Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The (3) diagonal pairs are compulsory, so (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Total reflexive relations are \(2^6=64\). चरण 1: \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म हैं। चरण 2: (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल परावर्ती संबंध \(2^6=64\) होंगे।
The (5) self-pairs are compulsory, so (20) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Total reflexive relations are \(2^{20}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होते हैं। चरण 2: (5) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (20) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल परावर्ती संबंध \(2^{20}\) होंगे।
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य होगा/\(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Both (R) and (S) contain ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
A pair common to both relations belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
Hence all self-pairs remain in the intersection. चरण 1: (R) और (S) दोनों में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: जो युग्म दोनों में हैं, वे \(R\cap S\) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए सभी अपने-आप वाले युग्म प्रतिच्छेद में भी रहेंगे।
The fraction is \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\). चरण 1: कुल संबंध \(2^9\) होंगे। चरण 2: परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=2^6\) होंगे। चरण 3: भाग \(\frac{2^6}{2^9}=\frac{1}{8}\) है।
The number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{25}:2^{20}=2^5:1\) होगा।
In a reflexive relation, (n) self-pairs are compulsory, so \(n^2-n\) pairs are free.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: \(A \times A\) में \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं, इसलिए बाकी \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: इसलिए कुल परावर्ती संबंध \(2^{n^2-n}\) होते हैं।
The (3) diagonal pairs are compulsory, so (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Total reflexive relations are \(2^6=64\). चरण 1: \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म हैं। चरण 2: (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल परावर्ती संबंध \(2^6=64\) होंगे।
The remaining (25-5=20) pairs are free, so the count is \(2^{20}\). चरण 1: कुल युग्म \(5^2=25\) हैं। चरण 2: स्वसमता के लिए (5) अपने युग्म निश्चित होंगे। चरण 3: बाकी (25-5=20) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{20}\) है।
For reflexivity, ((1,1),(2,2)) are fixed, while the other two pairs may be chosen or not.
Step 3
Exam Tip
Therefore the count is \(2^2=4\). चरण 1: \(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म हैं। चरण 2: स्वसमता के लिए ((1,1),(2,2)) निश्चित रूप से लेने होंगे, बाकी दो युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी।
A reflexive relation must contain (4) self-pairs, leaving (12) pairs free.
Step 3
Exam Tip
The number is \(2^{12}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 2: स्वपरक संबंध के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: संख्या \(2^{12}\) होगी।
Reflexivity makes (4) self-pairs compulsory, leaving (12) pairs free.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of reflexive relations is \(2^{12}\). चरण 1: \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म हैं। चरण 2: स्वपरकता के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: इस कारण स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^{12}\) है।
\(A\times A\) has (9) pairs, so (6) pairs are freely chosen.
Step 3
Exam Tip
The number of reflexive relations is \(2^6\). चरण 1: स्वपरक संबंध में (3) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: \(A\times A\) में (9) युग्म हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 3: स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी।
For reflexivity, (3) diagonal pairs are fixed and the remaining (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(2^6\). चरण 1: \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म होते हैं। चरण 2: स्वतः होने के लिए (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं और बाकी (6) युग्म वैकल्पिक हैं। चरण 3: इसलिए संख्या \(2^6\) होगी।
