C. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In a union, one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
Then the required third pair may be absent, so the union is not always transitive. चरण 1: संक्रामकता के लिए दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। चरण 3: ऐसा होने पर जरूरी तीसरा युग्म संघ में न हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
Since (R) is reflexive, it contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(S) also contains every self-pair.
Step 3
Exam Tip
The union contains all pairs from both relations, so all self-pairs remain and the union is reflexive. चरण 1: परावर्ती होने से (R) में हर स्वयुग्म है। चरण 2: (S) में भी हर स्वयुग्म है। चरण 3: संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आते हैं, इसलिए सभी स्वयुग्म भी रहेंगे और संघ परावर्ती होगा।
B. यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं/It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
Step 1
Concept
Both relations contain all self-pairs, so the union is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both are symmetric, so the union is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Transitivity may fail because one pair of a chain may come from (R) and the other from (S). चरण 1: दोनों संबंधों में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए संघ परावर्ती रहेगा। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए संघ भी सममित रहेगा। चरण 3: संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि शृंखला का एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है।
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S).
Step 3
Exam Tip
The required third pair may be missing, so the union need not be transitive. चरण 1: संक्रामकता में जुड़े हुए दो युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: \(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। चरण 3: तब जरूरी तीसरा युग्म संघ में न भी हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union is symmetric. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में युग्म है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी में होगा। चरण 3: इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और संघ सममित रहेगा।
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
Hence the union of transitive relations is not always transitive. चरण 1: संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: \(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। चरण 3: इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
Hence the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union remains symmetric. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में वह है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी संबंध में होगा। चरण 3: इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और सममितता बनी रहेगी।
Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}). चरण 1: संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। चरण 2: यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है।
If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। चरण 2: दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। चरण 3: इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) और \(S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) हैं। \(R\cup S\) क्यों समतुल्यता संबंध नहीं है?
C. ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है/((1,3)) is missing, so transitivity fails
Step 1
Concept
The union contains all diagonal pairs and the needed reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
It also contains ((1,2)) and ((2,3)).
Step 3
Exam Tip
Transitivity requires ((1,3)), which is missing, so it is not an equivalence relation. चरण 1: संघ में सभी विकर्ण युग्म हैं और उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। चरण 2: संघ में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। चरण 3: संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है।
C. नहीं, संक्रामकता टूट सकती है/no, transitivity may fail
Step 1
Concept
The union of two equivalence relations may remain reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
But one pair may come from one relation and the next pair from the other, so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
Therefore the union is not always an equivalence relation. चरण 1: दो समतुल्यता संबंधों का संघ प्रतिवर्ती और सममित रह सकता है। चरण 2: लेकिन एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आने पर जरूरी तीसरा युग्म गायब हो सकता है। चरण 3: इसलिए संघ को बिना जांचे समतुल्यता संबंध नहीं मानना चाहिए।
B. यह हमेशा संक्रामी नहीं होता/it is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In a union, one pair may come from (R) and the other from (S), so the needed third pair may be absent.
Step 3
Exam Tip
Do not assume the union of transitive relations is transitive. चरण 1: संक्रामकता में दो युग्मों से तीसरे युग्म की जरूरत होती है। चरण 2: संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलता। चरण 3: संक्रामी संबंधों के संघ को बिना जांचे संक्रामी न मानें।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If a pair is in \(R\cup S\), it lies in (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
In whichever relation it lies, symmetry gives its reverse in the same relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the reverse pair also lies in the union. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में वह युग्म है, सममितता के कारण उसका उल्टा भी उसी संबंध में होगा। चरण 3: इसलिए उल्टा युग्म संघ में भी होगा।
A. यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहीं/It need not always be transitive
Step 1
Concept
Pairs coming from different relations can form a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
The third pair required for that new chain may not be present in the union.
Step 3
Exam Tip
Therefore the union of transitive relations is not always transitive. चरण 1: अलग अलग संबंधों से आए युग्म मिलकर नई श्रृंखला बना सकते हैं। चरण 2: उस नई श्रृंखला के लिए जरूरी तीसरा युग्म सम्मिलन में न भी हो सकता है। चरण 3: इसलिए संचारी संबंधों का सम्मिलन हमेशा संचारी नहीं माना जाता।
If a pair is in \(R\cup S\), it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, its reverse is also present, so the reverse is in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
Hence the union of symmetric relations remains symmetric. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में वह युग्म है उसमें उसका उलटा भी होगा, इसलिए उलटा युग्म भी \(R\cup S\) में होगा। चरण 3: इसलिए सममित संबंधों का सम्मिलन सममित रहता है।
