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(n\(A\cup B\cup C\)=15+12+9-3-3-3+3=30), इसलिए पूरक (180-30=150) है। गुणजों वाले प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य से साझा भाग निकालें। / (n\(A\cup B\cup C\)=15+12+9-3-3-3+3=30), so the complement is (180-30=150). In multiples questions, use the least common multiple for common parts.
यदि (n(A)=92), (n(B)=85), (n(C)=78), (n\(A\cap B\)=37), (n\(B\cap C\)=34), (n\(C\cap A\)=29) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) है, तो केवल \(B\cap C\) में कितने तत्व हैं?
केवल \(B\cap C\) में (34-16=18) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / Only \(B\cap C\) has (34-16=18) elements. A two-set intersection also includes the central three-set region.
किसी वेन आरेख में (n\(A\cup B\cup C\)=215), (n(\(A\cup B\cup C\)')=35), और ठीक दो समुच्चयों में (62) तत्व हैं। यदि (n(U)) पूछा जाए, तो उत्तर क्या होगा?
सार्वत्रिक समुच्चय संघ और बाहरी भाग का योग है, इसलिए (215+35=250) है। ठीक दो वाला आंकड़ा इस प्रश्न में अतिरिक्त है। / The universal set is the sum of the union and outside region, so (215+35=250). The exactly-two data is extra in this question.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
दोनों सही हैं क्योंकि (A) पूरा (B) के भीतर है। उपसमुच्चय में छोटा समुच्चय प्रतिच्छेद देता है। / Both are true because (A) lies completely inside (B). In a subset relation, the smaller set gives the intersection.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
यह डी मॉर्गन नियम है और कारण उसके वेन आरेखीय अर्थ को सही बताता है। पूरक वाले प्रश्नों में बाहर वाले क्षेत्र पर ध्यान दें। / This is De Morgan's law, and the reason correctly explains its Venn meaning. In complement questions, focus on the outside region.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी वेन क्षेत्र नहीं मिलते। संघ निकालने के लिए केवल और साझा दोनों क्षेत्रों की जानकारी चाहिए। / These differences do not determine all Venn regions. To find the union, information about both only-regions and common regions is needed.
सूत्र से (184=86+91+88-S+23), इसलिए (S=104) है। यहाँ (S) तीनों युग्म प्रतिच्छेदों का योग है। / Using the formula (184=86+91+88-S+23), so (S=104). Here (S) is the sum of the three pairwise intersections.
(A-B=0) से \(A\subseteq B\) और (B-C=0) से \(B\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(A\subseteq C\) अवश्य सही है। / (A-B=0) gives \(A\subseteq B\), and (B-C=0) gives \(B\subseteq C\). Therefore, \(A\subseteq C\) must be true.
श्रृंखला में संघ सबसे बड़ा समुच्चय (C) है, इसलिए उसका पूरक (C') होगा। पहले संघ को सरल करें। / In the chain, the union is the largest set (C), so its complement is (C'). Simplify the union first.
परस्पर असंबद्ध होने पर संघ (27+34+41=102) है, इसलिए पूरक (125-102=23) है। साझा भाग घटाने की जरूरत नहीं होती। / For mutually disjoint sets, the union is (27+34+41=102), so the complement is (125-102=23). No common part needs to be subtracted.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (52-23-18=11) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (52-23-18=11).
सूत्र में (151=82+77+69-32-28-25+x), इसलिए (x=8) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (151=82+77+69-32-28-25+x), we get (x=8). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
यदि केवल (A) में (38), केवल (B) में (35), केवल (C) में (29), ठीक दो समुच्चयों में कुल (47) और तीनों में (14) तत्व हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (38+35+29+47+14=163) है। अलग वेन क्षेत्रों को दोबारा न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (38+35+29+47+14=163). Do not add separate Venn regions twice.
यदि केवल \(A\cap B\) में (19), केवल \(B\cap C\) में (17), केवल \(C\cap A\) में (21) और \(A\cap B\cap C\) में (11) तत्व हैं, तो कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में केवल दो-दो वाले भाग और केंद्र शामिल हैं, इसलिए (19+17+21+11=68) है। केंद्र को एक बार गिनें। / At least two includes the pairwise-only regions and the centre, so (19+17+21+11=68). Count the centre once.
एक परीक्षा में (180) विद्यार्थियों में (97) ने प्रश्न (A), (88) ने प्रश्न (B), (82) ने प्रश्न (C), (41) ने (A) और (B), (36) ने (B) और (C), (34) ने (C) और (A), तथा (18) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (97+88+82-41-36-34+18=174) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना जरूरी है। / At least one is (97+88+82-41-36-34+18=174). In three sets, the centre must be added at the end.
कम से कम एक (150-28=122) है, इसलिए दोनों (83+69-122=30) हैं। पहले संघ को बाहर वाले भाग से निकालें। / At least one is (150-28=122), so both is (83+69-122=30). First get the union from the outside part.
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए सममित अंतर पूरा संघ (39+48=87) है। असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा भाग हटाना नहीं पड़ता। / The intersection is zero, so the symmetric difference is the whole union (39+48=87). For disjoint sets, no common part needs removal.
संघ (B) जितना ही है, इसलिए (A) कोई नया क्षेत्र नहीं जोड़ता। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The union is the same as (B), so (A) adds no new region. This means \(A\subseteq B\).
असंबद्ध होने पर \(A\cup B\) से (A) हटाने पर पूरा (B) बचता है। इसलिए उत्तर (B) है। / When the sets are disjoint, removing (A) from \(A\cup B\) leaves the whole of (B). Hence the answer is (B).
पहले \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) मिलता है, इसलिए \(A\subseteq C\)। अतः \(A\cap C=A\) है। / First \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), so \(A\subseteq C\). Therefore, \(A\cap C=A\).
यदि (A) (B) के अंदर है, तो (B) के बाहर का हर तत्व (A) के बाहर भी होगा। इसलिए \(B'\subseteq A'\) सही है। / If (A) is inside (B), every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\) is true.
(A-\(B\cup C\)) का अर्थ (A) में रहकर (B) और (C) से बाहर होना है। इसलिए यह \(A\cap B'\cap C'\) है। / (A-\(B\cup C\)) means being in (A) while outside (B) and (C). Therefore it is \(A\cap B'\cap C'\).
A. (C) का वह भाग जो (A) और (B) दोनों से बाहर है/The part of (C) outside both (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
(\(A\cup B\)') (A) और (B) के बाहर का भाग है, और (C) से प्रतिच्छेद लेने पर केवल (C) वाला बाहरी भाग मिलता है। / (\(A\cup B\)') is outside (A) and (B), and intersecting with (C) gives the part of (C) outside both.
केवल दोनों ओर के भागों का योग (115-42=73) है। यही \(A\triangle B\) की संख्या भी है। / The sum of the two only-side regions is (115-42=73). This is also the size of \(A\triangle B\).
(n\(A\cap B\)=69-28=41), इसलिए (n\(A\cup B\)=69+74-41=102) है। पहले साझा भाग खोजें। / (n\(A\cap B\)=69-28=41), so (n\(A\cup B\)=69+74-41=102). Find the common part first.
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (53-22=31) है। इसे केवल (B) वाले क्षेत्र की तरह देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so (53-22=31). View it as the only (B) region.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय के बराबर हो सकता है, यानी (109)। ऐसा तब होगा जब छोटा समुच्चय बड़े में समा जाए। / The minimum union can equal the larger set, which is (109). This happens when the smaller set lies inside the larger set.
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (63) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के अंदर हो सकता है। / The intersection cannot exceed the smaller set, so the maximum is (63). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (58+49-90=17) है। योग (U) से अधिक हो तो उतना अतिव्यापन अनिवार्य है। / The minimum intersection is (58+49-90=17). If the sum exceeds (U), that much overlap is necessary.
सम वर्ग (4,16,36,64) हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=4) है। वर्गों की सूची बनाकर शर्त लगाएँ। / The even squares are (4,16,36,64), so (n\(A\cap B\)=4). List the squares and then apply the condition.
