A. वास्तविक निर्णय भागीदारी/Real decision participation
Step 1
Concept
Membership is effective only when there is voice and decision opportunity. In exams check participation quality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक निर्णय भागीदारी / Real decision participation. Membership is effective only when there is voice and decision opportunity. In exams check participation quality.
Step 3
Exam Tip
सदस्यता तभी प्रभावी है जब बोलने और निर्णय लेने का अवसर मिले। परीक्षा में participation quality देखें।
A. वास्तविक आवाज और निर्णय भागीदारी/Real voice and decision participation
Step 1
Concept
Membership is effective only when voice is also given. In exams check quality of participation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक आवाज और निर्णय भागीदारी / Real voice and decision participation. Membership is effective only when voice is also given. In exams check quality of participation.
Step 3
Exam Tip
membership तभी प्रभावी है जब आवाज भी मिले। परीक्षा में participation की quality देखें।
A. औपचारिक सदस्यता और वास्तविक आवाज में अंतर/Gap between formal membership and real voice
Step 1
Concept
Membership is effective only when voice and decision power exist. In exams examine quality of participation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. औपचारिक सदस्यता और वास्तविक आवाज में अंतर / Gap between formal membership and real voice. Membership is effective only when voice and decision power exist. In exams examine quality of participation.
Step 3
Exam Tip
सदस्यता तभी प्रभावी है जब आवाज और decision power मिले। परीक्षा में participation की गुणवत्ता देखें।
A. नियोजन मानवीय और बाहरी अनिश्चितताओं से प्रभावित होता है/Planning is affected by human and external uncertainties
Step 1
Concept
Timing of union agitation cannot be fully certain. In exams treat labour agitation as uncertainty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. नियोजन मानवीय और बाहरी अनिश्चितताओं से प्रभावित होता है / Planning is affected by human and external uncertainties. Timing of union agitation cannot be fully certain. In exams treat labour agitation as uncertainty.
Step 3
Exam Tip
यूनियन आंदोलन का समय पूरी तरह निश्चित नहीं हो सकता। परीक्षा में labour agitation को uncertainty मानें।
A. जब \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\)/When \(R\subseteq S\) or \(S\subseteq R\)
Step 1
Concept
If one relation is contained in the other, the union is just the larger relation.
Step 2
Why this answer is correct
The larger relation is already an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
Therefore the union is definitely an equivalence relation in this case. चरण 1: यदि एक संबंध दूसरे में समाहित है, तो संघ बड़ा संबंध ही होगा। चरण 2: बड़ा संबंध पहले से तुल्यता संबंध है। चरण 3: इसलिए \(R\subseteq S\) या \(S\subseteq R\) होने पर संघ निश्चित रूप से तुल्यता संबंध होगा।
A. मापांक (5) के अनुसार समानता/Congruence modulo (5)
Step 1
Concept
Every pair in (S) is also in (R), because divisibility by (10) implies divisibility by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(S\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup S=R\), the modulo (5) relation. चरण 1: (S) की हर जोड़ी (R) में भी आती है, क्योंकि (10) से विभाज्यता (5) से विभाज्यता देती है। चरण 2: इसलिए \(S\subseteq R\)। चरण 3: जब \(S\subseteq R\), तो \(R\cup S=R\), यानी मापांक (5) वाला संबंध।
Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the union.
Step 3
Exam Tip
Union of two relation parts can create a new missing pair. चरण 1: \(R\cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) दोनों होंगे। चरण 2: संक्रमण के लिए ((1,3)) चाहिए, पर यह संघ में नहीं है। चरण 3: दो अलग संक्रमण जैसे संबंधों का संघ भी नई कमी बना सकता है।
In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Do not treat union like intersection for transitivity. चरण 1: संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। चरण 2: उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें।
A. जरूरी नहीं कि \(R \cup S\) संक्रामी हो/\(R \cup S\) need not be transitive
Step 1
Concept
In a union, one pair may come from one relation and the second pair from another relation.
Step 2
Why this answer is correct
Then the required ((a,c)) may not be in the union.
Step 3
Exam Tip
Intersection of transitive relations is safe, but union is not always safe. चरण 1: मिलन में पहला युग्म एक संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आ सकता है। चरण 2: तब जरूरी ((a,c)) मिलन में होना निश्चित नहीं है। चरण 3: संक्रामी संबंधों का छेदन सुरक्षित है, पर मिलन हमेशा सुरक्षित नहीं।
The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Always check transitivity of a union separately. चरण 1: दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। चरण 2: उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें।
If \((a,b) \in R \cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) also belongs to that relation and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations is also symmetric. चरण 1: यदि \((a,b) \in R \cup S\), तो यह (R) या (S) में है। चरण 2: जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में और इसलिए संघ में होगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है।
In inverse-relation questions, first identify whether \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)। चरण 3: उल्टे संबंध से जुड़े प्रश्नों में पहले \(R^{-1}=R\) की पहचान करें।
\(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup R^{-1}\), whenever a pair appears, its reverse also appears in the same union.
Step 3
Exam Tip
A direct symmetric extension of a relation is often \(R\cup R^{-1}\). चरण 1: \(R^{-1}\) में (R) के हर युग्म का उल्टा युग्म होता है। चरण 2: \(R\cup R^{-1}\) में कोई भी युग्म आएगा तो उसका उल्टा भी उसी संघ में मिल जाएगा। चरण 3: किसी संबंध का सबसे सीधा सममित विस्तार अक्सर \(R\cup R^{-1}\) होता है।
In inverse-relation questions, identify \(R^{-1}\) first. चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\) होगा। चरण 3: उल्टे संबंध के प्रश्नों में पहले \(R^{-1}\) की पहचान करें।
This idea is useful for both union and intersection questions involving inverses. चरण 1: सममित संबंध में \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\)। चरण 3: संघ और प्रतिच्छेद दोनों में यह विचार उपयोगी है।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations is also symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में यह युग्म है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में और फिर \(R\cup S\) में होगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है।
The union of a set with itself is the same set, so it equals (R). चरण 1: सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 2: इसलिए \(R\cup R^{-1}=R\cup R\) बनेगा। चरण 3: किसी समुच्चय का अपने साथ संघ वही समुच्चय होता है, अतः उत्तर (R) है।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations is also symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में होगा। चरण 2: वह संबंध सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और इसलिए संघ में भी होगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((b,a)) also belongs to the union. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में है। चरण 2: जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में होगा। चरण 3: इसलिए ((b,a)) संघ में भी होगा।
यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध
\[
R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}
\]
परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
(\mathcal{P}(S)) has (8) elements, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (7) must be added. चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में (8) तत्व हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (7) जोड़ने होंगे।
Hence every diagonal pair satisfies the condition. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cup X=X\) और यही (Y) है। चरण 3: इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है।
Hence every ((X,X)) belongs to the relation. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cup X=X\), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है।
B. यह हमेशा (R) के बराबर है/It is always equal to (R)
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, \(I_A\subseteq R\).
Step 2
Why this answer is correct
The union of a set with its subset is the larger set itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup I_A=R\). चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए \(I_A\subseteq R\) है। चरण 2: किसी समुच्चय में उसका उपसमुच्चय मिलाने पर वही बड़ा समुच्चय रहता है। चरण 3: इसलिए \(R\cup I_A=R\) होगा।
On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (3) must be added. चरण 1: (A=\mathcal{P}(S)) में (4) तत्व हैं। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। चरण 3: चार में से एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (3) जोड़ने होंगे।
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें/Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
For union questions, check the combined diagonal list. चरण 1: प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। चरण 2: संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। चरण 3: संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें।
A. \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा/\(R \cup S\) is always reflexive
Step 1
Concept
All diagonal pairs are already present in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Taking a union does not remove pairs from (R); it only adds pairs from (S).
Step 3
Exam Tip
A union with a reflexive relation remains reflexive. चरण 1: (R) में सभी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। चरण 2: संघ करने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि (S) के युग्म जुड़ते हैं। चरण 3: स्ववाची संबंध के साथ संघ स्ववाचीता को बनाए रखता है।
A. \(R\cup S\) परावर्ती है/\(R\cup S\) is reflexive
Step 1
Concept
Both (R) and (S) contain all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Their union keeps the pairs from both relations.
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\cup S\) also contains all ((a,a)) pairs and is reflexive. चरण 1: (R) और (S) दोनों में सभी अपने-आप वाले युग्म हैं। चरण 2: संघ में दोनों संबंधों के युग्म शामिल रहते हैं। चरण 3: इसलिए \(R\cup S\) में भी सभी ((a,a)) होंगे और वह परावर्ती होगा।
In \(R\cup R^{-1}\), every pair of (R) is accompanied by its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the reverse of any pair in the union is also present.
Step 3
Exam Tip
Even if (R) itself is not symmetric, \(R\cup R^{-1}\) is symmetric. चरण 1: \(R\cup R^{-1}\) में (R) के हर युग्म के साथ उसका उल्टा भी शामिल हो जाता है। चरण 2: इसलिए किसी भी युग्म का उल्टा संघ में मौजूद रहेगा। चरण 3: भले (R) स्वयं सममित न हो, \(R\cup R^{-1}\) सममित होता है।
If ((a,b)) is in \(R\cup R^{-1}\), it is in (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) also lies in \(R\cup R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric. चरण 1: यदि ((a,b)) \(R\cup R^{-1}\) में है, तो वह (R) या \(R^{-1}\) में है। चरण 2: दोनों ही स्थिति में उल्टा युग्म ((b,a)) भी \(R\cup R^{-1}\) में आ जाएगा। चरण 3: इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सदैव सममित होता है।
In a symmetric relation, the reverse of every pair is already present.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\). चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से मौजूद होता है। चरण 2: इसलिए \(R^{-1}=R\) होगा। चरण 3: \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\) मिलेगा।
