Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)), तथा ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) भी मौजूद हैं। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), and ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), both present.
Step 3
Exam Tip
उलटी जोड़ियों और आगे बढ़ती जोड़ियों दोनों को साथ में जांचें। / Check reverse pairs and forward chains together.
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (6) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (6), then their sum (a-c) is also divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) मिलेगा और संबंध संक्रमण है। / Hence (aRc), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतरों का योग सबसे उपयोगी तरीका है। / Adding differences is the most useful method here.
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो असमानता के क्रम से \(a^2\le c^2\) होगा। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by order of inequalities \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है और संबंध संक्रमण है। / Hence (aRc) is true, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की तुलना में वास्तविक संख्या के चिह्न से भ्रमित न हों। / Do not get confused by signs when comparing squares.
\(a=b^2\) और \(b=c^2\) से \(a=c^4\) मिलता है। / From \(a=b^2\) and \(b=c^2\), we get \(a=c^4\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a=c^2\) चाहिए, जो सामान्यतः सत्य नहीं है। जैसे (c=2), (b=4), (a=16) लें। / Transitivity would require \(a=c^2\), which is not generally true. Take (c=2), (b=4), (a=16).
Step 3
Exam Tip
बीजगणितीय संबंधों में प्रतिस्थापन करके शर्त मिलाएं। / For algebraic relations, substitute and compare the required condition.
यदि \(A\supseteq B\) और \(B\supseteq C\), तो (A) में (C) के सभी तत्व होंगे। / If \(A\supseteq B\) and \(B\supseteq C\), then (A) contains every element of (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\supseteq C\) होगा और संबंध संक्रमण है। / Hence \(A\supseteq C\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
बड़े समुच्चय से छोटे समुच्चय की श्रृंखला ध्यान से देखें। / Follow the chain from larger set to smaller set carefully.
((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((4,4)) और ((4,2)) से ((4,2)), तथा ((2,2)) से बनने वाली जरूरतें भी पूरी हैं। / ((4,4)) with ((4,2)) requires ((4,2)), and requirements with ((2,2)) are also satisfied.
Step 3
Exam Tip
समान तत्व वाली जोड़ियों को अनदेखा न करें, पर उनसे बनने वाली मांगें अक्सर पहले से मौजूद होती हैं। / Do not ignore self-pairs, but their requirements are often already present.
पहले ((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। / First ((p,q)) and ((q,r)) imply ((p,r)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)), और ((p,s)) तथा ((s,t)) से ((p,t)) मिलेगा। / Then ((p,r)) and ((r,s)) imply ((p,s)), and ((p,s)) with ((s,t)) implies ((p,t)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रमण बार-बार लगाएं। / Apply transitivity repeatedly in a long chain.
A. यह हमेशा संक्रमण नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
अंतर संबंध में कुछ जरूरी जोड़ियां हट सकती हैं। / In a difference of relations, some required pairs may be removed.
Step 2
Why this answer is correct
हटाने के बाद बची दो जुड़ी जोड़ियां तीसरी जरूरी जोड़ी के बिना रह सकती हैं। / After removal, two linked remaining pairs may miss their required third pair.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के अंतर में संक्रमण अपने-आप सुरक्षित नहीं रहता। / Transitivity is not automatically preserved under difference.
\(R\circ R\) में ((a,c)) तब आता है जब कोई (b) हो ताकि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) when some (b) exists with \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण होने से ऐसा ((a,c)) सीधे (R) में होगा। / Since (R) is transitive, such ((a,c)) belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को क्रमित युग्मों से समझें। / For composition questions, read the definition through ordered pairs.
\(R\circ R\subseteq R\) का अर्थ है कि दो जुड़ी जोड़ियों से बनी जोड़ी फिर (R) में है। / \(R\circ R\subseteq R\) means the pair formed by two linked pairs is again in (R).
Step 2
Why this answer is correct
यही संक्रमण की शर्त है। / This is exactly the condition of transitivity.
Step 3
Exam Tip
संयोजन की भाषा को संक्रमण की परिभाषा से जोड़ना सीखें। / Learn to connect composition language with the definition of transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। / ((1,2)) and ((2,3)) give the required ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) के साथ ((1,3)) से ((1,5)), और ((2,3)) से ((2,5)) भी मौजूद हैं। / With ((3,5)), ((1,3)) requires ((1,5)), and ((2,3)) requires ((2,5)); both are present.
Step 3
Exam Tip
लंबी छलांगों को देखकर सभी जरूरी सीधी जोड़ियां मिलाएं। / Match every required direct jump in long chains.
(6) और (10) का समान भाजक (2) है, तथा (10) और (15) का समान भाजक (5) है। / Try to find a chain where the common factor changes.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (6) और (15) का समान भाजक (3) है, इसलिए यह उदाहरण नहीं टूटता; सही विरोधी उदाहरण (2,6,9) है, जहां (2) और (6) जुड़े हैं, (6) और (9) जुड़े हैं, पर (2) और (9) नहीं जुड़े। / (2) and (6) have common divisor (2), and (6) and (9) have common divisor (3), but (2) and (9) have no common divisor greater than (1).
Step 3
Exam Tip
कठिन संख्या संबंधों में विरोधी उदाहरण ध्यान से चुनें। / In hard number relations, choose counterexamples carefully.
यदि (a-b) पूर्णांक है और (b-c) पूर्णांक है, तो उनका योग (a-c) भी पूर्णांक होगा। / If (a-b) is an integer and (b-c) is an integer, their sum (a-c) is also an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में बंद गुण को याद रखें। / In difference relations, remember closure under addition.
A. इन तीनों तत्वों के सभी क्रमित युग्मों की ओर/Toward all ordered pairs among these three elements
Step 1
Concept
तीनों जोड़ियां एक चक्र बनाती हैं। / The three pairs form a cycle.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण बार-बार लगाने से ((1,3),(2,1),(3,2)) और फिर ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसी जोड़ियां भी आती हैं। / Repeated transitivity gives ((1,3),(2,1),(3,2)) and then self-pairs like ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण चक्र का संक्रमण आवरण अक्सर पूरे छोटे समुच्चय को जोड़ देता है। / The transitive closure of a full cycle often connects the whole small set.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)), तथा ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)), and ((3,1)) with ((1,3)) requires ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों मौजूद हैं; ((2,4)) से आगे कोई जुड़ी जोड़ी नहीं बनती। / Both are present; ((2,4)) does not form any further linked chain.
Step 3
Exam Tip
अलग पड़ी जोड़ी अपने-आप संक्रमण नहीं तोड़ती। / An isolated pair does not break transitivity by itself.
A. ((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) भी (R) में होंगे/((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) will also be in (R)
Step 1
Concept
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। / ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((a,c)) और ((c,a)) से ((a,a)) मिलेगा; इसी तरह चक्र घुमाकर ((b,b)) और ((c,c)) भी मिलते हैं। / Then ((a,c)) and ((c,a)) imply ((a,a)); rotating the cycle gives ((b,b)) and ((c,c)) too.
Step 3
Exam Tip
चक्र वाले संबंधों में समान जोड़ियां अवश्य बनती हैं। / Cyclic relations force self-pairs under transitivity.
\(a\le 2b\) और \(b\le 2c\) से केवल \(a\le 4c\) मिलता है। / From \(a\le 2b\) and \(b\le 2c\), we only get \(a\le 4c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le 2c\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=1) लें; \(4\le4\), \(2\le2\), पर \(4\le2\) गलत है। / Transitivity requires \(a\le 2c\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=1); \(4\le4\), \(2\le2\), but \(4\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
गुणा वाले संबंधों में सीमा बदल सकती है। / In multiplier-based relations, the bound may change.
यदि (a=kb) और (b=kc), तो \(a=k^2c\) होगा। / If (a=kb) and (b=kc), then \(a=k^2c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए (a=kc) चाहिए, इसलिए सामान्यतः \(k^2=k\), धनात्मक (k) में यह (k=1) देता है। / Transitivity requires (a=kc), so generally \(k^2=k\); for positive (k), this gives (k=1).
Step 3
Exam Tip
स्थिर गुणक वाले संबंधों में गुणक को दो बार लगाकर देखें। / In fixed-multiplier relations, apply the multiplier twice.
\(\Delta\) की समान जोड़ियां किसी जोड़ी को उसी रूप में आगे बढ़ाती हैं। / Self-pairs in \(\Delta\) only carry a pair forward as itself.
Step 2
Why this answer is correct
(R) में पहले से संक्रमण है, इसलिए (R) की श्रृंखलाएं पूरी हैं। \(\Delta\) जोड़ने से कोई नई गुम सीधी जोड़ी नहीं बनती। / Chains already inside (R) are complete because (R) is transitive. Adding \(\Delta\) creates no missing direct pair.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध जोड़ने पर संक्रमण सुरक्षित रहता है। / Adding the identity relation preserves transitivity.
पहचान जोड़ियां केवल ((a,a)) जैसी कमी भरती हैं। / Identity pairs only fill self-pair gaps like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि गुम जोड़ी ((1,3)) जैसी हो, तो \(\Delta\) उसे नहीं जोड़ेगा। जैसे ({(1,2),(2,3)}) में ((1,3)) अब भी नहीं आएगा। / If the missing pair is like ((1,3)), \(\Delta\) will not add it. For example, ({(1,2),(2,3)}) still lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
हर कमी समान तत्व वाली नहीं होती। / Not every missing pair is a self-pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)); both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। ((4,4)) कोई नई कमी नहीं बनाता। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)), also present. ((4,4)) creates no new missing pair.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला की हर छलांग सूची में खोजें। / Find every jump in the long chain.
(a-b) परिमेय होने का संबंध संक्रमण है। / The relation (a-b) rational is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण संबंध का प्रतिलोम भी संक्रमण होता है। यहां (b-a=-(a-b)) भी परिमेय रहता है। / The inverse of a transitive relation is also transitive. Here (b-a=-(a-b)) remains rational.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में अंतर का चिह्न बदलता है, गुण नहीं। / In inverse, the sign of the difference changes, not the property.
\(R\cap S\) में केवल वे समान जोड़ियां रहेंगी जो (R) में भी हैं। / \(R\cap S\) contains only those self-pairs that are also in (R).
Step 2
Why this answer is correct
केवल समान जोड़ियों वाला कोई भी संबंध संक्रमण होता है, क्योंकि उनसे वही जोड़ी दोबारा चाहिए। / Any relation containing only self-pairs is transitive, because it only requires the same pair again.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में बची जोड़ियों की प्रकृति पहचानें। / Identify the nature of pairs left after intersection.
(ab>0) का अर्थ है (a) और (b) का चिह्न समान है और दोनों शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means (a) and (b) have the same sign and both are non-zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का चिह्न समान है तथा (b) और (c) का चिह्न समान है, तो (a) और (c) का चिह्न भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same sign, and (b) and (c) have the same sign, then (a) and (c) also have the same sign.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल के चिह्न वाले संबंधों में चिह्न की श्रृंखला देखें। / In product-sign relations, track the sign chain.
यदि (a) और (b) अलग चिह्न के हैं और (b) और (c) भी अलग चिह्न के हैं, तो (a) और (c) समान चिह्न के होंगे। / If (a) and (b) have opposite signs and (b) and (c) also have opposite signs, then (a) and (c) have the same sign.
Step 3
Exam Tip
उदाहरण (1,-1,1) से संक्रमण टूटता है। / The example (1,-1,1) breaks transitivity.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,8)) से ((2,8)), तथा ((1,4)) और ((4,8)) से ((1,8)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,8)) require ((2,8)), and ((1,4)) with ((4,8)) requires ((1,8)); both are present.
Step 3
Exam Tip
गुणोत्तर जैसी श्रृंखला में सभी सीधी छलांगें देखें। / In a chain-like relation, check all direct jumps.
संक्रमण में हर अनुपस्थित जोड़ी जरूरी नहीं होती। / In transitivity, not every missing pair matters.
Step 2
Why this answer is correct
वही जोड़ी जरूरी है जो किसी ((a,c)) और ((c,b)) जैसी श्रृंखला से बनती हो। / A missing pair matters only if it is required by a chain like ((a,c)) and ((c,b)).
Step 3
Exam Tip
गुम जोड़ी देखकर तुरंत निष्कर्ष न दें, पहले उसकी जरूरत सिद्ध करें। / Do not conclude immediately from a missing pair; prove that it is required.
((2,3)) और ((3,5)) से ((2,5)) चाहिए। / ((2,3)) and ((3,5)) require ((2,5)).
Step 2
Why this answer is correct
((3,5)) और ((5,2)) से ((3,2)), तथा ((5,2)) और ((2,3)) से ((5,3)) चाहिए। / ((3,5)) and ((5,2)) require ((3,2)), and ((5,2)) with ((2,3)) requires ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
चक्र में पहली परत की जोड़ियां बाद में समान जोड़ियां भी बना सकती हैं। / In a cycle, first-layer pairs may later create self-pairs too.
