Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
श्रृंखला में संघ सबसे बड़ा समुच्चय (C) है, इसलिए उसका पूरक (C') होगा। पहले संघ को सरल करें। / In the chain, the union is the largest set (C), so its complement is (C'). Simplify the union first.
क्यों صحيح: \(A\subseteq B\subseteq C\) का अर्थ है कि A के सभी तत्त्व B और C में भी आते हैं। अतः तीनों का समन्वय (intersection) उन तत्त्वों का समूह होगा जो A में हैं, यानी \(A\cap B\cap C= A\)। निकटतम विचलन क्यों गलत है: विकल्प B गलत है क्योंकि B में A के अतिरिक्त अन्य तत्त्व हो सकते हैं; विकल्प C भी बड़ा हो सकता है; विकल्प D (\(C\setminus A\)) तो उन तत्त्वों का समूह है जो C में हैं पर A में नहीं — यह intersection नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: सूक्ष्मता के लिए उपसमुच्चय का पारगम्य गुण (transitivity) याद रखें: \(A\subseteq B\) एवं \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) और फिर किसी बड़े सेट के साथ intersection लेने पर छोटा सेट ही रहेगा। / Reasoning: From \(A\subseteq B\subseteq C\) every element of A belongs to B and to C, so A is contained in both B and C. Therefore the common elements of A, B and C are precisely the elements of A, i.e. \(A\cap B\cap C = A\). Why the closest distractor is wrong: option B is not necessarily equal because B may contain elements not in A; option C can be larger than A; option D (\(C\setminus A\)) consists of elements of C that are not in A, so it cannot represent the intersection. Exam tip: Use transitivity \(A\subseteq C\) and remember intersection with supersets gives the smallest set — a quick nested Venn sketch helps.
सभी समुच्चय (C) के भीतर हैं, इसलिए उनका संघ (C) ही होगा। उपसमुच्चय श्रृंखला में सबसे बड़ा समुच्चय संघ देता है। / All sets are inside (C), so their union is (C). In a subset chain, the largest set gives the union.
चूंकि \(A\subseteq C\), इसलिए \(C-A\) में वे तत्व होंगे जो \(C\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसका क्रमांक \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\)। विकल्प (B) का मान \(48\) तब मिलता यदि छात्र ने \(B\) को घटाया हो: \(132-84=48\), पर प्रश्न में \(A\) हटाने के लिए कहा गया है। विकल्प (D) असंभव है क्योंकि किसी उपसमुच्चय का घटाकर प्राप्त मान मूल समुच्चय \(C\) से बड़ा नहीं हो सकता। परीक्षा संकेत: किसी भी विन्न-समस्या में स्पष्ट करें कि किस समुच्चय को हटाया जा रहा है — बस दो संख्या घटाएँ। / Since \(A\subseteq C\), the elements of \(C-A\) are those in \(C\) but not in \(A\). Hence \(n(C-A)=n(C)-n(A)=132-37=95\). Option B (48) comes from subtracting \(B\) from \(C\) (\(132-84=48\)), which is a common mistake here because the question asks to remove \(A\), not \(B\). Option D (169) is impossible because you cannot get a count larger than \(n(C)\) by removing elements. Exam tip: explicitly note which set is being removed and perform the subtraction on those two counts only.
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=118-29=89)। nested वेन आरेख में जिस समुच्चय को हटाना हो केवल वही घटाएं। / Since (A) lies fully inside (C), (n(C-A)=118-29=89). In a nested Venn diagram, subtract only the set being removed.
(B) पूरा (C) के अंदर है, इसलिए (n(C-B)=95-61=34)। nested वेन आरेख में बड़े से अंदर वाले भाग को घटाएं। / (B) lies completely inside (C), so (n(C-B)=95-61=34). In a nested Venn diagram, subtract the inner part from the larger set.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n(A)=k\) के लिए \(2^k\) होती है। यहाँ \(A=\{\{2\},4,6\}\) में तीन तत्व हैं: एक तत्व है समुच्चय \(\{2\}\) और अन्य दो तत्व संख्याएँ 4 और 6 हैं। इसलिये \(n(A)=3\) और \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\)। निकटतम ग़लत विकल्प (6) इसलिए भ्रमित कर सकता है कि अंदर के सेट \(\{2\}\) के घटक भी गिने जा रहे हों — यह गलत है; \(\{2\}\) यहाँ एक ही तत्व के रूप में गिना जाता है। परीक्षा सुझाव: किसी भी जाँच में यह स्पष्ट कर लें कि कोई आइटम सेट है या उसका सदस्य, क्योंकि सेट-भेदन (element vs subset) से ग़लतियाँ होती हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^k\) subsets when the original set has \(k\) elements. Here \(A=\{\{2\},4,6\}\) has three elements: the set \(\{2\}\), and the numbers 4 and 6. So \(n(A)=3\) and \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\). A common mistake leading to option 6 is wrongly counting elements inside the nested set \(\{2\}\) separately; but \(\{2\}\) itself is a single element of \(A\). Exam tip: always distinguish an element that is itself a set from the members of that inner set when counting elements.
यहाँ \(\{2\}\) स्वयं एक तत्व है (एक सेट के रूप में) — इसे अलग से गिना जाता है, न कि उसके अंदर का सदस्य अलग। बाकी दो तत्व 4 और 6 हैं। अतः कुल बाहरी स्तर पर 3 तत्व हैं इसलिए \(n(A)=3\)। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि इसमें लोग ने नेस्टेड सेट \(\{2\}\) को गिनना नहीं माना। परीक्षा टिप: सेट के तत्वों को गिनते समय हमेशा केवल बाहरी (top-level) तत्वों को गिनें; किसी तत्व के भीतर के सदस्य अलग तत्व नहीं होते जब तक वे बाह्य स्तर पर न हों। / Here \(\{2\}\) is itself a single element (a set as an element) — you count it as one, not by counting the item inside separately. The other two elements are 4 and 6. So there are 3 elements in total and \(n(A)=3\). Option A (2) is wrong because it ignores the nested set \(\{2\}\) at the outer level. Exam tip: Count only the top-level elements of a set; do not unpack elements that are themselves sets unless they appear as separate outer elements.
उपसमुच्चय होने के लिए प्रत्येक सदस्य मूल समुच्चय के सदस्य होना चाहिए। विकल्प D में संख्या 2 शामिल है, पर \(2\) समुच्चय \(A\) का सदस्य नहीं है; इसलिए \(\{1,2\}\) उपसमुच्चय नहीं है और यह सही उत्तर है। निकट भ्रामक विकल्प — विकल्प B (\(\{\{\emptyset\}\}\)) — कुछ छात्रों को भ्रमित कर सकता है, पर इसका एकमात्र सदस्य \(\{\emptyset\}\) है और वह स्पष्ट रूप से \(A\) का सदस्य है, अतः यह वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परखने का सुझाव: सदैव जाँचें कि प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय में मौजूद है और \(\emptyset\) तथा \(\{\emptyset\}\) में अंतर समझें। / For a set to be a subset, every element of that set must be an element of the original set. Option D contains the element 2, but 2 is not an element of \(A\); therefore \(\{1,2\}\) is not a subset and is the correct choice. A close distractor is option B (\(\{\{\emptyset\}\}\)), which may look tricky: its sole element is \(\{\emptyset\}\), and since \(\{\emptyset\}\in A\), B is actually a subset. Exam tip: check membership element-by-element and be careful to distinguish between \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\).
समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं: संख्याएँ \(1\), \(2\) और एक ही सदस्य के रूप में समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए \(\{1,2\}\in A\) सत्य है। \(\{1,2\}=A\) असत्य है क्योंकि \(A\) में दो संख्यात्मक तत्त्वों के अलावा स्वयं \(\{1,2\}\) भी एक अतिरिक्त तत्व है, अतः समतुल्य नहीं। \(3\in A\) गलत है क्योंकि \(3\) \(A\) का सदस्य नहीं है। \(\{1,2,3\}\subseteq A\) तब ही सत्य होता यदि \(3\in A\) होता, जो नहीं है। परीक्षण सुझाव: ब्रेसेस पर ध्यान दें — बड़े ब्रेसेस के अंदर क्या एक तत्त्व है और कितने तत्त्व हैं, यह लिखकर जाँचें। / The elements of \(A\) are: the numbers \(1\), \(2\), and the set \(\{1,2\}\) as a single element. Hence \(\{1,2\}\in A\) is true. \(\{1,2\}=A\) is false because \(A\) contains \(1\) and \(2\) as separate elements in addition to the element \(\{1,2\}\), so the two sets are not equal. \(3\in A\) is false since \(3\) is not an element of \(A\). \(\{1,2,3\}\subseteq A\) is false because \(3\) must belong to \(A\) for that subset relation to hold. Exam tip: explicitly list the elements of the set and check membership versus subset — element braces matter.
{1,{∅}} के सभी तत्व A में हैं, इसलिए यह A का उपसमुच्चय है और P(A) का तत्व है। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of {1,{∅}} are in A, so it is a subset of A and an element of P(A). In exams, the elements of a power set are always subsets of the original set.
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें। / The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
(A) में ({1,2}) एक अवयव है पर (1) और (2) अलग से अवयव नहीं हैं। इसलिए ({1,2}) उपसमुच्चय नहीं है। / In (A), ({1,2}) is one element, but (1) and (2) are not separate elements. So ({1,2}) is not a subset.
(A) में अवयव समुच्चय के रूप में लिखे हैं और ({1,2}) उनमें से एक है। अंदर के (1) और (2) सीधे (A) के अवयव नहीं हैं। / The elements of (A) are written as sets, and ({1,2}) is one of them. The inner (1) and (2) are not directly elements of (A).
यहाँ (1), (2), और ({1,2}) तीन अलग अवयव हैं। पूरा समुच्चय भी किसी बड़े समुच्चय का अवयव हो सकता है। / Here (1), (2), and ({1,2}) are three distinct elements. A whole set can be an element of a larger set.
परिभाषा: सेट B, A का उपसमुच्चय तभी होगा जब B का हर अवयव A का भी अवयव हो। विकल्प \(\{2,\{3,4\}\}\) में दोनों अवयव — संख्या 2 और उपसेट \(\{3,4\}\) — सीधे तौर पर \(A\) के अवयव हैं, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय है। भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{1,3\}\) इसलिए गलत है क्योंकि 3 स्वयं \(A\) का अवयव नहीं है; केवल \(\{3,4\}\) ही \(A\) का अवयव है। परीक्षा युक्ति: तत्व (element) को चिन्हित करने के लिए "∈" और उपसमुच्चय के लिए "⊆" का उपयोग करें और कोष्ठकों \{...\} की परतों (layers) पर ध्यान दें। / Definition: B is a subset of A only if every element of B is also an element of A. In \(\{2,\{3,4\}\}\) both elements — the number 2 and the set \(\{3,4\}\) — are elements of A, so this set is a subset of A. A tempting wrong choice is \(\{1,3\}\): although 1 ∈ A, the element 3 ∉ A because only \(\{3,4\}\) (not 3 alone) is in A. Exam tip: Distinguish between an element (use "∈") and a subset (use "⊆"), and pay careful attention to braces — \{x\} is not the same as x.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के सभी अवयव (B) में हैं और (B) में अतिरिक्त अवयव ({1}) है। ({1}) को (1) से अलग मानें। / All elements of (A) are in (B), and (B) has the extra element ({1}). Treat ({1}) as different from (1).
सेट \(A\) के अवयव हैं: \(1,\ \{2\},\ 3\). विकल्प \(\{\{2\},3\}\) के अवयव \(\{2\}\) और \(3\) दोनों \(A\) में अवयव के रूप में मौजूद हैं, इसलिए यह उपसमुच्चय है। दूसरे विकल्पों का विश्लेषण: \(\{1,2\}\) और \(\{2,3\}\) में तत्व \(2\) है जबकि \(A\) में \(2\) नहीं है (केवल \(\{2\}\) है), अतः वे उपसमुच्चय नहीं हैं। \(\{\{1,2\}\}\) में एकल अवयव \(\{1,2\}\) है जो \(A\) का अवयव नहीं है, इसलिए वह भी नहीं है। परीक्षा टिप: सदैव ध्यान दें कि क्या दिया गया प्रतीक एक संख्या (जैसे \(2\)) है या एक सेट (जैसे \(\{2\}\)) — यह तय करता है कि वह \(A\) का अवयव है या नहीं। / The elements of \(A\) are \(1,\ \{2\},\ 3\). The set \(\{\{2\},3\}\) contains \(\{2\}\) and \(3\), both of which are elements of \(A\); thus it is a subset. For the other options: \(\{1,2\}\) and \(\{2,3\}\) contain the element \(2\), but \(2\) is not an element of \(A\) (only \(\{2\}\) is), so they are not subsets. \(\{\{1,2\}\}\) has the single element \(\{1,2\}\), which is not present in \(A\). Exam tip: Always check whether an item is the number \(2\) or the set \(\{2\}\); confusing these is a common error in subset questions.
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
समुच्चय में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता पर ({3}) और (3) अलग हैं। नेस्टेड अवयव को अलग पहचानें। / Changing order does not change a set but ({3}) and (3) are different. Identify nested elements carefully.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय अवयव बनते हैं और \({{\varnothing}}\) (A) का उपसमुच्चय है। पावर सेट में अवयव हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), and \({{\varnothing}}\) is a subset of (A). In a power set, elements are always subsets.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय होते हैं, और ({{1}}) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) (A) का अवयव है, पर पावर सेट का अवयव बनने के लिए उपसमुच्चय होना चाहिए। / (P(A)) contains subsets of (A), and ({{1}}) is a subset of (A). ({1}) is an element of (A), but an element of the power set must be a subset.
D. \(A\neq B\) और कोई भी दूसरे का उपसमुच्चय नहीं/\(A\neq B\) and neither is a subset of the other
Explanation
Simple Explanation
(A) के अवयव संख्याएं हैं जबकि (B) के अवयव एकल समुच्चय हैं। कोष्ठक बदलने से समुच्चय बदल जाता है। / Elements of (A) are numbers, while elements of (B) are singleton sets. Changing braces changes the set.
\({1,2}\subseteq A\) के लिए \(2\in A\) होना चाहिए, पर (2) अलग अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / For \({1,2}\subseteq A\), \(2\in A\) must be true, but (2) is not a separate element. Keep element and subset distinct.
({1,2}) (A) का अवयव है, पर इसके अवयव (1,2) से बना समुच्चय (A) का उपसमुच्चय भी हो सकता है; यहां विकल्प असत्य नहीं है। सही असत्य विकल्प नहीं दिखता, इसलिए ध्यान दें कि सभी दिए कथन सत्य हैं। / This set has (1), (2), and ({1,2}) as elements. All four statements are actually true, so this question checks careful reading.
\(\varnothing\) (A) का अवयव है इसलिए \({\varnothing}\) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) अवयव है, पर (1) अवयव नहीं है। / \(\varnothing\) is an element of (A), so \({\varnothing}\) is a subset of (A). ({1}) is an element, but (1) is not.
({2}) पूरा एक अवयव है, लेकिन (2) अलग से अवयव नहीं है। नेस्टेड समुच्चय में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। / ({2}) is one whole element, but (2) is not separately an element. Braces are very important in nested sets.
