A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है/Because reflexivity fails
Step 1
Concept
Since (R) is an equivalence relation, every ((a,a)) is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore no ((a,a)) remains in the complement.
Step 3
Exam Tip
Without reflexivity, the complement cannot be an equivalence relation. चरण 1: (R) एक तुल्यता संबंध है, इसलिए हर ((a,a)) उसमें है। चरण 2: पूरक में कोई भी ((a,a)) नहीं बचेगा। चरण 3: स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं हो सकता।
The complement has (25-9=16) pairs. चरण 1: \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म हैं। चरण 2: (R) में \(2^2+1^2+2^2=9\) युग्म हैं। चरण 3: पूरक में (25-9=16) युग्म होंगे।
A. तुल्यता संबंध नहीं, क्योंकि स्वतुल्यता नहीं है/Not an equivalence relation because reflexivity fails
Step 1
Concept
(R) contains every ((a,a)) because each number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
The complement contains no ((a,a)) pair.
Step 3
Exam Tip
Without reflexivity, the complement is not an equivalence relation. चरण 1: (R) में सभी ((a,a)) युग्म हैं क्योंकि हर संख्या का शेष स्वयं के समान है। चरण 2: पूरक संबंध में कोई भी ((a,a)) युग्म नहीं होगा। चरण 3: स्वतुल्यता न होने से पूरक तुल्यता संबंध नहीं है।
A. पूरक भी सममित होगा/The complement will also be symmetric
Step 1
Concept
If ((a,b)) is in the complement, then \((a,b)\notin R\).
Step 2
Why this answer is correct
If ((b,a)) were in (R), symmetry would force \((a,b)\in R\), a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((b,a)) is also in the complement. चरण 1: यदि ((a,b)) पूरक में है, तो ((a,b)) (R) में नहीं है। चरण 2: अगर ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो गलत है। चरण 3: इसलिए ((b,a)) भी पूरक में है।
C. वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा/It is not reflexive because no diagonal pair remains
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
In the complement \(A \times A-R\), those diagonal pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, missing diagonal pairs destroy reflexivity. चरण 1: (R) स्ववाची है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। चरण 2: पूरक \(A \times A-R\) में वे विकर्ण युग्म हट जाते हैं। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर विकर्ण न होने से स्ववाचीता टूट जाती है।
A. \(R^c\) स्वतुल्य नहीं है/\(R^c\) is not reflexive
Step 1
Concept
The complement of \(A\times A\) inside \(A\times A\) is the empty relation.
Step 2
Why this answer is correct
On a non-empty (A), the empty relation has no self-pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not reflexive. चरण 1: \(A\times A\) का पूरक \(A\times A\) के भीतर रिक्त सम्बन्ध होता है। चरण 2: अरिक्त (A) पर रिक्त सम्बन्ध में कोई अपने-आप वाला युग्म नहीं होता। चरण 3: इसलिए वह स्वतुल्य नहीं होगा।
