Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The positive primes less than four are only (2) and (3) so the sets are equal. In exams convert descriptive form into roster form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (A=B). The positive primes less than four are only (2) and (3) so the sets are equal. In exams convert descriptive form into roster form.
Step 3
Exam Tip
चार से कम धनात्मक अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में गुण बताने वाली भाषा को रोस्टर रूप में बदलें।
Here ({3}) is one element while (3) is a different element so the sets are not equal. In exams distinguish an element from a subset.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(A\ne B\). Here ({3}) is one element while (3) is a different element so the sets are not equal. In exams distinguish an element from a subset.
Step 3
Exam Tip
यहां ({3}) एक तत्व है जबकि (3) अलग तत्व है इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें।
The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
Step 3
Exam Tip
({}) वही रिक्त समुच्चय है इसलिए (A) और (B) दोनों में एक ही तत्व है। परीक्षा में \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग पहचानें।
The roots of the equation are (2) and (3) so both sets have the same elements. In exams solve the equation first and then compare the sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). The roots of the equation are (2) and (3) so both sets have the same elements. In exams solve the equation first and then compare the sets.
Step 3
Exam Tip
समीकरण के मूल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं। परीक्षा में पहले समीकरण हल करें फिर तुलना करें।
Whole numbers start from (0) so for (x<3) we get \(B=\{0,1,2\}\). In exams remember the difference between (W) and (N).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). Whole numbers start from (0) so for (x<3) we get \(B=\{0,1,2\}\). In exams remember the difference between (W) and (N).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण संख्याएं (0) से शुरू होती हैं इसलिए (x<3) पर \(B=\{0,1,2\}\) है। परीक्षा में (W) और (N) का अंतर याद रखें।
The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({2,4}). The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
Step 3
Exam Tip
({2,4}) में (4) है जो (A) का तत्व नहीं है इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में हर तत्व की सदस्यता जांचें।
Total subsets are \(2^n=32\) so proper subsets are (32-1=31). In exams do not count the original set as a proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (31). Total subsets are \(2^n=32\) so proper subsets are (32-1=31). In exams do not count the original set as a proper subset.
Step 3
Exam Tip
कुल उपसमुच्चय \(2^n=32\) हैं इसलिए उचित उपसमुच्चय (32-1=31) होंगे। परीक्षा में मूल समुच्चय को उचित उपसमुच्चय में न गिनें।
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Step 1
Concept
Both elements of (A) are in (B) but (B) has the extra element \(\emptyset\). In exams an extra element breaks equality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\) / \(A\subset B\) and \(A\ne B\). Both elements of (A) are in (B) but (B) has the extra element \(\emptyset\). In exams an extra element breaks equality.
Step 3
Exam Tip
(A) के दोनों तत्व (B) में हैं पर (B) में अतिरिक्त तत्व \(\emptyset\) है। परीक्षा में अतिरिक्त तत्व बराबरी को तोड़ देता है।
The element (p) is fixed and the remaining two elements can be chosen in \(2^2\) ways. In exams fix the compulsory element and count the rest.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (4). The element (p) is fixed and the remaining two elements can be chosen in \(2^2\) ways. In exams fix the compulsory element and count the rest.
Step 3
Exam Tip
(p) निश्चित है और बाकी दो तत्वों को \(2^2\) तरीकों से चुना जा सकता है। परीक्षा में निश्चित तत्व अलग रखकर बाकी पर गिनती करें।
The condition \(-2\le x<2\) excludes (2), so the elements are (-2,-1,0,1). In exams watch open and closed bounds carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({-2,-1,0,1}). The condition \(-2\le x<2\) excludes (2), so the elements are (-2,-1,0,1). In exams watch open and closed bounds carefully.
Step 3
Exam Tip
शर्त \(-2\le x<2\) में (2) शामिल नहीं है इसलिए तत्व (-2,-1,0,1) हैं। परीक्षा में खुली और बंद सीमा ध्यान से देखें।
Repeated elements in a set are counted only once so the sets are equal. In exams compare distinct elements not frequency.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). Repeated elements in a set are counted only once so the sets are equal. In exams compare distinct elements not frequency.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में आवृत्ति से नहीं बल्कि अलग तत्वों से तुलना करें।
Repetition is removed in a set so the only elements are (L,E,V). In exams take unique letters in a set made from a word.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ({L,E,V}). Repetition is removed in a set so the only elements are (L,E,V). In exams take unique letters in a set made from a word.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में दोहराव हट जाता है इसलिए केवल (L,E,V) तत्व हैं। परीक्षा में शब्द से बने समुच्चय में अद्वितीय अक्षर लें।
A. (B) (A) का घात समुच्चय है/(B) is the power set of (A)
Step 1
Concept
The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (B) (A) का घात समुच्चय है / (B) is the power set of (A). The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
Step 3
Exam Tip
\(x\subset A\) का अर्थ है (x) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए (B) में सभी उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में घात समुच्चय को तत्वों के समुच्चय के रूप में समझें।
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Step 1
Concept
(A) includes (5) but (B) does not, so (B) is a proper subset. In exams note the difference between \(\le\) and (<).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\) / \(B\subset A\) and \(B\ne A\). (A) includes (5) but (B) does not, so (B) is a proper subset. In exams note the difference between \(\le\) and (<).
Step 3
Exam Tip
(A) में (5) शामिल है पर (B) में (5) नहीं है इसलिए (B) उचित उपसमुच्चय है। परीक्षा में \(\le\) और (<) का फर्क देखें।
B. (B) का हर तत्व (A) में है/Every element of (B) is in (A)
Step 1
Concept
The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (B) का हर तत्व (A) में है / Every element of (B) is in (A). The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की परिभाषा हर तत्व के समावेशन पर आधारित है। परीक्षा में केवल कम संख्या वाले तत्व देखकर निर्णय न लें।
All elements of ({1,2}) are in (A), so it is a subset. In exams check subset and element statements separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \({1,2}\subset A\). All elements of ({1,2}) are in (A), so it is a subset. In exams check subset and element statements separately.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। परीक्षा में उपसमुच्चय और तत्व की जांच अलग करें।
The number of ways to choose three elements is \({}^4C_3=4\) and all are proper subsets. In exams a subset with size less than (n) is proper.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). The number of ways to choose three elements is \({}^4C_3=4\) and all are proper subsets. In exams a subset with size less than (n) is proper.
Step 3
Exam Tip
तीन तत्व चुनने के तरीके \({}^4C_3=4\) हैं और ये सभी उचित उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में आकार (n) से छोटा हो तो उपसमुच्चय उचित होता है।
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Step 1
Concept
\(A=\{1,3,5,15\}\), so (B) is inside it but not equal. In exams the number itself is also a divisor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\) / \(B\subset A\) and \(B\ne A\). \(A=\{1,3,5,15\}\), so (B) is inside it but not equal. In exams the number itself is also a divisor.
Step 3
Exam Tip
\(A=\{1,3,5,15\}\) है इसलिए (B) इसके अंदर है लेकिन बराबर नहीं है। परीक्षा में सबसे बड़ा भाजक संख्या स्वयं होती है।
\(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({\emptyset}\). \(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
Step 3
Exam Tip
(A) में \(\emptyset\) एक तत्व है इसलिए \({\emptyset}\) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय को तत्व के रूप में भी पहचाने।
B. दोनों में वही तत्व हैं/Both have the same elements
Step 1
Concept
Order does not matter in a set and sets are equal when they have the same elements. In exams changing order does not change a set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों में वही तत्व हैं / Both have the same elements. Order does not matter in a set and sets are equal when they have the same elements. In exams changing order does not change a set.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता और समान तत्व होने पर समुच्चय बराबर होते हैं। परीक्षा में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता।
The odd natural numbers less than (9) are (1,3,5,7), so both are equal. In exams include the boundary only when the condition allows it.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). The odd natural numbers less than (9) are (1,3,5,7), so both are equal. In exams include the boundary only when the condition allows it.
Step 3
Exam Tip
(9) से कम विषम प्राकृतिक संख्याएं (1,3,5,7) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में सीमा के बराबर संख्या तभी लें जब शर्त अनुमति दे।
There are (3) subsets with two elements and (1) subset with three elements, so the total is (4). In exams add all larger sizes for "at least".
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). There are (3) subsets with two elements and (1) subset with three elements, so the total is (4). In exams add all larger sizes for "at least".
Step 3
Exam Tip
दो तत्वों वाले (3) और तीन तत्वों वाला (1) उपसमुच्चय है इसलिए कुल (4) हैं। परीक्षा में "कम से कम" में सभी बड़े आकार जोड़ें।
The elements (2) and (5) are fixed and the remaining (3) elements are free, so \(2^3=8\). In exams fix compulsory elements first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). The elements (2) and (5) are fixed and the remaining (3) elements are free, so \(2^3=8\). In exams fix compulsory elements first.
Step 3
Exam Tip
(2) और (5) निश्चित हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\)। परीक्षा में अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करें।
(1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (4). (1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
Step 3
Exam Tip
(1) निश्चित है और (4) हट गया है इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं और \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में शामिल और निष्कासित शर्तें अलग करें।
A. \(A\subset B\) और \(C\subset A\)/\(A\subset B\) and \(C\subset A\)
Step 1
Concept
Every element of (A) is in (B) and every element of (C) is in (A). In exams check each inclusion separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(A\subset B\) और \(C\subset A\) / \(A\subset B\) and \(C\subset A\). Every element of (A) is in (B) and every element of (C) is in (A). In exams check each inclusion separately.
Step 3
Exam Tip
(A) का हर तत्व (B) में है और (C) का हर तत्व (A) में है। परीक्षा में हर समावेशन अलग जांचें।
A. \({1}\in A\) और \({1}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1}\in A\) and \({1}\subset A\) are true
Step 1
Concept
({1}) is present as an element and its element (1) is also in (A), so both statements are true. In exams the same object can be both an element and a subset.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \({1}\in A\) और \({1}\subset A\) दोनों सत्य हैं / Both \({1}\in A\) and \({1}\subset A\) are true. ({1}) is present as an element and its element (1) is also in (A), so both statements are true. In exams the same object can be both an element and a subset.
Step 3
Exam Tip
({1}) तत्व के रूप में भी है और उसका तत्व (1) भी (A) में है इसलिए दोनों कथन सत्य हैं। परीक्षा में एक ही वस्तु तत्व और उपसमुच्चय दोनों हो सकती है।
The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({{1,2}}). The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
Step 3
Exam Tip
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें।
The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (8). The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्याएं (1,3) हैं जिनमें से एक चुनें और सम संख्याएं (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \({}^2C_1\times2^2=8\)। परीक्षा में शर्त वाले तत्व और स्वतंत्र तत्व अलग करें।
The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (8). The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
Step 3
Exam Tip
सम तत्व (2,4,6) हैं और इनके सभी उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। परीक्षा में "केवल" का अर्थ है बाकी तत्वों को पूरी तरह हटाना।
For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (A=B). For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है।
