छह तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
How many reflexive relations are possible on a set with six elements?
#reflexive relation
#counting formula
#class 12
A \(2^{30}\)
B \(2^{36}\)
C \(2^6\)
D \(6^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{30}\)
Step 1
Concept
(6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। / For (6) elements, \(A\times A\) has (36) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे। / Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\).
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (12) युग्म हों?
If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (12) ordered pairs?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{20}{7}\)
B \(\binom{25}{12}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{12}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{20}{7}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=A\times A-{(1,1),(2,3),(4,4)}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#cartesian product
#missing diagonal
A 1
B 2
C 3
D 4
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए चारों विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation needs all four diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए युग्मों में ((1,1)) और ((4,4)) विकर्ण हैं, पर ((2,3)) विकर्ण नहीं है। / Among the removed pairs, ((1,1)) and ((4,4)) are diagonal, while ((2,3)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल दो विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore only two diagonal pairs must be added.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):a=b\) और \(a\equiv 0 \pmod{2}}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे\)?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):a=b\) and \(a\equiv 0 \pmod{2}}), how many pairs must be added to make (R) reflexive\)?
#reflexive relation
#even elements
#minimum addition
A 2
B 3
C 4
D 6
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Step 1
Concept
संबंध में केवल सम तत्वों के विकर्ण युग्म हैं। / The relation contains only diagonal pairs for even elements.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में ((2,2),(4,4),(6,6)) मौजूद होंगे, पर ((1,1),(3,3),(5,5)) नहीं। / ((2,2),(4,4),(6,6)) are present, but ((1,1),(3,3),(5,5)) are missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore (3) diagonal pairs must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a\neq b\) और a+b सम है}) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a\neq b\) and a+b is even}). Which statement is correct for (R)?
#reflexive relation
#and condition
#not equal
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C केवल पहचान संबंध है / It is only the identity relation
D सार्वत्रिक संबंध है / It is universal relation
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण युग्मों में (a=b) होता है। / In diagonal pairs, (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
दी गई शर्त में \(a\neq b\) चाहिए, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म संबंध में नहीं होगा। / The condition requires \(a\neq b\), so no diagonal pair can be present.
Step 3
Exam Tip
सभी विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति से संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। / Since all diagonal pairs are absent, the relation is not reflexive.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b):a=b\) या a+b 3 से विभाज्य है}) है, तो (R) कैसा है?
\(If (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b):a=b\) or a+b is divisible by 3}), what is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#or condition
#divisibility
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C केवल तीन तत्वों पर / Only on three elements
D रिक्त संबंध / Empty relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) हमेशा सत्य होता है। / On the diagonal, (a=b) is always true.
Step 2
Why this answer is correct
या वाली शर्त में पहला भाग ही हर ((a,a)) को शामिल कर देता है। / In an or condition, the first part already includes every ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दूसरे भाग को अलग से जांचने की आवश्यकता नहीं है। / So the second part does not need separate checking for reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#minimum addition
A 0
B 1
C 2
D 5
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (|a-a|=0) होगा। / On the diagonal, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(0\leq a-1\) है, जो (a=0) पर असत्य और (a=1,2,3,4) पर सत्य है। / The condition is \(0\leq a-1\), which fails for (a=0) and holds for (a=1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):|a-b|\leq a-1\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#absolute value
#inequality
A 4
B 5
C 1
D 0
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (|a-a|=0) होता है। / On the diagonal, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(0\leq a-1\) बनेगी, जो (A) के हर \(a\geq1\) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(0\leq a-1\), which is true for every \(a\geq1\) in (A).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (5) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Hence all (5) diagonal pairs are in the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#strict inequality
#minimum addition
A 0
B 2
C 4
D 6
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Step 1
Concept
विकर्ण पर (a-b=0) है। / On the diagonal, (a-b=0).
Step 2
Why this answer is correct
तब ((a-b)2 =0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then ((a-b)2 =0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं है, इसलिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / No diagonal pair is present, so all four diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):(a-b)^2<1\}\) है, तो (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):(a-b)^2<1\}\), what is the correct conclusion about (R)?
#reflexive relation
#square difference
#inequality
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C रिक्त संबंध है / It is empty relation
D सार्वत्रिक संबंध है / It is universal relation
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a-b=0) होता है। / On the diagonal, (a-b=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a-b)2 =0), और (0<1) सत्य है। / Therefore ((a-b)2 =0), and (0<1) is true.
Step 3
Exam Tip
हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है, अतः संबंध प्रतिवर्ती है। / Every diagonal pair satisfies the condition, so the relation is reflexive.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 0
B 1
C 2
D 3
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Step 1
Concept
कुल (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A total of (5) diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण शर्त (a(a-2)\geq0) है, जो (-2,-1,0,2) पर सत्य और (1) पर असत्य है। / The diagonal condition (a(a-2)\geq0) is true for (-2,-1,0,2) and false for (1).
Step 3
Exam Tip
केवल ((1,1)) जोड़ना होगा। / Only ((1,1)) must be added.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab\geq a+b\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#product inequality
#diagonal count
A 1
B 2
C 3
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(ab=a^2\) और (a+b=2a) होगा। / On the diagonal, \(ab=a^2\) and (a+b=2a).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a^2\geq2a\), यानी (a(a-2)\geq0) है। / The condition is \(a^2\geq2a\), i.e. (a(a-2)\geq0).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (a=-2,-1,0,2) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (a=-2,-1,0,2) work, so there are (4) diagonal pairs.
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समुच्चय \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq9\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2\leq9\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#squares
A 0
B 2
C 4
D 7
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\leq9\) से \(a^2\leq4.5\), इसलिए (a=-2,-1,0,1,2) काम करते हैं। / \(2a^2\leq9\) gives \(a^2\leq4.5\), so (a=-2,-1,0,1,2) work.
Step 3
Exam Tip
((-3,-3)) और ((3,3)) गायब हैं, इसलिए (2) जोड़ने होंगे। / ((-3,-3)) and ((3,3)) are missing, so (2) pairs must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a+1\mid b+1\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#self divisibility
A हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
B हर (a) पर (a+1=1) / For every (a), (a+1=1)
C हर (b) शून्य है / Every (b) is zero
D सभी युग्म अविकर्ण हैं / All pairs are non-diagonal
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Correct Answer
A. हर (a) पर \(a+1\mid a+1\) / For every (a), \(a+1\mid a+1\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / Put (b=a) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a+1\mid a+1\) मिलता है, और कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। / Then \(a+1\mid a+1\), and any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore every ((a,a)) belongs to the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a+1\mid b\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):a+1\mid b\}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#divisibility
#diagonal count
A 0
B 1
C 2
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर शर्त \(a+1\mid a\) बनेगी। / On the diagonal, the condition becomes \(a+1\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+1) संख्या (a) से बड़ी है और धनात्मक है, इसलिए वह (a) को विभाजित नहीं कर सकती। / Since (a+1) is positive and greater than (a), it cannot divide (a).
Step 3
Exam Tip
कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए संख्या (0) है। / No diagonal pair is present, so the count is (0).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(R=\{(a,b):a\mid b^2\}\), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#squares
A क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
B क्योंकि \(b^2\) हमेशा (1) है / Because \(b^2\) is always (1)
C क्योंकि हर (a) अभाज्य है / Because every (a) is prime
D क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएं हैं / Because (A) contains only even numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a\mid a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a\mid a^2\) बनेगी, जो हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a\mid a^2\), which is true for every positive integer (a).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में स्वयं के वर्ग को देखना तेज तरीका है। / In divisibility relations, checking the square of the same number is a quick method.
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\(समुच्चय (A={2,3,4,5,6,8}) पर (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) 5 से कम है}) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
\(On (A={2,3,4,5,6,8}), (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) is less than 5}). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#lcm
#minimum addition
A 2
B 3
C 4
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होगा। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a<5) होने पर (a=2,3,4) ही काम करते हैं। / The condition (a<5) holds only for (2,3,4).
Step 3
Exam Tip
कुल (6) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (3) जोड़ने होंगे। / Since (6) diagonal pairs are needed and (3) are present, (3) must be added.
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\(यदि (A={2,3,4,5,6,8}) और (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) 8 से कम या बराबर है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
\(If (A={2,3,4,5,6,8}) and (R={(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)\) is less than or equal to 8}), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#lcm
#diagonal pairs
A 3
B 4
C 5
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय के सभी तत्व (8) से कम या बराबर हैं। / Every element of the given set is less than or equal to (8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Hence all (6) diagonal pairs are in the relation.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):\gcd(a,b)\) सम है}) है। इसे प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):\gcd(a,b)\) is even}). How many diagonal pairs must be added to make it reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#minimum addition
A 2
B 3
C 4
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कुल (6) विकर्ण युग्म आवश्यक हैं। / A total of (6) diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं, क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक सम है। / ((2,2),(4,4),(6,6)) are already present because their greatest common divisor is even.
Step 3
Exam Tip
((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है। / ((1,1),(3,3),(5,5)) must be added, so the answer is (3).
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):\gcd(a,b)\) सम है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):\gcd(a,b)\) is even}), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#gcd
#parity
A 2
B 3
C 4
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(a,a)) सम तभी है जब (a) सम हो। (A) में (2,4,6) सम हैं। / This is even exactly when (a) is even. In (A), (2,4,6) are even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3) विकर्ण युग्म संबंध में हैं। / Therefore (3) diagonal pairs belong to the relation.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
A 1
B 2
C 3
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (5) विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this set needs (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=2) पर विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म होंगे?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b=3a\}\), how many diagonal pairs will (R) contain?
#reflexive relation
#quadratic condition
#diagonal count
A 1
B 2
C 3
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2+a=3a\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2+a=3a\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(a^2-2a=0\), यानी (a(a-2)=0) लिखते हैं। / This becomes \(a^2-2a=0\), i.e. (a(a-2)=0).
Step 3
Exam Tip
(a=0) और (a=2) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं। / (a=0) and (a=2) work, so there are (2) diagonal pairs.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a^3-b\) सम है}) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a^3-b\) is even}). What is the correct reason that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#parity
#cubic expression
A क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
B क्योंकि हर \(a^3\) सम है / Because every \(a^3\) is even
C क्योंकि (b) हमेशा (1) है / Because (b) is always (1)
D क्योंकि संबंध रिक्त है / Because the relation is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है / Because \(a^3-a\) is always even
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^3-a\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^3-a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a-3 -a=a(a-1)(a+1)) है, जिसमें लगातार तीन संख्याओं का गुणन है, इसलिए यह सम होगा। / (a-3 -a=a(a-1)(a+1)), a product of three consecutive integers, so it is even.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को गुणनखंडों में बदलना उपयोगी तरीका है। / Factoring the diagonal expression is a useful exam method.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और (R={(a,b):\(a\equiv 3b \pmod{4}\)}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and (R={(a,b):\(a\equiv 3b \pmod{4}\)}), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#minimum addition
A 3
B 4
C 5
D 7
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv 3a \pmod{4}\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv 3a \pmod{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), यानी (a) सम होना चाहिए। (A) में (2,4,6) काम करते हैं। / This gives \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), so (a) must be even. In (A), (2,4,6) work.
Step 3
Exam Tip
कुल (7) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (4) जोड़ने होंगे। / Since (7) diagonal pairs are needed and (3) are present, (4) must be added.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b \pmod{5}\)}) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b \pmod{5}\)}). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#modulo
#quadratic congruence
A 2
B 3
C 4
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2\equiv a \pmod{5}\) मिलेगा। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2\equiv a \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), इसलिए \(a\equiv 0\) या \(a\equiv 1 \pmod{5}\)। / This means (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), so \(a\equiv 0\) or \(a\equiv 1 \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (0,1,5) काम करते हैं, इसलिए (3) विकर्ण युग्म हैं। / In the set, (0,1,5) work, so there are (3) diagonal pairs.
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\(यदि (A={1,2,3,4,5,6}) और (R={(a,b):a^2+b^2\) 10 से विभाज्य है}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म पहले से हैं?
\(If (A={1,2,3,4,5,6}) and (R={(a,b):a^2+b^2\) is divisible by 10}), how many diagonal pairs are already in (R)?
#reflexive relation
#squares
#divisibility
#class 12
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) बनेगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(10) से विभाज्यता के लिए \(2a^2\) में (5) का गुणक होना जरूरी है, इसलिए (a) (5) से विभाज्य होना चाहिए। / For divisibility by (10), \(2a^2\) must include a factor (5), so (a) must be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में केवल (a=5) काम करता है, अतः एक विकर्ण युग्म है। / In the given set, only (a=5) works, so there is one diagonal pair.
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\(मान लें (A={1,2,3,4,5,6,7,8}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) 6 से विभाज्य है})। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
\(Let (A={1,2,3,4,5,6,7,8}) and (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) is divisible by 6}). What is the minimum number of pairs needed to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#diagonal pairs
#expert
A 2
B 4
C 6
D 8
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर ((a,a)) होना चाहिए। / A reflexive relation needs every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (6) से तभी विभाज्य है जब (a) (3) से विभाज्य हो। (A) में (3,6) ही ऐसे हैं। / On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (6) only when (a) is divisible by (3). In (A), only (3) and (6) work.
Step 3
Exam Tip
कुल (8) विकर्ण युग्म चाहिए, (2) पहले से हैं, इसलिए (6) जोड़ने होंगे। / (8) diagonal pairs are needed and (2) are present, so (6) must be added.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\) 6 से विभाज्य है}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस बात पर आधारित है?
\(On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 6}). What is the basis for (R) being reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#difference
A हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
B क्योंकि हर (a) (6) से विभाज्य है / Because every (a) is divisible by (6)
C क्योंकि (A) में (6) है / Because (A) contains (6)
D क्योंकि सभी युग्म अलग-अलग हैं / Because all pairs are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (6) से विभाज्य है / For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) देखें। / For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (a-a=0) होता है, और (0) (6) से विभाज्य है। / Then (a-a=0), and (0) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
अंतर की विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा शून्य होता है। / In difference-divisibility relations, the diagonal difference is always zero.
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यदि \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#quadratic
A 2
B 3
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on this five-element set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त में केवल (a=0) और (a=1) वाले विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=a+b\}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#quadratic equation
#diagonal count
A 1
B 2
C 3
D 5
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Step 1
Concept
विकर्ण पर \(2a^2=2a\) मिलेगा। / On the diagonal, \(2a^2=2a\).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(a^2=a\), यानी (a(a-1)=0) लिखते हैं। / This becomes \(a^2=a\), i.e. (a(a-1)=0).
Step 3
Exam Tip
(a=0,1) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं। / (a=0,1) work, so there are (2) diagonal pairs.
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