Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) वास्तविक संख्याओं पर/\(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) on real numbers
Step 1
Concept
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) भी निश्चित रूप से सही है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also certainly true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) से ((b,a)) भी मिलता है। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित शर्तें अक्सर सममित होती हैं, पर असमानता या विभाज्यता को अलग से जाँचें। / Conditions based on equality are often symmetric, while inequalities or divisibility need separate checking.
A. यह हमेशा सममित नहीं होता/It is not always symmetric
Step 1
Concept
(R) में दोनों उल्टे युग्म हो सकते हैं। / (R) may contain both reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) उनमें से केवल एक युग्म हटा सकता है, जिससे सममितता टूट सकती है। / (S) can remove only one of those pairs, breaking symmetry.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के अंतर में सावधानी रखें, क्योंकि गुण हमेशा सुरक्षित नहीं रहता। / Be careful with difference of relations because symmetry is not always preserved.
विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं। / Diagonal pairs are their own reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म भी संतुलित हैं। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so the non-diagonal pair is balanced.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म होना जरूरी नहीं, केवल मौजूद युग्मों के उल्टे होने चाहिए। / Symmetry does not require all possible pairs; it only requires reverse pairs for the pairs present.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So ((a,b)) being in the relation implies ((b,a)) is also in it.
Step 3
Exam Tip
जोड़ या गुणा जैसे अदला-बदली वाले नियम अक्सर सममितता देते हैं। / Conditions based on commutative operations like addition or multiplication often give symmetry.
((a,a)) का उल्टा फिर ((a,a)) ही होता है। / The reverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
सर्वसम संबंध में केवल ऐसे ही विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए उल्टा युग्म अपने-आप मौजूद है। / The identity relation contains only such diagonal pairs, so each reverse pair is already present.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता में कभी समस्या नहीं बनाते। / Diagonal pairs never create a problem for symmetry.
यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। / If (a-b) is even, then (b-a=-(a-b)) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) से \((b,a) \in R\) मिलता है। / Thus \((a,b) \in R\) implies \((b,a) \in R\).
Step 3
Exam Tip
संख्या-आधारित संबंधों में उल्टा करने पर शर्त बदलेगी या नहीं, यह जरूर जाँचें। / For number-based relations, check whether the condition remains true after reversing the pair.
A. हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में है/The reverse pair of every pair is also in the relation
Step 1
Concept
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\), तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। / Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर अलग-अलग तत्वों वाले युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check reverse pairs for pairs with different elements.
\(R^{-1}\subseteq R\) का अर्थ है कि (R) के उल्टे संबंध के सभी युग्म (R) में हैं। / \(R^{-1}\subseteq R\) means all pairs of the inverse relation are contained in (R).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R^{-1}\), और समावेशन से \((b,a)\in R\) होगा। / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R^{-1}\), so by inclusion \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता सिद्ध करने में उल्टे संबंध का समावेशन तेज विधि है। / Inclusion of inverse relations is a quick way to prove symmetry.
A. (S) का सममित होना आवश्यक नहीं है/(S) need not be symmetric
Step 1
Concept
बड़े संबंध (S) में अतिरिक्त युग्म जोड़े जा सकते हैं। / The larger relation (S) may contain additional pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अतिरिक्त युग्म अपने उल्टे के बिना जुड़ जाए, तो (S) सममित नहीं रहेगा। / If an extra pair is added without its reverse, (S) may fail to be symmetric.
Step 3
Exam Tip
अधिसंबंध में गुण ऊपर जाना जरूरी नहीं होता। / A property need not pass upward to every superset relation.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंध में ((1,2),(2,1),(3,4),(4,3)) हैं और कोई अन्य गैर-विकर्ण युग्म नहीं है, तो गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों की संख्या कितनी है?
यदि \(R={(a,b):a\) और (b) के बीच की दूरी (5) से कम है(}) वास्तविक संख्याओं पर है, तो इसे प्रतीकों में \(R=\{(a,b):|a-b|<5\}\) लिखा जाता है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
A. यह सार्वत्रिक और सममित है/It is universal and symmetric
Step 1
Concept
(\max(a,b)=\max(b,a)) हर वास्तविक (a,b) के लिए सत्य है। / (\max(a,b)=\max(b,a)) is true for all real (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध सभी युग्मों को रखता है, यानी यह सार्वत्रिक संबंध है। / So the relation contains every ordered pair, making it universal.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है क्योंकि सभी उल्टे युग्म भी मौजूद होते हैं। / A universal relation is always symmetric because every reverse pair is present.
हर गैर-विकर्ण जोड़ी समूह से (2) क्रमित युग्म बनते हैं। / Each off-diagonal pair group contributes (2) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) समूहों से (6) गैर-विकर्ण युग्म और (2) विकर्ण युग्म मिलाकर कुल (8) युग्म होंगे। / (3) groups give (6) off-diagonal pairs, and with (2) diagonal pairs the total is (8).
Step 3
Exam Tip
समूहों और वास्तविक क्रमित युग्मों में अंतर याद रखें। / Remember the difference between pair groups and actual ordered pairs.
A. \(R^2\) हमेशा सममित होगा/\(R^2\) will always be symmetric
Step 1
Concept
(R) सममित है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / Since (R) is symmetric, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), इसलिए \(R^2\) अपने उल्टे के बराबर है। / (\(R\circ R\)^{-1}=R^{-1}\circ R^{-1}=R\circ R), so \(R^2\) equals its inverse.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध का वर्ग लेते समय उल्टे संबंध का नियम बहुत उपयोगी होता है। / For powers of relations, the inverse relation rule is very useful.
यदि (xy>0), तो (yx>0) भी होगा क्योंकि गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / If (xy>0), then (yx>0) because the product does not change when order is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((x,y)\in R\) होने पर \((y,x)\in R\) भी होगा। / Hence \((x,y)\in R\) implies \((y,x)\in R\).
Step 3
Exam Tip
गुणनफल आधारित नियमों में क्रम बदलने का असर ध्यान से देखें। / In product-based conditions, check whether swapping changes the value.
\(\Delta\) में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta\) contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे युग्मों का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए \(\Delta\) सममित है और \(R\cap\Delta\) भी सममित रहेगा। / The reverse of such a pair is the same pair, so \(\Delta\) is symmetric and \(R\cap\Delta\) remains symmetric.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण संबंध को सममितता में हमेशा विशेष रूप से आसान मानें। / The diagonal relation is always easy to handle in symmetry questions.
