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समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A), (B) का उचित उपसमुच्चय है। / Every element of (A) is in (B), and (B) has one extra element. So (A) is a proper subset of (B).
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
बराबर समुच्चयों में वही अवयव होने चाहिए, इसलिए 3 और 5 दोनों ओर होने चाहिए। ऐसे प्रश्नों में क्रम से भ्रमित न हों। / Equal sets must contain exactly the same elements, so 3 and 5 must appear on both sides. Do not be confused by order.
बराबर समुच्चय के लिए दोनों अवयव 4 और 6 ही होने चाहिए। (m=4) रखने पर ({m,m+2}={4,6}) मिलता है। / For equal sets, the two elements must be exactly 4 and 6. Substituting (m=4) gives ({m,m+2}={4,6}).
समुच्चय \(A\) में वे सभी पूर्णांक शामिल हैं जो \(x^2=4\) को संतुष्ट करते हैं। इस समीकरण के पूर्णांक हल \(x=2\) और \(x=-2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। यह समुच्चय \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं; इसलिए \(B\) और \(A\) एक-दूसरे के उपसमुच्चय हैं, न कि एक-दूसरे के उचित उपसमुच्चय। परीक्षा-टिप: \(x^2=a\) हल करते समय दोनों मान \(\pm\sqrt{a}\) अवश्य जाँचें और दिए गए क्षेत्र, यहाँ \(\mathbb{Z}\), का ध्यान रखें। / Set \(A\) contains every integer satisfying \(x^2=4\). The integer solutions are \(x=2\) and \(x=-2\), so \(A=\{-2,2\}\), which is exactly set \(B\). Therefore, \(A=B\). Option C is incorrect because the two sets have identical elements; hence each set is a subset of the other, not a proper subset of the other. Exam tip: when solving \(x^2=a\), consider both values \(\pm\sqrt{a}\) and check the specified domain, here \(\mathbb{Z}\).
A. \({2}\in A\) और \({2}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({2}\in A\) and \({2}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({2}) (A) का अवयव है और 2 भी (A) में है, इसलिए \({2}\subset A\) भी सत्य है। \(\in\) और \(\subset\) का अंतर ध्यान रखें। / ({2}) is an element of (A), and 2 is also in (A), so \({2}\subset A\) is also true. Keep the difference between \(\in\) and \(\subset\) clear.
12 के सभी धनात्मक गुणनखंड यही छह हैं। वर्णनात्मक रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दे रहे हैं। / These six numbers are exactly the positive factors of 12. Set-builder form and roster form give the same set.
सीमित समुच्चयों में यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो और दोनों में समान संख्या में अवयव हों, तो वे बराबर होते हैं। यह बराबरी सिद्ध करने का उपयोगी नियम है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have the same number of elements, they are equal. This is a useful rule for proving equality.
समुच्चय \(A\) के तीन अवयव हैं: \(1\), \(2\) और \(\{3\}\)। यहाँ \(\{3\}\) पूरा एक समुच्चय है, जो \(A\) का एक अवयव है; संख्या \(3\) स्वयं \(A\) में अवयव के रूप में उपस्थित नहीं है। इसलिए \(\{3\}\in A\) सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(3\notin A\)। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\) में \(3\) के स्थान पर \(\{3\}\) है। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(\{3\}\subset A\) होने के लिए \(\{3\}\) के अवयव \(3\) का \(A\) में होना आवश्यक है। परीक्षा-सुझाव: \(x\in A\) का अर्थ है कि \(x\), \(A\) का अवयव है, जबकि \(\{x\}\subset A\) के लिए \(x\in A\) होना आवश्यक है। / The set \(A\) has three elements: \(1\), \(2\), and \(\{3\}\). Here, \(\{3\}\) is itself a set that appears as an element of \(A\); the number \(3\) is not directly an element of \(A\). Therefore, \(\{3\}\in A\) is correct. Option A is false because \(3\notin A\). Option C is false because \(A\) contains \(\{3\}\), not \(3\). Option D is also false: for \(\{3\}\subset A\), its only element, \(3\), would have to belong to \(A\). Exam tip: \(x\in A\) indicates membership, whereas \(\{x\}\subset A\) requires \(x\in A\).
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
किसी n-अवयव वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है। यहाँ n=4 होने पर कुल उपसमुच्चय \\(2^4=16\\) होंगे। पर उचित उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार समुच्चय स्वयं शामिल नहीं होता, इसलिए उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\((2^4)-1=15\\) है। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह समुच्चय स्वयं को भी गिनता है; विकल्प C (8) गलत अनुमान लगता है—यह \\(2^{n-1}\\) का भ्रम हो सकता है; विकल्प D (14) किसी अवयव को और घटाकर मिली ग़लत गणना है। परीक्षा-सूचना: सामान्य नियम याद रखें—किसी n-अवयव वाले समुच्चय के उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। / The total number of subsets of an n-element set is \\(2^n\\). For n=4, total subsets = \\(2^4=16\\). A proper subset excludes the set itself, so the count of proper subsets = \\(2^4-1=15\\). Option B (16) is incorrect because it includes the set itself; option C (8) is a common mistake (confusing with \\(2^{n-1}\\) or half the power set); option D (14) is simply an incorrect subtraction. Exam tip: remember proper subsets = \\(2^n-1\\) for quick answers on any n.
4 तत्त्वों में से 2 तत्त्व चुनने की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए परमुटेशन न लें। विकल्प 4 गलत है — यह संभवतः कुल तत्त्वों से भ्रमित होने का परिणाम है; विकल्प 8 भी गलत है क्योंकि वह किसी मान्य संयोजन/परमुटेशन का परिणाम नहीं है। परीक्षा सुझाव: छोटे सेट के लिए पहले व्यवस्थित रूप से सभी जोड़े लिखकर जाँच करें या सीधे \(\binom{n}{r}\) सूत्र लागू करें। / The number of ways to choose 2 elements from 4 is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\). Order does not matter for subsets, so do not use permutations. Option 4 is incorrect — it likely confuses the answer with the total number of elements; option 8 is also incorrect since it does not follow from a valid combination/permutation here. Exam tip: For small sets list all 2‑element subsets systematically or use the \(\binom{n}{r}\) formula.
1 को निश्चित रखें और शेष 4 अवयवों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / Fix 1, and each of the remaining 4 elements may be chosen or not. So there are \(2^4=16\) subsets.
a और b को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए वे 'फिक्स' हैं। शेष 3 तत्व (c, d, e) में से हर एक के लिए दो विकल्प हैं — शामिल हो या न हो — अतः कुल उपसमुच्चयों की संख्या
\(2^3=8\) है। गलत विकल्पों के बारे में: \(4\) तब होता यदि केवल 2 स्वतंत्र तत्व माने गए हों (भूल), और \(32\) पूरे सेट के सभी उपसमुच्चयों \(2^5\) का मान होगा। परीक्षा टिप: पहले अनिवार्य तत्वों को फिक्स कर लें, फिर बचे हुए \(n-k\) तत्वों के लिए \(2^{n-k}\) से गिनती करें। / Elements a and b are fixed to be included, so we only choose from the remaining 3 elements (c, d, e). Each of these 3 can either be present or absent, giving \(2^3=8\) possible subsets. About the distractors: 4 arises if one mistakenly treats only two elements as free, while 32 equals \(2^5\), the total number of subsets of A. Exam tip: fix required elements first, then count choices for the remaining \(n-k\) elements as \(2^{n-k}\).
ठीक 3 अवयव चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। क्रम बदलने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता। / The number of ways to choose exactly 3 elements is \(\binom{4}{3}=4\). Changing order does not create a new subset.
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ केवल \(2,3,5,7\) हैं। इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\) और यही सेट \(B\) भी है। दो सेट समान तब होते हैं जब उनके तत्व एक-से-एक समान हों। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है \(A\) उपसेट है पर भिन्न है — पर यहाँ दोनों सेट सटीक रूप से समान हैं। विकल्प (D) गलत है क्योंकि इसमें \(1\) शामिल किया गया है जबकि \(1\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: याद रखें कि \(1\) को अभाज्य नहीं माना जाता; समान सेटों की पहचान उनके तत्वों की तुलना से करें। / The primes less than 10 are exactly \(2,3,5,7\). Hence \(A=\{2,3,5,7\}\), which is the same collection as \(B\); so \(A=B\). Two sets are equal only if they have precisely the same elements. Distractor (B) is wrong because it asserts \(A\) is a proper subset of \(B\), but here neither set misses any element of the other. Distractor (D) is wrong because it wrongly includes \(1\), and \(1\) is not a prime. Exam tip: Always check whether 1 is (incorrectly) listed — 1 is not prime. Also compare elements directly to test set equality versus proper subset.
x-2 = x को x(x−1) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, अतः समाधान x = 0 या x = 1 हैं। इसलिए B = {0,1} और यह A के समान है। विकल्प B गलत है क्योंकि A अपने दोनों तत्त्व B में मौजूद होने के कारण A ⊂ B परंतु A ≠ B नहीं हो सकता। विकल्प C गलत है क्योंकि B में 0 भी आता है, केवल 1 नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि A और B एक ही समुच्चय हैं, अतः उनका अन्तराल खाली नहीं बल्कि A स्वयं है। परीक्षा-टिप: समुच्चय को परिभाषित करने वाला समीकरण हल करके सभी संभावित हल लिखें और सीधे A से तुलना करें। / Solving x-2 = x gives x(x−1) = 0, so x = 0 or x = 1. Thus B = {0,1}, which equals A. Option B is incorrect because both elements of A are in B, so A is not a proper subset of B. Option C is wrong since B contains 0 as well as 1. Option D is false because A and B coincide, so their intersection is A (not empty). Exam tip: Solve the defining equation to list all elements of B and then compare element-wise with A.
(A) का हर अवयव (B) में है, इसलिए साझा अवयव पूरे (A) ही हैं। यह उपसमुच्चय का महत्वपूर्ण परिणाम है। / Every element of (A) is in (B), so the common elements are exactly (A). This is an important result of subset relation.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। इसलिए एकल अवयव भी ({1}) और ({2}) रूप में होंगे। / In a power set, all subsets are written as elements. Thus single elements appear as ({1}) and ({2}).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / The empty set is a subset of every set, and (B) is not empty. Hence (A) is a proper subset.
(A) स्वयं (A) का उपसमुच्चय है, लेकिन अपना उचित उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए \(A\subset B\) भी असत्य है। / (A) is a subset of itself, but it is not a proper subset of itself. Also \(A\subset B\) is false here.
8 से छोटी धनात्मक विषम संख्याएं 1, 3, 5 और 7 हैं। सूची और नियम दोनों समान समुच्चय देते हैं। / The positive odd numbers less than 8 are 1, 3, 5 and 7. The list and rule give the same set.
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
A. \({1,2}\subset A\) और \({1,2}\in A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1,2}\subset A\) and \({1,2}\in A\) are true
Explanation
Simple Explanation
(1) और (2) (A) में हैं, इसलिए \({1,2}\subset A\), और ({1,2}) भी एक अवयव है। यह मिश्रित notation का अच्छा उदाहरण है। / Since (1) and (2) are in (A), \({1,2}\subset A\), and ({1,2}) is also an element. This is a good mixed notation example.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
दोनों सेट-बिल्डर व्यंजनों को रोस्टर रूप में लिखें: \(x\le 4\) और \(x<5\) प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक ही तत्वों का समूह देते हैं। मानक परिभाषा \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) लेकर, दोनों सेट \(\{1,2,3,4\}\) हैं, इसलिए \(A=B\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(A\subset B\) गलत है क्योंकि यहाँ समुच्चय समतुल्य हैं — यह एक समानता है, न कि समुच्चय का सख्त भाग। परीक्षा टिप: समुच्चय-निर्देशों को शीघ्रता से सदस्य-रूप में बदलकर किसी भी असमानता का तुलनात्मक अर्थ जाँचे। / Write both set-builder descriptions in roster form. For natural numbers, the conditions \(x\le 4\) and \(x<5\) pick out the same elements. Under the usual convention \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), both sets are \(\{1,2,3,4\}\), so \(A=B\). The closest distractor, \(A\subset B\) but \(A\ne B\), is wrong because the sets are equal rather than one being a proper subset of the other. Exam tip: convert set-builder notation to roster notation to compare sets quickly; note that for integers \(x\le 4\) is equivalent to \(x<5\).
