कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Step 1
Concept
A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है / Both assertion and reason are true, and the reason explains it. A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
Step 3
Exam Tip
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं।
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है/It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
Step 1
Concept
A proper subset does not allow equality.
Step 2
Why this answer is correct
No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
Distinguish \(\subseteq\) from \(\subset\) carefully. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। चरण 2: कोई भी समुच्चय अपने ही उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं माना जाता। चरण 3: \(\subseteq\) और \(\subset\) का अर्थ अलग-अलग समझें।
Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). Subset relation in both directions means both sets have exactly the same elements. This is a standard way to prove equality of sets.
Step 3
Exam Tip
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय होने का अर्थ है कि दोनों में ठीक वही अवयव हैं। बराबर समुच्चय सिद्ध करने की यह मानक विधि है।
If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), every element of (A) is in (C).
Step 2
Why this answer is correct
Also (A) and (C) cannot be equal, so \(A\subset C\).
Step 3
Exam Tip
In proper subset questions, think separately about equality. चरण 1: यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो (A) का हर तत्व (C) में होगा। चरण 2: साथ ही (A) और (C) समान नहीं हो सकते, इसलिए \(A\subset C\) होगा। चरण 3: वास्तविक उपसमुच्चय में समानता की संभावना अलग से सोचें।
A proper subset has all elements from the original set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) lies inside (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
The set itself is not counted as a proper subset. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय से होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({1,2,3}) (A) के अंदर है और (A) से छोटा है। चरण 3: पूरा समुच्चय उचित उपसमुच्चय नहीं माना जाता।
Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times D\subset B\times D\). Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
Step 3
Exam Tip
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें।
Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(C\times A\subset C\times B\). Elements of (A) in the second component are also in (B), so \(C\times A\subset C\times B\). With subsets, check the position of the related component.
Step 3
Exam Tip
दूसरे घटक में (A) के तत्व (B) में भी हैं, इसलिए \(C\times A\subset C\times B\)। उपसमुच्चय के साथ संबंधित घटक की स्थिति देखें।
If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times C\subset B\times C\). If every element of (A) is in (B), then every pair of \(A\times C\) is also in \(B\times C\). In subset questions, focus on the first component.
Step 3
Exam Tip
यदि (A) का हर तत्व (B) में है, तो \(A\times C\) का हर युग्म \(B\times C\) में भी होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में पहले घटक पर ध्यान दें।
A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
Step 3
Exam Tip
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें।
The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({2,4}). The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
Step 3
Exam Tip
({2,4}) में (4) है जो (A) का तत्व नहीं है इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में हर तत्व की सदस्यता जांचें।
\(\frac{1}{2}\) is a real number, so it belongs to (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{2}\) is not an integer, so it does not belong to (Z).
Step 3
Exam Tip
When identifying number-set subsets, check the type of each element. चरण 1: \(\frac{1}{2}\) वास्तविक संख्या है, इसलिए (R) में आती है। चरण 2: \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है, इसलिए (Z) में नहीं आती। चरण 3: संख्या-समुच्चय पहचानते समय हर अवयव की प्रकृति देखें।
The or condition includes every ((X,X)) through the equality part.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (X=Y) सत्य होता है। चरण 2: या वाली शर्त में (X=Y) वाला भाग हर ((X,X)) को शामिल कर देता है। चरण 3: इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है।
No set is a proper subset of itself, so \(X\subset X\) is false.
Step 3
Exam Tip
The difference between \(\subseteq\) and \(\subset\) is very important in exams. चरण 1: \(X\subset Y\) में उचित उपसमुच्चय की बात है। चरण 2: कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए \(X\subset X\) असत्य है। चरण 3: \(\subseteq\) और \(\subset\) का अंतर परीक्षा में बहुत जरूरी है।
In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added. चरण 1: घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। चरण 2: वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। चरण 3: परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे।
A. क्योंकि \(X\subset X\) असत्य है/Because \(X\subset X\) is false
Step 1
Concept
\(X\subset Y\) means proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
In exams, clearly distinguish \(\subset\) and \(\subseteq\). चरण 1: \(X\subset Y\) वास्तविक उपसमुच्चय को दर्शाता है। चरण 2: कोई समुच्चय अपने-आप का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता। चरण 3: \(\subset\) और \(\subseteq\) के अंतर को परीक्षा में जरूर पहचानें।
A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
Carefully distinguish proper subset from subset. चरण 1: कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। चरण 2: यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। चरण 3: वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें।
In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, check the whole domain before calling a subset a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,3),(2,5)}). In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, check the whole domain before calling a subset a function.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय को फलन कहने से पहले पूरा प्रांत जांचें।
In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, a subset is a function only when the whole domain is covered.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,3),(2,4)}). In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, a subset is a function only when the whole domain is covered.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय भी तभी फलन है जब पूरा प्रांत शामिल हो।
In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. {(1,x),(2,z)}. In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
Step 3
Exam Tip
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है।
In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,3),(2,5)}). In the first subset, (1) and (2) each have one image. In the others an input has two different values or is missing.
Step 3
Exam Tip
पहले उपसमुच्चय में (1) और (2) का एक-एक प्रतिबिंब है। बाकी में कोई इनपुट दो अलग मानों से जुड़ा है या छूट गया है।
A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). Order matters, so \(B\times A\) can be different.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B\). A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). Order matters, so \(B\times A\) can be different.
Step 3
Exam Tip
(A) से (B) तक संबंध सदैव \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। क्रम महत्वपूर्ण है इसलिए \(B\times A\) अलग हो सकता है।
Any subset of \(A\times B\) is a relation from (A) to (B). It need not be a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A) से (B) तक संबंध / Relation from (A) to (B). Any subset of \(A\times B\) is a relation from (A) to (B). It need not be a function.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय (A) से (B) तक संबंध कहलाता है। यह जरूरी नहीं कि फलन हो।
In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({(x,1)}). In \(A\times B\), the first coordinate must be from (A) and the second from (B). In ((x,1)), the order is reversed, so it is not a member.
Step 3
Exam Tip
\(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। ((x,1)) में क्रम उल्टा है, इसलिए यह सदस्य नहीं है।
In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(A\times B\). In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
Step 3
Exam Tip
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)।
In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B\). In every pair of (R), the first component is from (A) and the second is from (B). Therefore \(R\subseteq A\times B\).
Step 3
Exam Tip
(R) के हर युग्म में पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से है। इसलिए \(R\subseteq A\times B\)।
A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({(1,3),(2,5)}). A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
Step 3
Exam Tip
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,3),(2,5)}) के दोनों युग्म \(A\times B\) में हैं।
(A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (16). (A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
Step 3
Exam Tip
(A) fixed है और (U-A) के (4) तत्व optional हैं, इसलिए \(2^4=16\)। परीक्षा में containing (A) का अर्थ \(A\subseteq S\) लें।
Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({1,{1,2}}). Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
Step 3
Exam Tip
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं।
Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\emptyset,{1},{2,3}}\). Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
Step 3
Exam Tip
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय हैं, और विकल्प A के सभी सदस्य ऐसे हैं। संख्या (1) को ({1}) से अलग समझें।
For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है।
The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({{1,2}}). The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
Step 3
Exam Tip
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें।
\(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\emptyset}\). \(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
Step 3
Exam Tip
(A) में \(\emptyset\) एक तत्व है इसलिए \({\emptyset}\) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय को तत्व के रूप में भी पहचाने।
B. (B) का हर तत्व (A) में है/Every element of (B) is in (A)
Step 1
Concept
The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (B) का हर तत्व (A) में है / Every element of (B) is in (A). The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की परिभाषा हर तत्व के समावेशन पर आधारित है। परीक्षा में केवल कम संख्या वाले तत्व देखकर निर्णय न लें।
A. (B) (A) का घात समुच्चय है/(B) is the power set of (A)
Step 1
Concept
The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (B) (A) का घात समुच्चय है / (B) is the power set of (A). The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
Step 3
Exam Tip
\(x\subset A\) का अर्थ है (x) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए (B) में सभी उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में घात समुच्चय को तत्वों के समुच्चय के रूप में समझें।
A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\)/Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\)
Step 1
Concept
A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (C) का हर अवयव (A) में है और \(A\ne C\) / Because every element of (C) is in (A) and \(A\ne C\). A proper subset needs inclusion of every element and inequality. Having fewer elements alone is not enough.
Step 3
Exam Tip
उचित उपसमुच्चय के लिए हर अवयव का सम्मिलन और असमानता दोनों चाहिए। केवल अवयवों की संख्या कम होना पर्याप्त नहीं है।
A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है/It is true and (A) is a proper subset
Step 1
Concept
All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सत्य है और (A) उचित उपसमुच्चय है / It is true and (A) is a proper subset. All elements of (A) are in (B), and (B) has one extra element. Hence (A) is a proper subset.
Step 3
Exam Tip
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है।
A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\)/In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\)
Step 1
Concept
A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\) / In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\). A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
Step 3
Exam Tip
उचित उपसमुच्चय बराबर नहीं होता और सभी अवयव बड़े समुच्चय में होते हैं। चिन्ह \(\subset\) का अर्थ \(\subseteq\) से अलग समझें।
(A) contains numbers greater than (1) and up to (6).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4,6) all satisfy this condition.
Step 3
Exam Tip
A subset must not contain even one element outside the boundary. चरण 1: (A) में (1) से बड़ी और (6) तक की संख्याएँ हैं। चरण 2: (2,4,6) सभी इस सीमा में हैं। चरण 3: उपसमुच्चय में एक भी सीमा से बाहर अवयव नहीं होना चाहिए।
The complement of (A) contains elements of (U) that are not in (A).
Step 2
Why this answer is correct
The complement is ({1,3,5}), and ({1,3}) is its subset.
Step 3
Exam Tip
First remove the given set from the universal set. चरण 1: (A) का पूरक (U) में वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं। चरण 2: पूरक ({1,3,5}) है और ({1,3}) इसका उपसमुच्चय है। चरण 3: पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय को हटाएँ।
In combined questions, first find the required set and then test subsets. चरण 1: पहले \(A\cap B\) निकालें, जो ({2,3}) है। चरण 2: ({2,4}) में (4) है, जो ({2,3}) में नहीं है। चरण 3: मिश्रित प्रश्नों में पहले मुख्य समुच्चय निकालें, फिर उपसमुच्चय जाँचें।
((0,1)) contains only numbers strictly between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both \(\frac{1}{4}\) and \(\frac{3}{4}\) lie inside it.
Step 3
Exam Tip
In an open interval, endpoints (0) and (1) are not included. चरण 1: ((0,1)) में केवल (0) और (1) के बीच की संख्याएँ हैं। चरण 2: \(\frac{1}{4}\) और \(\frac{3}{4}\) दोनों इसी के अंदर हैं। चरण 3: खुले अंतराल में छोर (0) और (1) शामिल नहीं होते।
([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10), including endpoints.
Step 2
Why this answer is correct
All elements (0,5,10) lie in this interval.
Step 3
Exam Tip
Check each element against the interval boundary. चरण 1: ([0,10]) में (0) से (10) तक सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। चरण 2: ({0,5,10}) के तीनों अवयव इसी अंतराल में हैं। चरण 3: उपसमुच्चय जाँचते समय हर अवयव की सीमा से तुलना करें।
Every element of a subset must belong to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3}) contains (3), which is not in (A).
Step 3
Exam Tip
Even one outside element makes a set not a subset. चरण 1: उपसमुच्चय का हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ({1,3}) में (3) है, जो (A) में नहीं है। चरण 3: एक भी बाहरी अवयव मिलने पर वह उपसमुच्चय नहीं रहता।
([0,10]) contains all real numbers from (0) to (10).
Step 2
Why this answer is correct
Every number in ((2,8]) lies within this range.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: while choosing a subset interval, keep both endpoints within the original limits. चरण 1: ([0,10]) में (0) से (10) तक की सभी वास्तविक संख्याएं हैं। चरण 2: ((2,8]) की हर संख्या इसी सीमा के अंदर आती है। चरण 3: परीक्षा संकेत: उपसमुच्चय अंतराल चुनते समय दोनों सिरों को मूल सीमा के अंदर रखें।
Every element of the option must be present in (A).
Step 2
Why this answer is correct
({3,5}) contains (5), but (5) is not in (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: one outside element is enough to reject a subset option. चरण 1: उपसमुच्चय में विकल्प के सभी अवयव (A) में होने चाहिए। चरण 2: ({3,5}) में (5) है, पर (5), (A) में नहीं है। चरण 3: परीक्षा संकेत: बाहर का केवल एक अवयव भी पूरे विकल्प को गलत कर देता है।
For a subset, every element of the option must be in the given set.
Step 2
Why this answer is correct
Both (5) and (9) are elements of (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: if even one new element appears, the option is not a subset. चरण 1: उपसमुच्चय में दिए गए समुच्चय का हर अवयव मूल समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ({5,9}) के दोनों अवयव (A) में हैं। चरण 3: परीक्षा संकेत: विकल्प में एक भी नया अवयव हो तो वह उपसमुच्चय नहीं रहेगा।
A proper subset has all its elements in the given set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
Both (2) and (4) are in (A), and ({2,4}) is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: the whole set is a subset, but not a proper subset of itself. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय में होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({2,4}) के दोनों अवयव (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। चरण 3: परीक्षा संकेत: बराबर समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें।
Both are present in (A), so it is a subset of (A).
Step 3
Exam Tip
Locate every chosen element in the original set. चरण 1: ({3,7}) के सदस्य (3) और (7) हैं। चरण 2: ये दोनों (A) में मौजूद हैं, इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय है। चरण 3: उपसमुच्चय में लिए गए हर सदस्य को मूल समुच्चय में ढूँढें।
A two-element subset must have exactly two elements.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements of ({2,4}) are in (A), and there are exactly two.
Step 3
Exam Tip
Check both the size condition and the membership condition. चरण 1: दो-सदस्यीय उपसमुच्चय में ठीक दो सदस्य होने चाहिए। चरण 2: ({2,4}) के दोनों सदस्य (A) में हैं और कुल दो हैं। चरण 3: संख्या की शर्त और सदस्यता की शर्त दोनों साथ जाँचें।
B. क्योंकि (2) और (5) दोनों (A) में हैं/because both (2) and (5) are in (A)
Step 1
Concept
A subset is decided by membership.
Step 2
Why this answer is correct
Both (2) and (5) are in (A), so \({2,5}\subseteq A\).
Step 3
Exam Tip
Do not rely only on the number of elements; check each element. चरण 1: उपसमुच्चय का आधार सदस्यों की उपस्थिति है। चरण 2: (2) और (5), दोनों (A) में हैं, इसलिए \({2,5}\subseteq A\)। चरण 3: सदस्यों की संख्या नहीं, बल्कि हर सदस्य की उपस्थिति जाँचें।
If an outside element like (4) appears, the set is not a subset. चरण 1: (A) में केवल (1,2,3) हैं। चरण 2: ({2,3}) के सभी सदस्य (A) में हैं। चरण 3: यदि कोई बाहरी सदस्य जैसे (4) आ जाए तो वह उपसमुच्चय नहीं रहेगा।
To be a subset, the whole interval must lie inside ([2,5]).
Step 2
Why this answer is correct
Every number in ([3,4]) lies between (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
When comparing intervals, check both endpoints. चरण 1: उपसमुच्चय होने के लिए चुना गया पूरा अंतराल ([2,5]) के अंदर होना चाहिए। चरण 2: ([3,4]) की हर संख्या (2) और (5) के बीच है। चरण 3: अंतरालों की तुलना करते समय दोनों सीमाएँ जाँचें।
A proper subset has all elements from the original set but is not equal to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({2,4}) is contained in (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
Do not treat an equal set as a proper subset. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी सदस्य मूल समुच्चय से होते हैं और वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({2,4}) के सभी सदस्य (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। चरण 3: समान समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें।
A subset can contain only elements from the original set.
Step 2
Why this answer is correct
Since (c) is not in (A), ({a,c}) is not a subset.
Step 3
Exam Tip
Match every element of each option with the original set. चरण 1: उपसमुच्चय में केवल मूल समुच्चय के सदस्य आ सकते हैं। चरण 2: (c), (A) में नहीं है, इसलिए ({a,c}) उपसमुच्चय नहीं है। चरण 3: हर विकल्प के हर सदस्य को मूल समुच्चय से मिलाएँ।
Every element of a subset must be in the original set.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements of ({3,7}) are in (J).
Step 3
Exam Tip
If an option has an outside element, do not treat it as a subset. चरण 1: उपसमुच्चय के सभी अवयव मूल समुच्चय में होने चाहिए। चरण 2: ({3,7}) के दोनों अवयव (J) में हैं। चरण 3: विकल्प में बाहर का अवयव मिलते ही उसे उपसमुच्चय न मानें।
Every element of a subset must belong to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
Both elements of ({2,4}) are in (I).
Step 3
Exam Tip
If even one element is outside, it is not a subset. चरण 1: उपसमुच्चय के हर अवयव को मूल समुच्चय में होना चाहिए। चरण 2: ({2,4}) के दोनों अवयव (I) में हैं। चरण 3: यदि एक भी अवयव बाहर हो, तो वह उपसमुच्चय नहीं होगा।
In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। चरण 2: लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। चरण 3: या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है।
A. पहचान सम्बन्ध और स्वतुल्य सम्बन्ध/Identity relation and reflexive relation
Step 1
Concept
(R) contains the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
It contains only those self-pairs, so it is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is always reflexive. चरण 1: (R) में हर सदस्य का अपने-आप वाला युग्म है। चरण 2: इसमें केवल वही अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए यह पहचान सम्बन्ध है। चरण 3: पहचान सम्बन्ध हमेशा स्वतुल्य होता है।
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\)/For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\)
Step 1
Concept
A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\) / For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\). A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
Step 3
Exam Tip
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें प्रत्येक इनपुट की ठीक एक छवि होती है। सहप्रांत के हर अवयव का उपयोग होना जरूरी नहीं है।
A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय/A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\)
Step 1
Concept
A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर \(a \in A\) के लिए ठीक एक ((a,b)) वाला उपसमुच्चय / A subset with exactly one ((a,b)) for every \(a \in A\). A function is a special relation where each domain element has exactly one image. This is the key point in definition-based questions.
Step 3
Exam Tip
फलन संबंध का विशेष रूप है जिसमें हर प्रांत अवयव की ठीक एक छवि होती है। यह परिभाषा आधारित प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु है।
A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\times B\). A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
Step 3
Exam Tip
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है।
A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams, identify the Cartesian product first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(A\times B\). A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams, identify the Cartesian product first.
Step 3
Exam Tip
संबंध (A) से (B) तक हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें।
If (A) is a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\ne\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A^c\ne\varnothing\). If (A) is a proper subset, at least one element of (U) is outside (A). Therefore \(A^c\ne\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक उपसमुच्चय होने पर (U) में कम से कम एक तत्व (A) से बाहर होगा। इसलिए \(A^c\ne\varnothing\) है।
A member disjoint from the fixed (4)-element subset can be formed only from the remaining (6) elements. Therefore the number is \(2^6=64\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (64). A member disjoint from the fixed (4)-element subset can be formed only from the remaining (6) elements. Therefore the number is \(2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
Fixed (4)-element subset से disjoint member केवल शेष (6) तत्वों से बनेगा। इसलिए संख्या \(2^6=64\) है।
