In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present but ((3,2)) is missing. The pair ((1,2)) already has ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the reverse of every non-diagonal pair. चरण 1: सममित संबंध में यदि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 2: ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। चरण 3: परीक्षा में हर असमान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें।
If (a+b) is even, then (b+a) is also even because changing the order of addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
So whenever \((a,b)\in R\), we also get \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
If the condition remains unchanged after swapping (a) and (b), symmetry is usually satisfied. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। चरण 3: जहाँ शर्त (a) और (b) को बदलने पर वही रहती है, वहाँ सममितता जल्दी जाँची जा सकती है।
(a-b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
Then (b-a) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
For difference-based conditions, the sign may change, but parity remains the same. चरण 1: (a-b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: तब (b-a) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। चरण 3: अंतर वाली शर्तों में चिह्न बदल सकता है, पर सम-विषम गुण नहीं बदलता।
A. हाँ, क्योंकि हर असमान युग्म का उल्टा युग्म है/Yes, because every non-diagonal pair has its reverse
Step 1
Concept
Symmetry only requires that every ((a,b)) has ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)). A diagonal pair is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
All diagonal pairs are not required for symmetry. चरण 1: सममितता के लिए केवल यह जरूरी है कि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) हो। चरण 2: यहाँ ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है। विकर्ण युग्म अपना उल्टा खुद होते हैं। चरण 3: सभी विकर्ण युग्म होना सममितता के लिए अनिवार्य नहीं है।
In a symmetric relation, reversing an ordered pair must still give a pair in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((4,7)) is ((7,4)), so it must be present.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not automatically force diagonal pairs like ((4,4)) or ((7,7)). चरण 1: सममित संबंध में क्रमित युग्म को उलटने पर भी युग्म संबंध में रहना चाहिए। चरण 2: ((4,7)) का उल्टा ((7,4)) है, इसलिए यह निश्चित रूप से होगा। चरण 3: सममितता से विकर्ण युग्म अपने आप जरूरी नहीं हो जाते।
A. नहीं, क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/No, because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
\((1,2)\in R\) because \(1\leq2\), but \((2,1)\notin R\) because \(2\leq1\) is false.
Step 3
Exam Tip
Order-based relations often fail to be symmetric. चरण 1: सममितता जाँचने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। चरण 2: ((1,2)) संबंध में है क्योंकि \(1\leq2\), लेकिन ((2,1)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(2\leq1\) गलत है। चरण 3: क्रम वाले संबंधों में सममितता अक्सर असफल हो जाती है।
So if ((a,b)) satisfies the relation, ((b,a)) also satisfies the same condition.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on absolute distance are usually symmetric. चरण 1: (|a-b|=|b-a|) हमेशा सही होता है। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) संबंध में है, तो ((b,a)) भी वही शर्त पूरी करेगा। चरण 3: निरपेक्ष मान वाली दूरी की शर्तें सामान्यतः सममित होती हैं।
Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
\((1,2)\in R\) because (1) divides (2), but \((2,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
In divisibility relations, direction matters. चरण 1: सममितता के लिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होना चाहिए। चरण 2: \((1,2)\in R\) है क्योंकि (1), (2) को विभाजित करता है, पर \((2,1)\notin R\) है। चरण 3: विभाज्यता वाली शर्त में दिशा महत्वपूर्ण होती है।
Thus the reverse ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
Sum-based equality conditions usually remain unchanged after swapping the variables. चरण 1: यदि (a+b=6), तो (b+a=6) भी होगा। चरण 2: इसलिए किसी भी ((a,b)) के लिए उल्टा ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: योग की समानता वाले संबंधों में (a) और (b) बदलने से शर्त नहीं बदलती।
In a symmetric relation, the reverse of each given pair is compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,3)), we need ((3,1)), and from ((2,3)), we need ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Only the required reverse pairs are guaranteed, not unrelated diagonal or other pairs. चरण 1: सममित संबंध में दिए गए हर युग्म का उल्टा युग्म होना जरूरी है। चरण 2: ((1,3)) से ((3,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलते हैं। चरण 3: दिए गए युग्मों से केवल उनके उल्टे युग्म ही निश्चित माने जाते हैं, बाकी नहीं।
Symmetry means \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\), so reversing all pairs gives the same relation.
Step 3
Exam Tip
A symmetric relation can also be identified by \(R=R^{-1}\). चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। चरण 2: सममितता का अर्थ ही है कि \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी हो, इसलिए उलटने पर वही संबंध मिलता है। चरण 3: सममित संबंध की पहचान \(R=R^{-1}\) से भी की जा सकती है।
The three diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
There are three unordered off-diagonal pair groups, and each group must be selected together or left together.
Step 3
Exam Tip
There are (3+3=6) independent choices, so the number of symmetric relations is \(2^6=64\). चरण 1: तीन विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: असमान युग्मों के तीन जोड़े हैं: ({(1,2),(2,1)}), ({(1,3),(3,1)}), ({(2,3),(3,2)}); हर जोड़ा साथ में चुना या छोड़ा जाएगा। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है।
The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (n=4), so the number of independent choices is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
Remember that diagonal pairs are chosen singly, while off-diagonal pairs are chosen in reverse-pair groups. चरण 1: (n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। चरण 2: यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र चुनाव \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) हैं। चरण 3: सूत्र याद रखने के साथ यह भी समझें कि विकर्ण युग्म अकेले और बाकी युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं।
Diagonal pairs are their own reverse, so they do not break symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The off-diagonal pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
A relation is symmetric when every pair has its reverse in the relation. चरण 1: विकर्ण युग्म अपने उल्टे खुद होते हैं, इसलिए उनसे सममितता नहीं टूटती। चरण 2: असमान युग्म ((1,2)) के साथ ((2,1)) मौजूद है। चरण 3: सभी युग्मों के उल्टे युग्म मिलने पर संबंध सममित होता है।
Symmetry needs the reverse of every off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and ((3,3)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
While checking options, first look for missing reverse pairs. चरण 1: सममितता के लिए हर असमान युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) अपना उल्टा खुद है। चरण 3: विकल्पों को जाँचते समय पहले टूटे हुए उल्टे युग्म खोजें।
Swapping (a) and (b) in \(a+b\leq5\) gives \(b+a\leq5\).
Step 2
Why this answer is correct
Since addition is commutative, the condition remains true for the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
Even in inequalities, if the expression is unchanged by swapping, symmetry holds. चरण 1: शर्त \(a+b\leq5\) में (a) और (b) को बदलने पर \(b+a\leq5\) मिलता है। चरण 2: जोड़ क्रम बदलने पर वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी शर्त पूरी करेगा। चरण 3: असमानता में भी यदि अभिव्यक्ति बदलकर वही रहे, तो सममितता बनी रहती है।
Hence the reverse pair ((b,a)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
In sum-based parity relations, changing the order does not change the sum. चरण 1: यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: सम और विषम दोनों प्रकार के योग-आधारित संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता।
Symmetry requires the condition to remain valid after reversing a pair.
Step 2
Why this answer is correct
\((2,1)\in R\) because \(2=2\cdot1\), but \((1,2)\notin R\) because \(1\neq2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
Directional multiplication conditions may fail after reversing the pair. चरण 1: सममितता के लिए शर्त उलटने पर भी सही रहनी चाहिए। चरण 2: \((2,1)\in R\) है क्योंकि \(2=2\cdot1\), पर \((1,2)\notin R\) क्योंकि \(1\neq2\cdot2\)। चरण 3: गुणा से बनी दिशात्मक शर्तों में उल्टा युग्म अलग परिणाम दे सकता है।
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both as well. Hence \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
The intersection of symmetric relations is symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों संबंधों में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। अतः \((b,a)\in R\cap S\)। चरण 3: सममित संबंधों का प्रतिच्छेद भी सममित रहता है।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
The union of symmetric relations is also symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में होगा। चरण 2: वह संबंध सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और इसलिए संघ में भी होगा। चरण 3: सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है।
To show a relation is not symmetric, find one pair whose reverse is missing.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is symmetric because there is no pair that violates the condition. चरण 1: सममित नहीं होने के लिए कोई एक युग्म ऐसा चाहिए जिसका उल्टा युग्म न हो। चरण 2: पहले विकल्प में ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। चरण 3: रिक्त संबंध भी सममित माना जाता है क्योंकि उसमें नियम तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं होता।
A. क्योंकि इसमें नियम तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है/Because it has no pair that violates the rule
Step 1
Concept
The symmetry rule is checked only when a pair ((a,b)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pairs, so no counterexample exists.
Step 3
Exam Tip
Many properties are considered true in such empty cases; keep this in mind for exams. चरण 1: सममितता का नियम तब जाँचा जाता है जब कोई ((a,b)) संबंध में हो। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए कोई कमी या विरोधी उदाहरण नहीं मिलता। चरण 3: खाली स्थिति में कई गुण सत्य माने जाते हैं, इसे परीक्षा में ध्यान रखें।
A. क्योंकि हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी उसमें होता है/Because every ((a,b)) comes with ((b,a))
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) is in it, then ((b,a)) is also definitely in it.
Step 3
Exam Tip
The universal relation is one of the simplest examples of a symmetric relation. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) उसमें है, तो ((b,a)) भी निश्चित रूप से उसमें होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध सममितता के सबसे सरल उदाहरणों में से एक है।
The reverse of ((1,3)), namely ((3,1)), is missing, so only one pair is needed.
Step 3
Exam Tip
Do not count already balanced reverse pairs again. चरण 1: पहले से ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। चरण 2: ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) अनुपस्थित है, इसलिए केवल वही जोड़ना होगा। चरण 3: पहले से संतुलित युग्मों को दोबारा न गिनें।
For symmetry, the condition should remain valid after swapping (a) and (b).
Step 2
Why this answer is correct
In \(a^2+b^2=10\), swapping gives \(b^2+a^2=10\), which is the same condition.
Step 3
Exam Tip
Balanced sum-type conditions often produce symmetric relations. चरण 1: सममितता के लिए (a) और (b) को बदलने पर शर्त वही रहनी चाहिए। चरण 2: \(a^2+b^2=10\) में (a) और (b) बदलने पर \(b^2+a^2=10\) मिलता है, जो वही है। चरण 3: योग वाली समरूप शर्तें अक्सर सममित संबंध देती हैं।
If \(a^2=b^2\), then the reversed equality \(b^2=a^2\) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
Equality-based relations are symmetric when swapping the two sides keeps the statement true. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो समानता को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सही है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) संबंध में हो तो ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: समानता वाली शर्तों में दोनों पक्ष बदलने पर सत्यता बनी रहे तो सममितता मिलती है।
If \(|a-b|\leq2\), then \(|b-a|\leq2\) also holds.
Step 3
Exam Tip
Distance-based bounds often produce symmetric relations. चरण 1: निरपेक्ष अंतर में (|a-b|=|b-a|) होता है। चरण 2: यदि \(|a-b|\leq2\), तो \(|b-a|\leq2\) भी होगा। चरण 3: दूरी आधारित सीमाएँ सममित संबंधों में अक्सर दिखाई देती हैं।
If \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\), then \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order of addition does not change the remainder.
Step 3
Exam Tip
Modular conditions based on sums are usually symmetric. चरण 1: यदि \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\), तो \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। चरण 2: योग का क्रम बदलने से अवशेष नहीं बदलता। चरण 3: मापांक में योग वाली शर्तें सामान्यतः सममित होती हैं।
\(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
Then \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) also holds.
Step 3
Exam Tip
Congruence equality conditions remain valid after reversing the pair. चरण 1: \(a-b\equiv 0 \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a) और (b) समान अवशेष देते हैं। चरण 2: तब \(b-a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। चरण 3: मापांक में समानता वाली शर्तें उलटने पर भी बनी रहती हैं।
Symmetry requires the reverse pair to satisfy the same condition.
Step 2
Why this answer is correct
For ((2,1)), \(2-1\equiv 1 \pmod{3}\), but for ((1,2)), \(1-2\equiv 2 \pmod{3}\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Non-zero modular difference conditions must be checked carefully. चरण 1: सममितता के लिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करे। चरण 2: ((2,1)) के लिए \(2-1\equiv 1 \pmod{3}\), पर ((1,2)) के लिए \(1-2\equiv 2 \pmod{3}\), इसलिए शर्त नहीं बनी। चरण 3: मापांक में गैर-शून्य अंतर वाली शर्तों को ध्यान से जाँचें।
((1,2)) has ((2,1)), and ((3,1)) has ((1,3)). The pair ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
((2,2)) and ((3,3)) are not compulsory for symmetry. चरण 1: सभी असमान युग्मों के उल्टे युग्म देखें। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((3,1)) के साथ ((1,3)) है। ((1,1)) अपना उल्टा खुद है। चरण 3: सममितता के लिए ((2,2)) और ((3,3)) का होना जरूरी नहीं है।
The definition of symmetry is directly about the reverse ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must be true.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are related to reflexivity, not necessarily to symmetry. चरण 1: सममितता की परिभाषा सीधे उल्टे युग्म से जुड़ी है। चरण 2: \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना ही जरूरी शर्त है। चरण 3: विकर्ण युग्म स्वतुल्यता से जुड़े होते हैं, सममितता से नहीं।
((2,1)) satisfies it, but ((1,2)) does not. The other conditions remain the same after swapping (a) and (b).
Step 3
Exam Tip
Be cautious when the roles of (a) and (b) are not balanced. चरण 1: (a=b+1) एक दिशात्मक शर्त है। चरण 2: ((2,1)) इसे पूरा करता है, पर ((1,2)) इसे पूरा नहीं करता। बाकी शर्तें (a) और (b) बदलने पर वही रहती हैं। चरण 3: जहाँ (a) और (b) की भूमिका समान न हो, वहाँ सममितता पर शक करें।
The condition says both numbers are prime; it does not depend on direction.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) and (b) are both prime, then (b) and (a) are also both prime.
Step 3
Exam Tip
Conditions where both variables have the same role usually preserve symmetry. चरण 1: शर्त में दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की बात है, दिशा की नहीं। चरण 2: यदि (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं, तो (b) और (a) भी दोनों अभाज्य ही रहेंगे। चरण 3: ऐसी समान भूमिका वाली शर्तें सममितता को बनाए रखती हैं।
If (a) and (b) are both even or both odd, then (b) and (a) are also the same way.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on belonging to the same class give symmetric relations. चरण 1: समान सम-विषम प्रकृति का संबंध दोनों दिशाओं में समान रहता है। चरण 2: यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो (b) और (a) भी उसी प्रकार रहेंगे। चरण 3: समान वर्ग में होने वाली शर्तें सममित संबंध देती हैं।
A reverse arrow for every arrow means ((b,a)) is also present, which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
In diagram-based questions, observe arrow directions carefully. चरण 1: तीर ((a,b)) को दिखाता है। चरण 2: हर तीर के साथ उल्टा तीर होना ((b,a)) की उपस्थिति बताता है, यही सममितता है। चरण 3: आलेखीय प्रश्नों में तीरों की दिशा देखकर गुण पहचानें।
((3,1)) is present, but its reverse ((1,3)) is missing. ((2,2)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
Add only missing reverse pairs, not unnecessary diagonal pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) संतुलित हैं। चरण 2: ((3,1)) मौजूद है, पर उसका उल्टा ((1,3)) नहीं है। ((2,2)) अपना उल्टा खुद है। चरण 3: केवल गायब उल्टे युग्म जोड़ें, अनावश्यक विकर्ण युग्म नहीं।
If (ab) is even, then (ba) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Multiplication is commutative, so product-based conditions often preserve symmetry. चरण 1: (ab) और (ba) बराबर होते हैं। चरण 2: यदि (ab) सम है, तो (ba) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। चरण 3: गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता।
Both addition and multiplication are commutative, so the condition remains the same.
Step 3
Exam Tip
If the full condition is unchanged after swapping, the relation is symmetric. चरण 1: (a+b=ab) में (a) और (b) को बदलने पर (b+a=ba) मिलता है। चरण 2: जोड़ और गुणन दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए शर्त वही रहती है। चरण 3: जब पूरी शर्त बदलने पर समान रहे, तो संबंध सममित होता है।
If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the condition helps in exam questions. चरण 1: \(a^2-b^2=0\) का अर्थ है \(a^2=b^2\)। चरण 2: यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\) भी सही है, इसलिए उल्टा युग्म भी आएगा। चरण 3: शर्त को सरल रूप में बदलकर देखना परीक्षा में उपयोगी होता है।
The difference being divisible by (2) means (a-b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is even, then (b-a) is also even.
Step 3
Exam Tip
Difference conditions with zero remainder remain valid after reversing the pair. चरण 1: अंतर (2) से विभाज्य होने का अर्थ है (a-b) सम है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम होगा। चरण 3: विभाज्यता में शून्य अवशेष वाली अंतर-शर्त उलटने पर भी सही रहती है।
((1,2)) and ((2,1)) are both present, so they are fine.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) and ((3,2)) are also both present. Only the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Check off-diagonal pairs in reverse-pair groups. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वे ठीक हैं। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) भी दोनों हैं। केवल ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) नहीं है। चरण 3: हर असमान युग्म की जोड़ी बनाकर जाँचें।
A. (R) सममित है क्योंकि (a+b=b+a)/(R) is symmetric because (a+b=b+a)
Step 1
Concept
If (a+b) is a multiple of (5), then (b+a) gives the same sum.
Step 2
Why this answer is correct
Hence ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
For sum-multiple conditions, whether the modulus is even or odd does not affect symmetry. चरण 1: यदि (a+b) (5) का गुणज है, तो (b+a) भी वही योग देगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: गुणज वाली योग-शर्त में संख्या का सम या विषम होना सममितता को नहीं रोकता।
\(R=R^{-1}\) exactly when every reverse pair is already in (R), which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) is a very useful test for symmetry. चरण 1: \(R^{-1}\) में सभी युग्म उलट जाते हैं। चरण 2: \(R=R^{-1}\) तभी होगा जब हर युग्म का उल्टा युग्म पहले से (R) में हो। यही सममितता है। चरण 3: \(R=R^{-1}\) सममितता की बहुत उपयोगी पहचान है।
(3+4=7) and (4+3=7), so the reverse pair also satisfies the relation.
Step 3
Exam Tip
In sum conditions, reverse pairs can be checked quickly. चरण 1: ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) है। चरण 2: (3+4=7) और (4+3=7), इसलिए उल्टा युग्म भी शर्त पूरी करता है। चरण 3: योग की शर्त में उल्टे युग्म को तुरंत जाँचें।
For a relation matrix to represent a symmetric relation, entries across the main diagonal must match.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{13}=1\) and \(m_{31}=1\), and the other opposite entries also match.
Step 3
Exam Tip
A relation is symmetric when its matrix equals its transpose. चरण 1: आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ बराबर होनी चाहिए। चरण 2: यहाँ पहली और तीसरी स्थिति पर \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), तथा बाकी विपरीत प्रविष्टियाँ भी बराबर हैं। चरण 3: संबंध का आव्यूह अपने स्थानांतरण के बराबर हो तो संबंध सममित होता है।
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
For symmetry in a matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(m_{12}=1\), but \(m_{21}=0\), so a reverse pair is missing.
Step 3
Exam Tip
In matrix questions, compare entries across the main diagonal. चरण 1: आव्यूह में सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(m_{12}=1\), पर \(m_{21}=0\), इसलिए उल्टा युग्म अनुपस्थित है। चरण 3: आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर मिलान जरूर करें।
The reverse of a diagonal pair ((a,a)) is the same pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
So the symmetry condition is automatically satisfied for every such pair.
Step 3
Exam Tip
Any relation containing only diagonal pairs is symmetric. चरण 1: विकर्ण युग्म ((a,a)) का उल्टा भी ((a,a)) ही होता है। चरण 2: इसलिए ऐसे हर युग्म के लिए सममितता की शर्त अपने आप पूरी हो जाती है। चरण 3: केवल विकर्ण युग्मों वाला कोई भी संबंध सममित होता है।
So the relation contains only diagonal pairs ((a,a)), and each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
Simplify the condition first, then check symmetry. चरण 1: (a+b=2a) से (b=a) मिलता है। चरण 2: इसलिए संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के विकर्ण युग्म आएँगे, जो अपने उल्टे खुद होते हैं। चरण 3: पहले शर्त सरल करें, फिर सममितता जाँचें।
Thus (R) contains only diagonal pairs such as ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
Sometimes a condition that looks different may still define only a diagonal relation. चरण 1: (a+b=2b) से (a=b) मिलता है। चरण 2: इसलिए (R) में केवल विकर्ण युग्म होंगे, जैसे ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4))। ये सभी अपने उल्टे खुद हैं। चरण 3: कभी-कभी अलग दिखने वाली शर्त भी केवल विकर्ण संबंध दे सकती है।
