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\({\emptyset,1}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। लेकिन यह (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / The set \({\emptyset,1}\) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). But it is not listed as an element of (A).
(12) के (5) से छोटे धनात्मक भाजक (1,2,3,4) हैं। सदस्य समान हों तो सेट बराबर होते हैं। / The positive divisors of (12) less than (5) are (1,2,3,4). Sets are equal when all members match.
(6) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5) हैं। परिभाषा को सूची में बदलना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / The odd natural numbers less than (6) are (1,3,5). Converting set-builder form to roster form is safest in exams.
किसी n-सदस्यों वाले समुच्चय के प्रत्येक सदस्य के लिए दो विकल्प होते हैं — वह उपसमुच्चय में होगा या नहीं होगा। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या
\(2^n\) होती है। यहाँ \(n=3\) है, अतः \(2^3=8\)। इसे सीधे गिनने पर भी 8 मिलते हैं: खाली समुच्चय (1), एक-सदस्य वाले उपसमुच्चय (3), दो-सदस्य वाले उपसमुच्चय (3), और पूर्ण समुच्चय (1)। आम गलती 7 लेना है — यह तब होता है जब पूर्ण समुच्चय या खाली समुच्चय को छूट दिया जाए। परीक्षा टिप: हमेशा सूत्र \(2^n\) याद रखें या सदस्यों के प्रकार (0,1,2,3) की गिनती करके जाँच लें। / For a set with n elements each element has two choices — either included or excluded — so the number of subsets is \(2^n\). Here \(n=3\), hence \(2^3=8\). Counting explicitly also yields 8: the empty set (1), three singletons (3), three two-element subsets (3), and the whole set (1). A common wrong answer is 7, which results from accidentally omitting either the empty set or the whole set. Exam tip: use the formula \(2^n\) or verify by counting subsets by size (0,1,2,3).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और पूरा सेट हटाने पर (15) उचित उपसमुच्चय बचते हैं। अंतिम उत्तर में पूरा सेट घटाना न भूलें। / Total subsets are \(2^4=16\), and removing the whole set leaves (15) proper subsets. Do not forget to subtract the set itself.
A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसमें कोई सदस्य नहीं होता, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं मिल सकता। / The empty set is a subset of every set. It has no element, so no counterexample exists.
(X) में (A) के सदस्य निश्चित हैं और (4,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) समुच्चय बनेंगे। / The elements of (A) are fixed in (X), while (4,5) are optional. Hence \(2^2=4\) sets are possible.
A के सभी सदस्य 1, 2 और 3 हैं और प्रत्येक सदस्य 3 के बराबर या उससे छोटा है। इसलिए B में A के वही सदस्य आएँगे, अतः B का सदस्यत्व A के सदस्यों के समान है और इसलिए A = B है। विकल्प B \(B = \emptyset\) गलत है क्योंकि B में कम से कम 1, 2, 3 जैसे तत्व हैं; विकल्प C और D (proper subset के दावे) गलत हैं क्योंकि कोई समुच्चय A के बराबर होते हुए उससे अलग नहीं हो सकता — यहाँ B और A की सामग्री समान है। परीक्षा युक्ति: समुच्चयों की शर्तों में दिए गए प्रत्येक तत्व को जाँचें; यदि हर तत्व शर्त पूरा करता है और कोई नया तत्व नहीं जुड़ता, तो समुच्चय बराबर होंगे। / All elements of A are 1, 2 and 3, and each of these satisfies “≤ 3”. Hence B contains exactly the same elements as A, so A = B. Option B \(B = \emptyset\) is false because B clearly contains elements 1, 2, 3; options C and D claiming a proper subset are false because B is not strictly smaller or larger than A — their elements coincide. Exam tip: test the defining condition on every element of A; if every element satisfies it and no new elements are added, the two sets are equal.
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय की सदस्य संख्या बराबर हो तो कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए समुच्चय बराबर हैं। / For finite sets, if a subset has the same number of elements, no extra element remains. Therefore the sets are equal.
सदस्यों की संख्या बराबर होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal number of elements does not mean the elements are the same. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय सदस्य बनते हैं। रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों शामिल करें। / The power set contains all subsets as elements. Include both the empty set and the whole set.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय होते हैं। \({1,3}\subseteq A\) है, इसलिए यह सदस्य है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). Since \({1,3}\subseteq A\), it is an element.
किसी समुच्चय का पूरा समुच्चय स्वयं उसके घात समुच्चय में आता है। बराबर घात समुच्चय मूल समुच्चय भी बराबर बनाते हैं। / A set itself appears in its power set. Equal power sets force the original sets to be equal.
(A) का हर सदस्य (B) में है, इसलिए साझा भाग (A) ही है। चित्र बनाकर यह पहचान जल्दी होती है। / Every element of (A) is in (B), so the common part is (A). A quick Venn diagram helps identify this.
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
(18) के अभाज्य भाजक केवल (2) और (3) हैं। भाजक और अभाज्य भाजक में अंतर ध्यान रखें। / The prime divisors of (18) are only (2) and (3). Note the difference between divisors and prime divisors.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^8-1=255\) होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. Its proper subsets are \(2^8-1=255\).
हर सदस्य के लिए तीन स्थितियां हैं: दोनों में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) है। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Thus the total is \(3^3=27\).
बराबर समुच्चयों में (2) और (4) दोनों सदस्य होने चाहिए। \(a\ne4\) से (a=2) और फिर (b=4) होगा। / Equal sets must contain both (2) and (4). Since \(a\ne4\), (a=2) and then (b=4).
(k) भी बड़े समुच्चय का सदस्य होना चाहिए। (k=1) होने पर समुच्चय ({1}) बनता है, जो उपसमुच्चय है। / The value (k) must be an element of the larger set. If (k=1), the set becomes ({1}), which is still a subset.
(0) निश्चित है और दूसरा सदस्य (1,2,3) में से चुना जाएगा। इसलिए (3) उपसमुच्चय बनते हैं। / Element (0) is fixed, and the second element is chosen from (1,2,3). So there are (3) subsets.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
(2) समुच्चय (A) का सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय में हर सदस्य मूल समुच्चय में होना चाहिए। / The element (2) is not in (A). Every element of a subset must belong to the original set.
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है। उपसमुच्चय संबंध पूरक लेने पर उलट जाता है। / The complement of the larger set is smaller. The subset relation reverses under complements.
कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
