Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वास्तविक संख्याओं में \(x^2>0\) ठीक तब होता है जब \(x\ne0\)। इसलिए (A=B) और सममित अंतर \(\varnothing\) है। / For real numbers, \(x^2>0\) exactly when \(x\ne0\). Thus (A=B), and the symmetric difference is \(\varnothing\).
दोनों शर्तों से वही समुच्चय ({-1,1}) मिलता है। समान समुच्चयों का अंतर खाली समुच्चय होता है। / Both conditions give the same set ({-1,1}). The difference of equal sets is the empty set.
दोनों अंतरों के रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चयों में कोई अतिरिक्त अवयव नहीं है। इसलिए (A=B) होगा। / Both differences being empty means neither set has any extra element. Therefore (A=B).
इंटरसेक्शन \(A\cap B\) उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों में सामान्य हों। यहाँ A और B के तत्व समान रूप से 1, 2, 3 हैं, इसलिए सभी तीन तत्व दोनों में मौजूद हैं। अतः \(A\cap B=\{1,2,3\}\). विकल्प C (\(\{3\}\)) निकटतम गलत उत्तर है क्योंकि वह केवल एक सामान्य तत्व दिखाता है जबकि वास्तव में तीनों तत्व सामान्य हैं। परीक्षा युक्ति: दो समतुल्य (equal) समुच्चयों के लिए उनकी इंटरसेक्शन और यूनियन दोनों ही उसी समुच्चय के बराबर होते हैं — पहले समुच्चयों के तत्व जांच कर लें। / The intersection \(A\cap B\) is the set of elements common to both sets. Here A and B contain exactly the same elements 1, 2 and 3, so every element is common; therefore \(A\cap B=\{1,2,3\}\). The closest distractor is \(\{3\}\) because it lists only one common element, but in fact all three are common. Exam tip: if two sets are equal, their intersection (and their union) equals the set itself — verify equality by comparing elements first.
समुच्चय में तत्वों का क्रम या दोहराव मायने नहीं रखता। दोनों समुच्चयों A और B में वही तीन तत्व हैं: 1, 2 और 3। इन दोनों का युनियन उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो किसी भी समुच्चय में आते हैं, अतः \(A\cup B=\{1,2,3\}\)। निकटतम विचलन विकल्प B (\(\{1,2,3,4\}\)) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें तत्व 4 होना चाहिए था, जो न तो A में है और न ही B में। परीक्षा सुझाव: यूनियन लेते समय केवल उन तत्वों को शामिल करें जो कम-से-कम एक समुच्चय में मौजूद हों; किसी अतिरिक्त तत्व को जोड़ने से बचें। / Order and repetition do not matter in sets. A and B contain exactly the elements 1, 2 and 3, so the union includes all elements that appear in either set: \(A\cup B=\{1,2,3\}\). The closest distractor is option B (\(\{1,2,3,4\}\)), which is wrong because 4 is not present in A or B. Exam tip: when forming a union, list each distinct element that appears in at least one set and do not add external elements.
परिभाषा के अनुसार \(A- B=\{x\mid x\in A\;\text{और}\;x\notin B\\}=A\cap B^{c}\). यदि \(A=B\), तो \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\)। इसलिए A − B शून्य संच (\(\varnothing\)) के बराबर होगा। सबसे निकट भ्रामक विकल्प A गलत है क्योंकि केवल तभी A−B=A होगा जब B शून्य संच हो; विकल्प B गलत है क्योंकि A−B सदैव A का उपसमुच्चय होता है न कि B; विकल्प D (U) गलत है क्योंकि अंतर व्यापक संच U तभी बन सकता है जब A=U और B=\(\varnothing\)। परीक्षा-टिप: अंतर के लिए पहचान लागू करें — \(A-B=A\cap B^{c}\)। / By definition \(A-B=\{x\mid x\in A\;\text{and}\;x\notin B\}=A\cap B^{c}\). If \(A=B\), then \(A\cap B^{c}=A\cap A^{c}=\varnothing\). Hence A−B equals the empty set \(\varnothing\). Closest distractor A is incorrect because A−B would equal A only if B were empty; B is incorrect because A−B is a subset of A, not generally equal to B; D (U) is wrong unless A=U and B=\(\varnothing\). Exam tip: Use the identity \(A-B=A\cap B^{c}\) or test with element membership to decide set differences quickly.
यदि \(A = B\), तो दोनों समुच्चय समान हैं। संघ का गुण (idempotent law) कहता है कि \(A \cup A = A\)। इसलिए \(A \cup B = A\) होगा। विकल्प (C) \(A'\) और (D) \(U\setminus A\) दोनों A का पूर्णपूरक दर्शाते हैं और केवल तभी बराबर होते यदि विशेष परिस्थितियाँ (जैसे \(A=\varnothing\) या \(A=U\)) हों — सामान्यतः वे गलत हैं। विकल्प (B) खाली समुच्चय है, जो तब ही सही होगा जब \(A\) खाली हो, पर सामान्य मान के लिए यह गलत है. परीक्षा-सूत्र: समान समुच्चयों का संघ वही समुच्चय ही होता है (याद रखें: \(A\cup A=A\)). / If \(A = B\), the two sets are identical. The idempotent law of union gives \(A \cup A = A\), so \(A \cup B = A\). Option C (\(A'\)) and D (\(U\setminus A\)) denote the complement of A and are not equal to A in general (only in special cases). Option B (\(\varnothing\)) would be true only if \(A\) itself were empty. Exam tip: use set identities on Venn diagrams — identical sets union to themselves, i.e. \(A\cup A=A\).
यदि \(A = B\), तो दोनों सेट एक ही हैं। इसलिए \(A \cap B = A \cap A = A\)। विकल्प \(\varnothing\) तभी सही होगा जब सेट दोनों आपस में असंगत (disjoint) हों — यहाँ ऐसा नहीं है। \(U\) केवल तब सही होगा जब \(A = U\) अर्थात सेट यूनिवर्सल सेट के बराबर हो, जो सामान्यतः सत्य नहीं माना जा सकता। \(A'\) सेट \(A\) का पूरक है और \(A\) के बराबर नहीं होता। परीक्षा-टिप्स: पहचानें कि समान सेटों का परस्पर छेदन वही सेट देता है: \(X\cap X = X\)। / If \(A = B\), the two sets are identical, so \(A \cap B = A \cap A = A\). The choice \(\varnothing\) would be true only if the sets were disjoint, which is not the case here. \(U\) (the universal set) would be the intersection only if \(A = U\), which is not generally assumed. \(A'\) is the complement of \(A\) and is not equal to \(A\). Exam tip: remember the identity law \(X\cap X = X\) and \(X\cup X = X\) for quick answers.
यदि दो समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय समान हैं, तो मूल समुच्चय भी समान होंगे। यह घात समुच्चय की एक महत्वपूर्ण परीक्षा-युक्ति है। / If two sets have exactly the same subsets, the original sets must be equal. This is an important power set result for exams.
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। सूची रूप में बदलकर सदस्य मिलाना सबसे अच्छा तरीका है। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18). Converting to roster form is the best way to compare elements.
D. कथन और कारण दोनों गलत हैं/Both assertion and reason are false
Explanation
Simple Explanation
सदस्य संख्या समान होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal cardinality does not force identical elements. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
बराबर समुच्चय होने पर (A) का हर सदस्य (B) में होता है। इसलिए उपसमुच्चय संबंध तुरंत मिलता है। / When sets are equal, every element of (A) is in (B). So the subset relation follows directly.
\(B\) में दिए नियम में \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(B=\{2,4,6,8\}\) प्राप्त होता है। यह ठीक वही सदस्य हैं जो \(A\) में हैं, अतः \(A=B\)। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे 'उचित उपसमुच्चय' बताते हैं जबकि दोनों सेट समान हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि प्रतिच्छेद खाली नहीं है (उदा.: 2)। परीक्षा-सुझाव: सेट-बिल्डर को पहले सूची रूप में बदलें और सदस्य-तुलना करें। / Putting \(n=1,2,3,4\) gives \(B=\{2,4,6,8\}\), which is exactly the set \(A\). Hence \(A=B\). Options B and C are incorrect because they claim a proper subset relation while the sets are equal; option D is incorrect because the intersection is not empty (e.g. 2). Exam tip: Convert set-builder notation to roster form and compare elements to decide equality or subset relations quickly.
सीमित सेट में उपसमुच्चय और बराबर सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए सेट बराबर हैं। / For finite sets, a subset with equal cardinality leaves no extra element. Therefore the sets are equal.
समाधान के लिये \(x^2=16\) को पूराांकों पर हल करें। इससे \(x=4\) और \(x=-4\) मिलते हैं, अतः \(A=\{-4,4\}\)। चूँकि \(B\) भी \(\{-4,4\}\) है, इसलिए \(A=B\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह \(-4\) को छोड़ देता है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(B\) किसी उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं बल्कि बराबर है; विकल्प (D) गलत है क्योंकि शून्य समाधान नहीं हैं। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरणों में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों जड़ें जांचें, खासकर जब_DOMAIN\(\mathbb{Z}\) हो। / Solve \(x^2=16\) over the integers: the solutions are \(x=4\) and \(x=-4\), so \(A=\{-4,4\}\). Since \(B\) is exactly \(\{-4,4\}\), we have \(A=B\). Option (B) misses the solution \(-4\); option (C) is false because \(B\) is not a proper subset but equal to \(A\); option (D) is false because there are nonzero solutions. Exam tip: for even powers check both ± roots and note the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)).
(20) से छोटे धनात्मक गुणज (4,8,12,16) हैं। सीमा और धनात्मक शर्त दोनों जांचें। / The positive multiples less than (20) are (4,8,12,16). Check both the boundary and positivity condition.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। \(B - A = \emptyset\) का अर्थ है \(B\) में ऐसा कोई तत्व नहीं है जो \(A\) में न हो — यानी हर \(B\) का तत्व \(A\) में भी है। इसलिए दोनों दिशाओं में समावेशन सत्य हैं और \(A = B\)। विकल्प B (\(A \subsetneq B\)) गलत है क्योंकि उसके लिए \(B\) में कम-से-कम एक तत्व होना चाहिए जो \(A\) में न हो, पर दिया गया है कि ऐसा कोई तत्व नहीं है। परीक्षात्मक टिप: सेट-बराबरी जाँचने के लिए दोनों समावेशन \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\) को प्रमाणित/निराडित करें या सेट-भेद \(B-A\) की शून्यता देखें। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) is in \(B\). \(B - A = \emptyset\) means there is no element of \(B\) that is not in \(A\), i.e. every element of \(B\) is in \(A\). Thus \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) both hold, so \(A = B\). Option B (\(A \subsetneq B\)) is wrong because it requires at least one element in \(B\) outside \(A\), which contradicts \(B - A = \emptyset\). Exam tip: use element-wise definitions or check set-difference zero to decide equality quickly.
प्रतिच्छेद में केवल वे सदस्य आते हैं जो दोनों में हों। यहाँ साझा सदस्य (2) और (3) हैं। / Intersection contains only elements common to both sets. Here the common elements are (2) and (3).
दोनों समुच्चयों में (2) पहले से समान है, इसलिए दूसरा सदस्य (5) होना चाहिए। समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। / Both sets already share (2), so the other element must be (5). Order does not matter in sets.
दो एक-सदस्यीय समुच्चय बराबर होने पर उनके अकेले तत्व बराबर होंगे। इसलिए \(\{a+2\} = \{9\}\) से \(a+2=9\) मिलता है और इससे \(a=7\) आता है। निकटतम भ्रामक विकल्पों में 11 उस गलती से आ सकता है जिसमें 2 जोड़ दिया गया हो (9+2=11), और 5 या 6 साधारण अंकगणितीय गलतियों के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: एक-सदस्यीय समुच्चय बराबरी में सीधे तत्वों को बराबर मानें और फिर सरल समीकरण हल करें। / If two singleton sets are equal, their sole elements are equal. From \(\{a+2\} = \{9\}\) we get \(a+2=9\), hence \(a=7\). Common wrong answers: 11 comes from adding 2 to 9 instead of subtracting; 5 or 6 arise from arithmetic mistakes. Exam tip: For singleton sets equate the elements directly and solve the resulting simple equation.
समीकरण के मूल (3) और (4) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के सदस्य समान हैं। पहले हल निकालकर फिर समुच्चय मिलाएं। / The roots are (3) and (4), so both sets have the same elements. First solve, then compare the sets.
समुच्चयों की समानता का अर्थ है कि दोनों में एक ही सदस्य होंगे। {a,4} = {2,b} होने पर सदस्यों का सेट
{2,4} होना चाहिए। दिया गया है कि a \ne 4, अतः a = 2 होना अनिवार्य है; फिर b को 4 होना चाहिए ताकि दाएँ ओर भी सदस्य 2 और 4 ही हों। विकल्प B (a = 4, b = 2) गलत है क्योंकि वह a = 4 मानता है जो शर्त के विपरीत है। परीक्षा टिप: सेट में क्रम का कोई महत्व नहीं, इसलिए केवल सदस्यताएँ मिलानी होती हैं। / Equality of sets means they contain the same elements. From {a,4} = {2,b} the element set must be {2,4}. Given a \ne 4, a cannot be 4 and therefore must be 2; consequently b = 4 so the two sets match. Option B (a = 4, b = 2) is invalid because it contradicts a \ne 4. Exam tip: remember order doesn't matter in sets—match elements, not positions.
दो एक-सदस्यीय समुच्चय तब और केवल तब बराबर होते हैं जब उनके तत्व समान हों। अतः \\(\{2a+1\}=\{7\}\) होने पर \\(2a+1=7\\)। इसे हल करने पर \\(2a=6\\) और इसलिए \\(a=3\\)। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि \\(2\) रखने पर \\(2a+1=5\\) मिलता है, विकल्प C (4) रखने पर \\(2a+1=9\\) मिलता है। परीक्षा टिप: समुच्चयों की समानता में समुच्चयों के भीतर के तत्वों की बराबरी करना याद रखें — एक-सदस्यीय समुच्चयों के लिए यह सीधे समतुल्य समीकरण देता है। / Two singleton sets are equal iff their single elements are equal. Therefore from \\(
\{2a+1\}=\{7\}\\) we get the equation \\(2a+1=7\\). Solving gives \\(2a=6\\) and \\(a=3\\). Option A (2) is incorrect because it yields \\(2a+1=5\\); option C (4) is incorrect because it yields \\(2a+1=9\\). Exam tip: For equality of singleton sets, equate the lone elements to form a simple equation.
(18) के अभाज्य भाजक केवल (2) और (3) हैं। भाजक और अभाज्य भाजक में अंतर ध्यान रखें। / The prime divisors of (18) are only (2) and (3). Note the difference between divisors and prime divisors.
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
किसी समुच्चय का पूरा समुच्चय स्वयं उसके घात समुच्चय में आता है। बराबर घात समुच्चय मूल समुच्चय भी बराबर बनाते हैं। / A set itself appears in its power set. Equal power sets force the original sets to be equal.
यदि \(A=B\) है, तो कोई भी उपसमुच्चय \(X\) के लिए \(X\subset A\) तब और तभी होगा जब \(X\subset B\) होगा। इसलिए \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) और इस कारण \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि सख्त उपसमुच्चय तब ही होगा जब एक पक्ष में अतिरिक्त उपसमुच्चय मौजूद हों — बराबरी में ऐसा नहीं होता। विकल्प D केवल उस विशेष स्थिति में सही है जब \(A=B=\varnothing\); सामान्य रूप से गलत है। परीक्षा टिप: दो-तरफ़ा समावेशन दिखाएँ या तत्व-स्तर पर \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) लिखकर साबित करें। / If \(A=B\), every subset \(X\) satisfies \(X\subset A\) iff \(X\subset B\). Hence \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\), so \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Option B is wrong because a proper subset relation would require extra subsets in one power set; equality prevents that. Option D holds only in the special case \(A=B=\varnothing\), not in general. Exam tip: prove power-set equality by showing two-way inclusion or by the element-wise argument \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\).
सदस्यों की संख्या बराबर होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal number of elements does not mean the elements are the same. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय की सदस्य संख्या बराबर हो तो कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए समुच्चय बराबर हैं। / For finite sets, if a subset has the same number of elements, no extra element remains. Therefore the sets are equal.
हर सदस्य की जाँच करें: \(1,2,3\) में से प्रत्येक संख्या 3 से कम या बराबर है, अतः वे सभी सदस्य \(B\) में भी समाविष्ट होंगे। इसलिए \(B\) के सदस्य ठीक वही हैं जो \(A\) के हैं, यानी \(A=B\)। निकटतम विक्षेप — \(B\subsetneq A\) या \(A\subset B\) — गलत हैं क्योंकि दोनों में 'proper subset' का अर्थ है कि एक समुच्चय में कम सदस्य हों; यहाँ दोनों के सदस्य समान संख्या में हैं। \(B=\emptyset\) गलत है क्योंकि \(B\) में सदस्य मौजूद हैं। परीक्षात्मक सुझाव: शाब्दिक शर्त ("3 से छोटे या बराबर") को प्रत्येक तत्व पर लागू करके तुरंत सत्यापन कर लें। / Check elements: each element of \(A\), namely 1, 2 and 3, is ≤3, so all elements of \(A\) belong to \(B\). Thus \(B\) contains exactly the same elements as \(A\), i.e. \(A=B\). Closest distractors like \(B\subsetneq A\) or \(A\subset B\) are wrong because they assert a proper subset relation (strict inequality of membership), but here the two sets have identical members. \(B=\emptyset\) is false since \(B\) is not empty. Exam tip: verify set relations by testing each element rather than relying on intuition about wording.
