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एक सर्वे में (n(U)=240), (n(A)=112), (n(B)=104), (n(C)=93), (n\(A\cap B\)=46), (n\(B\cap C\)=38), (n\(C\cap A\)=35) और (n\(A\cap B\cap C\)=17) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=112+104+93-46-38-35+17=207), इसलिए बाहर (240-207=33) है। पहले संघ निकालकर पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=112+104+93-46-38-35+17=207), so outside is (240-207=33). First find the union and then take the complement.
यदि (n(A)=92), (n(B)=85), (n(C)=78), (n\(A\cap B\)=37), (n\(B\cap C\)=34), (n\(C\cap A\)=29) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) है, तो केवल \(B\cap C\) में कितने तत्व हैं?
केवल \(B\cap C\) में (34-16=18) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / Only \(B\cap C\) has (34-16=18) elements. A two-set intersection also includes the central three-set region.
यदि (n(A)=86), (n(B)=79), (n(C)=71), (n\(A\cap B\)=34), (n\(B\cap C\)=29), (n\(C\cap A\)=27) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) है, तो केवल (C) में कितने तत्व हैं?
केवल (C=71-29-27+12=27) है। दो साझा भाग घटाने पर केंद्र दो बार घटता है, इसलिए उसे जोड़ें। / Only (C=71-29-27+12=27). When two common parts are subtracted, the centre is removed twice, so add it back.
(n\(A\cup B\cup C\)=15+12+9-3-3-3+3=30), इसलिए पूरक (180-30=150) है। गुणजों वाले प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य से साझा भाग निकालें। / (n\(A\cup B\cup C\)=15+12+9-3-3-3+3=30), so the complement is (180-30=150). In multiples questions, use the least common multiple for common parts.
वेन आरेख में केवल (A) में (26), केवल (B) में (31), केवल (C) में (24), केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (16), केवल \(C\cap A\) में (12) और तीनों में (9) तत्व हैं। ठीक एक समुच्चय में आने वाले तत्व कितने हैं?
ठीक एक में केवल अलग-अलग एकल भाग आते हैं, इसलिए (26+31+24=81) है। दो या तीन समुच्चयों वाले भाग न जोड़ें। / Exactly one includes only the single-only regions, so (26+31+24=81). Do not add regions belonging to two or three sets.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों है, इसलिए तीनों (162-73-56=33) हैं। क्षेत्र आधारित प्रश्न में अलग भागों को अलग रखें। / The union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (162-73-56=33). Keep separate regions distinct in region-based questions.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए साझा भाग (126-48-41=37) है। वेन आरेख में हर क्षेत्र एक बार गिनें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the common part is (126-48-41=37). Count each Venn region once.
(n(A)=160-63=97) और (n(B)=160-72=88), इसलिए संघ (97+88-39=146) है। पूरक से मूल संख्या निकालना पहला कदम है। / (n(A)=160-63=97) and (n(B)=160-72=88), so the union is (97+88-39=146). First get the original sizes from complements.
चारों अलग क्षेत्रों का योग (36+44+25+18=123) है। सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर दोनों क्षेत्र आते हैं। / The sum of the four disjoint regions is (36+44+25+18=123). The universal set includes both inside and outside regions.
संघ (68+57-32=93) है, इसलिए बाहर (110-93=17) है। न दोनों का अर्थ संघ का पूरक होता है। / The union is (68+57-32=93), so outside is (110-93=17). Neither means the complement of the union.
पहले (n\(A\cap B\)=72+67-101=38), फिर (n\(A\triangle B\)=101-38=63) है। सममित अंतर में साझा भाग शामिल नहीं होता। / First (n\(A\cap B\)=72+67-101=38), then (n\(A\triangle B\)=101-38=63). The symmetric difference excludes the common part.
(B-A=91-52=39) और (B'=140-91=49), ये अलग क्षेत्र हैं, इसलिए योग (88) है। उपसमुच्चय आरेख में क्षेत्रों को अलग पहचानें। / (B-A=91-52=39) and (B'=140-91=49), and these regions are disjoint, so the sum is (88). Identify separate regions in subset diagrams.
असंबद्ध समुच्चयों का संघ (57+46=103) है, इसलिए पूरक (125-103=22) है। असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद (0) होता है। / The union of disjoint sets is (57+46=103), so the complement is (125-103=22). Disjoint sets have intersection (0).
तीन गतिविधियों में (n(A)=84), (n(B)=77), (n(C)=73), (n\(A\cap B\)=33), (n\(B\cap C\)=28), (n\(C\cap A\)=31) और (n\(A\cap B\cap C\)=13) है। केवल \(A\cap C\) में कितने विद्यार्थी हैं?
केवल \(A\cap C\) में (31-13=18) होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में केंद्र भी शामिल रहता है। / Only \(A\cap C\) has (31-13=18). A two-set intersection includes the centre also.
(106=(6x+5)+(5x+9)-(3x+4)=8x+10), इसलिए (x=12) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में संघ का सूत्र लगाएँ। / (106=(6x+5)+(5x+9)-(3x+4)=8x+10), so (x=12). In algebraic Venn questions, apply the union formula.
संघ (4x+1+3x+6+2x+5=9x+12=120), इसलिए (x=12) है। अलग वेन क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (4x+1+3x+6+2x+5=9x+12=120), so (x=12). The sum of disjoint Venn regions directly gives the union.
(6) के गुणज (16), (10) के गुणज (9), और (30) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (16+9-3=22) नहीं बल्कि (22) होगा; विकल्प मिलाते समय गणना जाँचें। / Multiples of (6) are (16), multiples of (10) are (9), and multiples of (30) are (3), so the union is (16+9-3=22). Check calculation before matching options.
(6) के गुणज (16), (10) के गुणज (9), और साझा गुणज (3) हैं, इसलिए (n\(A\cup B\)=22) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (6) are (16), multiples of (10) are (9), and common multiples are (3), so (n\(A\cup B\)=22). Subtract common multiples once.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(7,15)=105) के गुणज होंगे, और (105) तक केवल (105) है। इसलिए संख्या (1) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(7,15)=105), and up to (105) only (105) appears. Hence the count is (1).
(8) के गुणज (15), (12) के गुणज (10), और (24) के गुणज (5) हैं, इसलिए संघ (20) और पूरक (100) नहीं बल्कि (120-20=100) है। विकल्पों से पहले फिर जाँचें। / Multiples of (8) are (15), multiples of (12) are (10), and multiples of (24) are (5), so the union is (20) and the complement is (120-20=100). Recheck before using options.
(n\(A\cup B\)=15+10-5=20), इसलिए पूरक (120-20=100) है। पहले संघ निकालें फिर (U) से घटाएँ। / (n\(A\cup B\)=15+10-5=20), so the complement is (120-20=100). First find the union and then subtract from (U).
(5) अभाज्य भी है और (5) का गुणज भी है, इसलिए प्रतिच्छेद ({5}) है। दोनों शर्तें साथ जाँचें। / (5) is both prime and a multiple of (5), so the intersection is ({5}). Check both conditions together.
सम वर्ग (4,16,36,64) हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=4) है। वर्गों की सूची बनाकर शर्त लगाएँ। / The even squares are (4,16,36,64), so (n\(A\cap B\)=4). List the squares and then apply the condition.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (58+49-90=17) है। योग (U) से अधिक हो तो उतना अतिव्यापन अनिवार्य है। / The minimum intersection is (58+49-90=17). If the sum exceeds (U), that much overlap is necessary.
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (63) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के अंदर हो सकता है। / The intersection cannot exceed the smaller set, so the maximum is (63). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय के बराबर हो सकता है, यानी (109)। ऐसा तब होगा जब छोटा समुच्चय बड़े में समा जाए। / The minimum union can equal the larger set, which is (109). This happens when the smaller set lies inside the larger set.
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (53-22=31) है। इसे केवल (B) वाले क्षेत्र की तरह देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so (53-22=31). View it as the only (B) region.
(n\(A\cap B\)=69-28=41), इसलिए (n\(A\cup B\)=69+74-41=102) है। पहले साझा भाग खोजें। / (n\(A\cap B\)=69-28=41), so (n\(A\cup B\)=69+74-41=102). Find the common part first.
केवल दोनों ओर के भागों का योग (115-42=73) है। यही \(A\triangle B\) की संख्या भी है। / The sum of the two only-side regions is (115-42=73). This is also the size of \(A\triangle B\).
A. (C) का वह भाग जो (A) और (B) दोनों से बाहर है/The part of (C) outside both (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
(\(A\cup B\)') (A) और (B) के बाहर का भाग है, और (C) से प्रतिच्छेद लेने पर केवल (C) वाला बाहरी भाग मिलता है। / (\(A\cup B\)') is outside (A) and (B), and intersecting with (C) gives the part of (C) outside both.
(A-\(B\cup C\)) का अर्थ (A) में रहकर (B) और (C) से बाहर होना है। इसलिए यह \(A\cap B'\cap C'\) है। / (A-\(B\cup C\)) means being in (A) while outside (B) and (C). Therefore it is \(A\cap B'\cap C'\).
यदि (A) (B) के अंदर है, तो (B) के बाहर का हर तत्व (A) के बाहर भी होगा। इसलिए \(B'\subseteq A'\) सही है। / If (A) is inside (B), every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\) is true.
पहले \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) मिलता है, इसलिए \(A\subseteq C\)। अतः \(A\cap C=A\) है। / First \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), so \(A\subseteq C\). Therefore, \(A\cap C=A\).
असंबद्ध होने पर \(A\cup B\) से (A) हटाने पर पूरा (B) बचता है। इसलिए उत्तर (B) है। / When the sets are disjoint, removing (A) from \(A\cup B\) leaves the whole of (B). Hence the answer is (B).
संघ (B) जितना ही है, इसलिए (A) कोई नया क्षेत्र नहीं जोड़ता। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The union is the same as (B), so (A) adds no new region. This means \(A\subseteq B\).
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए सममित अंतर पूरा संघ (39+48=87) है। असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा भाग हटाना नहीं पड़ता। / The intersection is zero, so the symmetric difference is the whole union (39+48=87). For disjoint sets, no common part needs removal.
कम से कम एक (150-28=122) है, इसलिए दोनों (83+69-122=30) हैं। पहले संघ को बाहर वाले भाग से निकालें। / At least one is (150-28=122), so both is (83+69-122=30). First get the union from the outside part.
एक परीक्षा में (180) विद्यार्थियों में (97) ने प्रश्न (A), (88) ने प्रश्न (B), (82) ने प्रश्न (C), (41) ने (A) और (B), (36) ने (B) और (C), (34) ने (C) और (A), तथा (18) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (97+88+82-41-36-34+18=174) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना जरूरी है। / At least one is (97+88+82-41-36-34+18=174). In three sets, the centre must be added at the end.
यदि केवल \(A\cap B\) में (19), केवल \(B\cap C\) में (17), केवल \(C\cap A\) में (21) और \(A\cap B\cap C\) में (11) तत्व हैं, तो कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में केवल दो-दो वाले भाग और केंद्र शामिल हैं, इसलिए (19+17+21+11=68) है। केंद्र को एक बार गिनें। / At least two includes the pairwise-only regions and the centre, so (19+17+21+11=68). Count the centre once.
यदि केवल (A) में (38), केवल (B) में (35), केवल (C) में (29), ठीक दो समुच्चयों में कुल (47) और तीनों में (14) तत्व हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (38+35+29+47+14=163) है। अलग वेन क्षेत्रों को दोबारा न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (38+35+29+47+14=163). Do not add separate Venn regions twice.
सूत्र में (151=82+77+69-32-28-25+x), इसलिए (x=8) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (151=82+77+69-32-28-25+x), we get (x=8). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (52-23-18=11) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (52-23-18=11).
परस्पर असंबद्ध होने पर संघ (27+34+41=102) है, इसलिए पूरक (125-102=23) है। साझा भाग घटाने की जरूरत नहीं होती। / For mutually disjoint sets, the union is (27+34+41=102), so the complement is (125-102=23). No common part needs to be subtracted.
श्रृंखला में संघ सबसे बड़ा समुच्चय (C) है, इसलिए उसका पूरक (C') होगा। पहले संघ को सरल करें। / In the chain, the union is the largest set (C), so its complement is (C'). Simplify the union first.
(A-B=0) से \(A\subseteq B\) और (B-C=0) से \(B\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(A\subseteq C\) अवश्य सही है। / (A-B=0) gives \(A\subseteq B\), and (B-C=0) gives \(B\subseteq C\). Therefore, \(A\subseteq C\) must be true.
सूत्र से (184=86+91+88-S+23), इसलिए (S=104) है। यहाँ (S) तीनों युग्म प्रतिच्छेदों का योग है। / Using the formula (184=86+91+88-S+23), so (S=104). Here (S) is the sum of the three pairwise intersections.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी वेन क्षेत्र नहीं मिलते। संघ निकालने के लिए केवल और साझा दोनों क्षेत्रों की जानकारी चाहिए। / These differences do not determine all Venn regions. To find the union, information about both only-regions and common regions is needed.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
यह डी मॉर्गन नियम है और कारण उसके वेन आरेखीय अर्थ को सही बताता है। पूरक वाले प्रश्नों में बाहर वाले क्षेत्र पर ध्यान दें। / This is De Morgan's law, and the reason correctly explains its Venn meaning. In complement questions, focus on the outside region.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
दोनों सही हैं क्योंकि (A) पूरा (B) के भीतर है। उपसमुच्चय में छोटा समुच्चय प्रतिच्छेद देता है। / Both are true because (A) lies completely inside (B). In a subset relation, the smaller set gives the intersection.
किसी वेन आरेख में (n\(A\cup B\cup C\)=215), (n(\(A\cup B\cup C\)')=35), और ठीक दो समुच्चयों में (62) तत्व हैं। यदि (n(U)) पूछा जाए, तो उत्तर क्या होगा?
सार्वत्रिक समुच्चय संघ और बाहरी भाग का योग है, इसलिए (215+35=250) है। ठीक दो वाला आंकड़ा इस प्रश्न में अतिरिक्त है। / The universal set is the sum of the union and outside region, so (215+35=250). The exactly-two data is extra in this question.
