In divisibility-based relations, a negative sign does not break symmetry.
A. \(R\cup S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cup S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b) \in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में ((a,b)) है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और \(R\cup S\) में भी होगा। / The relation containing ((a,b)) is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
संघ में सिद्ध करते समय यह देखें कि युग्म कम से कम एक संबंध में है। / In union proofs, track that the pair belongs to at least one relation.
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। / The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। / If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है। / That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric.
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / The pair ((1,3)) is present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा ((3,1)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Symmetry requires its reverse ((3,1)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में दिए गए सभी युग्मों को पढ़कर पहले अकेले पड़े युग्म को पहचानें। / While reading the given pairs, first identify any pair whose reverse is absent.
\(T\subseteq R\) होने से (T) के युग्म (R) से आते हैं। / Since \(T\subseteq R\), the pairs of (T) come from (R).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (T) में किसी युग्म का उल्टा युग्म हटाया जा सकता है, इसलिए सममिति टूट सकती है। / But (T) may include a pair while excluding its reverse pair, so symmetry can fail.
Step 3
Exam Tip
सममिति उपसमुच्चय लेने पर हमेशा सुरक्षित नहीं रहती। / Symmetry is not always preserved when taking an arbitrary subset.
A. क्योंकि (4-1=3), लेकिन \(1-4\ne3\)/Because (4-1=3), but \(1-4\ne3\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक युग्म और उसका उल्टा देखें। / To test symmetry, check one pair and its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((4,1)) संबंध में है क्योंकि (4-1=3), पर ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-4=-3)। / ((4,1)) belongs to the relation because (4-1=3), but ((1,4)) does not because (1-4=-3).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते। / Relations based on a fixed directed difference are usually not symmetric.
सममित संबंध में \((y,x)\in R\) हो तो \((x,y)\in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((y,x)\in R\), then \((x,y)\in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रश्न में \((x,y)\notin R\) दिया है। / The question states \((x,y)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((y,x)\in R\) मानना विरोध देगा; अतः \((y,x)\notin R\) निश्चित है। / Therefore, \((y,x)\in R\) would cause a contradiction, so \((y,x)\notin R\).
यदि (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेषफल आता है, तो (b) और (a) के लिए भी वही बात सत्य है। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (2), the same statement holds for (b) and (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
समानता या समान वर्ग पर आधारित संबंधों में सममितता ध्यान से पहचानें। / Relations based on sameness or common class are good candidates for symmetry.
विकर्ण से बाहर कोई भी युग्म ((a,b)) आने पर उसका उल्टा ((b,a)) भी आता है। / Any off-diagonal pair ((a,b)) must appear with its reverse pair ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए विकर्ण से बाहर के युग्म हमेशा जोड़ों में गिने जाते हैं। / So off-diagonal pairs are counted in pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः उनकी संख्या सम होगी, चाहे कुल युग्मों की संख्या विषम ही क्यों न हो। / Hence, their number must be even, even if the total number of relation pairs is odd.
A. नहीं, क्योंकि \(m_{12}\ne m_{21}\)/No, because \(m_{12}\ne m_{21}\)
Step 1
Concept
आव्यूह से सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For symmetry in a relation matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{12}=1\) है जबकि \(m_{21}=0\), इसलिए शर्त टूट गई। / Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण देखकर निर्णय न करें, विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / Do not decide by the diagonal alone; compare entries on both sides of it.
यदि \(a\cdot b\) सम है, तो \(b\cdot a\) भी वही संख्या होगी। / If \(a\cdot b\) is even, then \(b\cdot a\) is the same product.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / Hence, \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
गुणन आधारित ऐसे संबंधों में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए सममिति आसानी से सिद्ध होती है। / For product-based relations, changing order does not change the product, which helps prove symmetry.
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह युग्म (R) में या \(R^{-1}\) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), then the pair is in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे भाग में मिल जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) is found in the other corresponding part.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) किसी भी संबंध का सममित विस्तार देता है। / Therefore, \(R\cup R^{-1}\) is always a symmetric extension of (R).
\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / In a symmetric relation, every reverse pair is already in (R), so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता को उल्टे संबंध की भाषा में भी याद रखें। / It is useful to remember symmetry through inverse relations as well.
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R\) होगा। / Hence, \(R\cap R^{-1}=R\cap R\).
Step 3
Exam Tip
किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है, इसलिए उत्तर (R) है। / The intersection of a set with itself is the same set, so the answer is (R).
यदि \((a,b)\in R\), तो (a+b=5) होगा। / If \((a,b)\in R\), then (a+b=5).
Step 2
Why this answer is correct
चूंकि (b+a=5) भी होगा, इसलिए \((b,a)\in R\) होगा। / Since (b+a=5) also holds, \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर योग वाले संबंधों में क्रम बदलने पर शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममिति मिलती है। / In fixed-sum relations, changing the order does not change the condition, so symmetry holds.
A. \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also be in (R)
Step 1
Concept
सममित संबंध की मुख्य शर्त यही है कि हर युग्म का उल्टा युग्म भी हो। / The main condition for a symmetric relation is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममित संबंध में उल्टे युग्म साथ आ सकते हैं, पर तभी जब दोनों अवयव समान हों। / In an antisymmetric relation, reverse pairs can occur together only when the two elements are equal.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममित और प्रतिसममित को नाम से नहीं, उनकी शर्त से अलग करें। / In exams, separate symmetric and antisymmetric relations by their exact conditions, not by their names.
परम मान में (|a-b|=|b-a|) होता है। / For absolute value, (|a-b|=|b-a|).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a-b|\le2\), तो \(|b-a|\le2\) भी होगा। / If \(|a-b|\le2\), then \(|b-a|\le2\) also holds.
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले संबंधों में क्रम बदलने पर मान वही रहने की बात याद रखें। / In absolute value relations, swapping the order often keeps the value unchanged.
(4) अवयवों पर स्वतंत्र सममित चुनावों की संख्या (\frac{4(4+1)}{2}=10) है। / For (4) elements, the number of independent symmetric choices is (\frac{4(4+1)}{2}=10).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाले समूह को लेना अनिवार्य है और ((3,4)) वाले समूह को न लेना अनिवार्य है, इसलिए दो चुनाव स्थिर हो गए। / The group containing ((1,2)) is forced to be included, and the group containing ((3,4)) is forced to be excluded, so two choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
बचे (8) स्वतंत्र चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^8=256\) नहीं बल्कि ध्यान दें कि ((1,2)) और ((3,4)) दोनों विकर्ण से बाहर के समूह हैं; दो समूह स्थिर होने के बाद (8) चुनाव बचते हैं और संख्या (256) होगी। / The remaining (8) choices give \(2^8=256\).
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। / ((1,2)) is paired with ((2,1)), and ((2,3)) is paired with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं ही होते हैं, इसलिए वे सममिति में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs are their own reverses, so they do not disturb symmetry.
Step 3
Exam Tip
((3,3)) नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं; लेकिन सममिति निश्चित है। / Since ((3,3)) is missing, reflexivity fails, but symmetry definitely holds.
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) मौजूद हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) अपना उल्टा खुद ही है, इसलिए वह समस्या नहीं बनाता। / ((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे जाँचें, अनुपस्थित युग्मों की चिंता न करें। / For symmetry, check reverses of existing pairs only, not pairs that are absent.
