Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता के लिए दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In a union, one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
ऐसा होने पर जरूरी तीसरा युग्म संघ में न हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Then the required third pair may be absent, so the union is not always transitive.
परावर्ती होने से (R) में हर स्वयुग्म है। / Since (R) is reflexive, it contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में भी हर स्वयुग्म है। / (S) also contains every self-pair.
Step 3
Exam Tip
संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आते हैं, इसलिए सभी स्वयुग्म भी रहेंगे और संघ परावर्ती होगा। / The union contains all pairs from both relations, so all self-pairs remain and the union is reflexive.
B. यह हमेशा परावर्ती और सममित होगा पर संक्रामक होना जरूरी नहीं/It is always reflexive and symmetric but need not be transitive
Step 1
Concept
दोनों संबंधों में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए संघ परावर्ती रहेगा। / Both relations contain all self-pairs, so the union is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए संघ भी सममित रहेगा। / Both are symmetric, so the union is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि शृंखला का एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / Transitivity may fail because one pair of a chain may come from (R) and the other from (S).
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में जुड़े हुए दो युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S).
Step 3
Exam Tip
तब जरूरी तीसरा युग्म संघ में न भी हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / The required third pair may be missing, so the union need not be transitive.
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Hence the union of transitive relations is not always transitive.
संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। / A pair in the union comes from (R) or from (S).
Step 2
Why this answer is correct
यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। / Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है। / Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}).
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) और \(S=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) हैं। \(R\cup S\) क्यों समतुल्यता संबंध नहीं है?
C. ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है/((1,3)) is missing, so transitivity fails
Step 1
Concept
संघ में सभी विकर्ण युग्म हैं और उल्टे युग्म भी मौजूद हैं। / The union contains all diagonal pairs and the needed reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों हैं। / It also contains ((1,2)) and ((2,3)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is missing, so it is not an equivalence relation.
C. नहीं, संक्रामकता टूट सकती है/no, transitivity may fail
Step 1
Concept
दो समतुल्यता संबंधों का संघ प्रतिवर्ती और सममित रह सकता है। / The union of two equivalence relations may remain reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन एक युग्म पहले संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आने पर जरूरी तीसरा युग्म गायब हो सकता है। / But one pair may come from one relation and the next pair from the other, so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संघ को बिना जांचे समतुल्यता संबंध नहीं मानना चाहिए। / Therefore the union is not always an equivalence relation.
B. यह हमेशा संक्रामी नहीं होता/it is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो युग्मों से तीसरे युग्म की जरूरत होती है। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलता। / In a union, one pair may come from (R) and the other from (S), so the needed third pair may be absent.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी संबंधों के संघ को बिना जांचे संक्रामी न मानें। / Do not assume the union of transitive relations is transitive.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it lies in (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में वह युग्म है, सममितता के कारण उसका उल्टा भी उसी संबंध में होगा। / In whichever relation it lies, symmetry gives its reverse in the same relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उल्टा युग्म संघ में भी होगा। / Therefore the reverse pair also lies in the union.
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में वह युग्म है उसमें उसका उलटा भी होगा, इसलिए उलटा युग्म भी \(R\cup S\) में होगा। / In that relation, its reverse is also present, so the reverse is in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममित संबंधों का सम्मिलन सममित रहता है। / Hence the union of symmetric relations remains symmetric.
