Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह संक्रमण संबंध है/It is a transitive relation
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), both present.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में हर बनी हुई श्रृंखला को अलग से टिक करें। / In hard questions, tick every formed chain separately.
यदि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है और (b-c) भी संख्या (4) से विभाज्य है, तो उनका योग (a-c) भी संख्या (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (4) and (b-c) is also divisible by (4), then their sum (a-c) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) होगा। / Hence (aRc).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों को जोड़कर जांच करें। / For divisibility-based relations, add the differences.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) समान प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। / If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में तत्वों की प्रकृति पर ध्यान दें। / In parity relations, focus on the nature of the elements.
(a+b) विषम होने पर (a) और (b) अलग सम-विषमता के होते हैं। / If (a+b) is odd, (a) and (b) have opposite parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) भी विषम हो, तो (a) और (c) समान सम-विषमता के होंगे, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b+c) is also odd, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
दो लगातार विषम-योग शर्तें तीसरी विषम-योग शर्त नहीं देतीं। / Two consecutive odd-sum conditions do not give the third odd-sum condition.
((2,1)) और ((1,3)) संबंध में हैं। / ((2,1)) and ((1,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए ((2,3)) चाहिए, जो मौजूद है; लेकिन ((2,3)) के साथ ((3,c)) नहीं है, इसलिए वहां समस्या नहीं है। अब ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)), तथा ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) मौजूद हैं; फिर भी ((2,3)) और आगे कोई कमी नहीं। / They require ((2,3)), which is present; ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), and ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), both present.
Step 3
Exam Tip
सभी जांच के बाद यह संबंध संक्रमण है, इसलिए नहीं कहना गलत होगा। / After all checks, the relation is transitive, so saying no is wrong.
A. संबंध संक्रमण होगा/The relation will be transitive
Step 1
Concept
संक्रमण में केवल गुम जरूरी जोड़ी खोजी जाती है। / In transitivity, we look for any missing required pair.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर ((a,b)) और ((b,c)) के लिए ((a,c)) मौजूद है, तो संबंध संक्रमण है। / If for every ((a,b)) and ((b,c)), ((a,c)) is present, the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
अधिक जोड़ियों से घबराएं नहीं, जांच को नियम से करें। / Do not be confused by many pairs; follow the rule.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,1)) से ((2,1)), तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,1)) require ((2,1)), and ((3,1)) and ((1,2)) require ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
चक्र वाले संबंधों में नई जोड़ियां आगे और जोड़ियां बना सकती हैं। / In cyclic relations, new pairs may create further pairs.
यदि (a) और (b) का (5) से भाग देने पर शेष समान है, और (b) और (c) का शेष भी समान है, तो (a) और (c) का शेष समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (5), and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{5}\) होगा। / Hence \(a \equiv c \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वसमता वाले प्रश्नों में शेष की समानता को श्रृंखला की तरह देखें। / In congruence questions, treat equal remainders as a chain.
A. \(R\cap S\) हमेशा संक्रमण होगा/\(R\cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) संक्रमण हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा और इस कारण \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ चलती है। / In intersection, both relation conditions work together.
अलग-अलग संबंधों में बनी श्रृंखलाएं संघ में मिलकर नई जरूरत बना सकती हैं। / Chains from different relations may combine inside the union.
Step 2
Why this answer is correct
हो सकता है ((a,b)) एक संबंध से आए और ((b,c)) दूसरे से, पर ((a,c)) संघ में न हो। / It is possible that ((a,b)) comes from one relation and ((b,c)) from another, but ((a,c)) is not in the union.
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से जांच जरूरी है। / The union must be checked separately.
A. \(R^{-1}\) भी संक्रमण होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
\(R^{-1}\) में ((a,b)) होने का अर्थ है कि (R) में ((b,a)) है। / \((a,b)\in R^{-1}\) means \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(R^{-1}\) में ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो (R) में ((b,a)) और ((c,b)) हैं; संक्रमण से (R) में ((c,a)) होगा, इसलिए \(R^{-1}\) में ((a,c)) होगा। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R); transitivity gives \((c,a)\in R\), hence \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमण बचा रहता है। / Inverse reverses order, but transitivity remains.
दिया गया (R) क्रम (1) से (2) से (3) तक बढ़ने जैसा है और इसमें जरूरी सीधी जोड़ियां हैं। / The given (R) acts like an increasing chain from (1) to (2) to (3) and includes the required direct pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाते समय हर जोड़ी उलटेगी, पर श्रृंखला की शर्त बनी रहेगी। / While taking inverse, every pair reverses, but the chain condition remains valid.
यदि (a), (b) का गुणनखंड है और (b), (c) का गुणनखंड है, तो (a), (c) का भी गुणनखंड होगा। / If (a) is a factor of (b) and (b) is a factor of (c), then (a) is a factor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रमण है। / Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और विभाज्यता की भाषा अलग हो सकती है, पर तर्क वही रहता है। / Factor and divisibility language may differ, but the logic is the same.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\subseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में तत्वों के समावेश की श्रृंखला देखें। / In subset questions, follow the chain of inclusion.
दो समुच्चय अलग-अलग हो सकते हैं और दूसरा तीसरे से भी अलग हो सकता है। / Two sets can be disjoint, and the second can be disjoint from the third.
Step 2
Why this answer is correct
फिर भी पहला और तीसरा आपस में अलग हों, यह जरूरी नहीं है। जैसे ({1}) और ({2}) अलग हैं, ({2}) और ({1}) अलग हैं, पर ({1}) और ({1}) अलग नहीं हैं। / Still, the first and third need not be disjoint. For example, ({1}) and ({2}) are disjoint, ({2}) and ({1}) are disjoint, but ({1}) and ({1}) are not disjoint.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय संबंधों में छोटा विरोधी उदाहरण बनाएं। / For set relations, build a small counterexample.
(a=0), (b=0.6), (c=1.2) लें। / Take (a=0), (b=0.6), and (c=1.2).
Step 2
Why this answer is correct
(|0-0.6|<1) और (|0.6-1.2|<1), पर (|0-1.2|<1) नहीं है।
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित संबंधों में दो छोटी दूरियां मिलकर बड़ी दूरी बना सकती हैं। / In distance-based relations, two small distances may combine into a larger one.
\(a\le b+2\) और \(b\le c+2\) से केवल \(a\le c+4\) मिलता है। / From \(a\le b+2\) and \(b\le c+2\), we only get \(a\le c+4\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le c+2\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=0) लें। / Transitivity requires \(a\le c+2\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=0).
Step 3
Exam Tip
असमानता जोड़ने पर सीमा बदल सकती है। / When adding inequalities, the bound may change.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), और फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में छोटी और बड़ी छलांग दोनों जरूरी होती हैं। / In a long chain, both short and long jumps are needed.
(S) में अतिरिक्त जोड़ियां आने से नई श्रृंखलाएं बन सकती हैं। / Extra pairs in (S) can create new chains.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उन नई श्रृंखलाओं की जरूरी सीधी जोड़ी (S) में न हो, तो (S) संक्रमण नहीं रहेगा। / If the required direct pair for a new chain is missing in (S), then (S) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय होने से गुण अपने-आप बड़े संबंध में नहीं जाता। / A property does not automatically pass from a subset relation to a larger relation.
छोटे संबंध (R) में (S) की जरूरी सीधी जोड़ी हट सकती है। / The smaller relation (R) may lose a required direct pair from (S).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) संक्रमण है, पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) संक्रमण नहीं है। / For example, \(S=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) is transitive, but \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) is not.
Step 3
Exam Tip
उपसंबंध की जांच अलग से करनी पड़ती है। / A subrelation must be checked separately.
((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,3)) और ((3,2)) से ((1,2)) चाहिए, वह मौजूद है; फिर भी ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) ठीक है। सभी मुख्य जोड़ी मौजूद हैं। / ((1,3)) and ((3,2)) require ((1,2)), also present; other self-pair checks do not create a missing pair.
Step 3
Exam Tip
पूरी जांच के बाद संबंध संक्रमण है, इसलिए संक्रमण नहीं कहना गलत है। / After full checking, the relation is transitive, so saying not transitive is wrong.
संक्रमण जांचने के लिए दूसरी जोड़ी का पहला तत्व पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से मिलना चाहिए। / To test transitivity, the first element of the second pair must match the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((3,4)) से ऐसी कोई जुड़ी श्रृंखला नहीं बनती। / ((1,2)) and ((3,4)) do not form any linked chain.
Step 3
Exam Tip
बिना जुड़ी श्रृंखला के कोई जरूरी जोड़ी नहीं छूटती। / Without a linked chain, no required pair is missing.
यदि (a-b) परिमेय है और (b-c) परिमेय है, तो उनका योग (a-c) भी परिमेय होगा। / If (a-b) is rational and (b-c) is rational, their sum (a-c) is also rational.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर आधारित संबंधों में अंतरों का योग मुख्य विचार है। / In difference-based relations, adding differences is the key idea.
अपरिमेय अंतर और अपरिमेय अंतर का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / The sum of two irrational differences is not always irrational.
Step 2
Why this answer is correct
\(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\) लें; (a-b) अपरिमेय और (b-c) अपरिमेय है, पर (a-c=0) परिमेय है। / Take \(a=\sqrt{2}\), (b=0), \(c=\sqrt{2}\); (a-b) and (b-c) are irrational, but (a-c=0) is rational.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या वाले प्रश्नों में विरोधी उदाहरण सावधानी से बनाएं। / Build counterexamples carefully in irrational-number relations.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। बाकी समान जोड़ियां अपनी ही जरूरत पूरी करती हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), also present. The other self-pairs satisfy their own requirements.
Step 3
Exam Tip
उलटी जोड़ियों के साथ दोनों समान जोड़ियां हों तो संक्रमण बच सकता है। / Reverse pairs can still be transitive if both self-pairs are present.
A. (R) अवश्य संक्रमण है/(R) is necessarily transitive
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में परावर्ती, सममित और संक्रमण तीनों गुण शामिल होते हैं। / An equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ऐसा संबंध संक्रमण अवश्य होगा। / Therefore such a relation must be transitive.
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता सुनते ही तीनों गुण याद करें। / When you hear equivalence relation, remember all three properties.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)), तथा ((3,2)) और ((2,3)) से ((3,3)) मौजूद हैं। / ((2,3)) and ((3,2)) require ((2,2)), and ((3,2)) and ((2,3)) require ((3,3)), both present.
Step 3
Exam Tip
कठिन सूची में जोड़ी-दर-जोड़ी जांच करके ही निष्कर्ष दें। / In hard lists, conclude only after pair-by-pair checking.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रमण नहीं है, भले ही ((2,2)) मौजूद हो। / ((1,3)) is missing, so the relation is not transitive, even though ((2,2)) is present.
Step 3
Exam Tip
एक भी जरूरी जोड़ी की कमी काफी होती है। / One missing required pair is enough.
