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एक सर्वे में (n(U)=210), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=39), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=28) और (n\(A\cap B\cap C\)=14) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), इसलिए बाहर (210-174=36) है। पहले संघ निकालकर ही पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), so outside is (210-174=36). First find the union and then take the complement.
(n(\(A\cap C\)-B)=n\(A\cup B\)+n\(B\cup C\)-n(B)-n\(A\cup B\cup C\)=118+124-64-155=23) नहीं, इसलिए विकल्पों से पहले सूत्र जाँचें; सही क्षेत्र (155-118) और (155-124) जैसे बाहर वाले हिस्सों से नहीं निकलेगा। / (n(\(A\cap C\)-B)=n\(A\cup B\)+n\(B\cup C\)-n(B)-n\(A\cup B\cup C\)=118+124-64-155=23), not (30). Check the formula before matching options.
यदि (n(A)=78), (n(B)=69), (n(C)=63), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=25), (n\(C\cap A\)=21) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है, तो केवल (A) में कितने तत्व हैं?
केवल (A=78-30-21+9=36) है। तीन समुच्चयों में केंद्र दो बार घटता है इसलिए उसे वापस जोड़ें। / Only (A=78-30-21+9=36). In three sets, the centre is subtracted twice, so add it back.
किसी वेन आरेख में केवल (A) में (18), केवल (B) में (22), केवल (C) में (16), केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (6) तत्व हैं। कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में (11+13+9+6=39) तत्व हैं। इस प्रकार के प्रश्न में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / At least two sets contain (11+13+9+6=39) elements. In this type of question, the centre region is also included.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए प्रतिच्छेद (112-43-37=32) है। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को एक-एक बार गिनें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the intersection is (112-43-37=32). Count each separate region once in a Venn diagram.
(n(A)=140-58=82) और (n(B)=140-71=69), इसलिए संघ (82+69-34=117) है। पूरक से मूल संख्या निकालना पहला कदम है। / (n(A)=140-58=82) and (n(B)=140-71=69), so the union is (82+69-34=117). Getting original sizes from complements is the first step.
सभी चार अलग क्षेत्रों का योग (29+33+17+21=100) है। सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर दोनों क्षेत्र आते हैं। / The sum of all four disjoint regions is (29+33+17+21=100). The universal set includes both inside and outside regions.
ठीक एक विषय ((56-27)+(49-27)=51) है। दोनों पढ़ने वालों को ठीक एक में शामिल न करें। / Exactly one subject is ((56-27)+(49-27)=51). Do not include those who study both in exactly one.
पहले (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), फिर (n\(A\triangle B\)=91-32=59) है। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / First (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), then (n\(A\triangle B\)=91-32=59). The symmetric difference does not include the common part.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए (B-A=83-47=36) होगा। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since \(A\subseteq B\), (B-A=83-47=36). In a subset Venn diagram, the smaller circle lies inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में संघ (44+52=96) है, इसलिए पूरक (130-96=34) है। असंबद्ध होने पर साझा भाग शून्य होता है। / For disjoint sets, the union is (44+52=96), so the complement is (130-96=34). Disjoint sets have zero common part.
तीन क्लबों में (n(A)=72), (n(B)=68), (n(C)=61), (n\(A\cap B\)=29), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26) और (n\(A\cap B\cap C\)=11) है। केवल (B) में आने वाले सदस्य कितने हैं?
केवल (B=68-29-24+11=26) है। दो प्रतिच्छेद घटाते समय केंद्र दो बार घट जाता है। / Only (B=68-29-24+11=26). While subtracting two intersections, the centre is removed twice.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों है, इसलिए तीनों (135-58-49=28) हैं। क्षेत्र आधारित प्रश्नों में भागों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (135-58-49=28). In region-based questions, keep the parts separate.
(78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), इसलिए (x=10) है। बीजगणितीय प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / (78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), so (x=10). In algebraic questions, apply the union formula directly.
संघ (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), इसलिए (x=10) है। अलग क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), so (x=10). The sum of disjoint regions directly gives the union.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(6,8)=24) के गुणज होंगे, जो (24,48,72) हैं। इसलिए संख्या (3) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(6,8)=24), namely (24,48,72). Hence the count is (3).
(5) के गुणज (18), (9) के गुणज (10), और (45) के गुणज (2) हैं, इसलिए संघ (18+10-2=26) है। साझा गुणजों को दोबारा न गिनें। / Multiples of (5) are (18), multiples of (9) are (10), and multiples of (45) are (2), so the union is (18+10-2=26). Do not count common multiples twice.
(7) के गुणज (12), (4) के गुणज (21), और (28) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (84-30=54) है। / Multiples of (7) are (12), multiples of (4) are (21), and multiples of (28) are (3), so the union is (30) and the complement is (84-30=54).
सम अभाज्य संख्या केवल (2) है, इसलिए \(A\cap B={2}\) है। प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ में पूरी होनी चाहिए। / The only even prime is (2), so \(A\cap B={2}\). In an intersection, both conditions must be satisfied together.
वर्ग संख्याएँ (1,4,9,16,25,36) हैं और (3) के गुणज वर्ग (9,36) हैं। इसलिए प्रतिच्छेद में (2) तत्व हैं। / Square numbers are (1,4,9,16,25,36), and the square multiples of (3) are (9,36). Therefore, the intersection has (2) elements.
\(B\cap C\) में (5) और (15) आते हैं, इसलिए संख्या (2) है। समुच्चय-निर्माण रूप में शर्तों को एक साथ जाँचें। / \(B\cap C\) contains (5) and (15), so the count is (2). In set-builder form, check the conditions together.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (46+41-75=12) है। जब दोनों का योग (U) से अधिक हो तो अतिव्यापन अनिवार्य होता है। / The minimum intersection is (46+41-75=12). When the sum of two sets exceeds (U), overlap is necessary.
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (58) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के भीतर हो सकता है। / The intersection cannot be larger than the smaller set, so the maximum is (58). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (91)। ऐसा तब संभव है जब \(B\subseteq A\) हो। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (91). This is possible when \(B\subseteq A\).
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (38-17=21) है। प्रतीक को वेन आरेख के केवल (B) क्षेत्र से जोड़कर देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so it is (38-17=21). Connect the notation with the only (B) region in the Venn diagram.
(n\(A\cap B\)=55-23=32), इसलिए (n\(A\cup B\)=55+62-32=85) है। पहले साझा भाग खोजें फिर संघ निकालें। / (n\(A\cap B\)=55-23=32), so (n\(A\cup B\)=55+62-32=85). First find the common part and then the union.
दोनों केवल क्षेत्रों का योग (98-35=63) है। यह \(A\triangle B\) की संख्या भी होती है। / The sum of the two only regions is (98-35=63). This is also the size of \(A\triangle B\).
A. (A) का वह भाग जो \(B\cap C\) में नहीं है/The part of (A) not in \(B\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
(A-\(B\cap C\)) में (A) के वे तत्व हैं जो \(B\cap C\) में नहीं हैं। वेन आरेख में घटाने वाला क्षेत्र हटाकर देखें। / (A-\(B\cap C\)) contains elements of (A) that are not in \(B\cap C\). In a Venn diagram, remove the subtracted region.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\), और (\(A\cup B\)-A=B-A) है। उपसमुच्चय में पहले संघ को सरल करें। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), and (\(A\cup B\)-A=B-A). In subset problems, simplify the union first.
यदि साझा भाग पूरा (A) है, तो (A) पूरी तरह (B) में है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / If the common part is the whole of (A), then (A) lies completely inside (B). Hence \(A\subseteq B\) is correct.
जब (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है, तो (B) को हटाने पर (A) वैसा ही रहता है। इसलिए (A-B=A) है। / When (A) and (B) have no common element, removing (B) from (A) leaves (A) unchanged. Therefore, (A-B=A).
संघ (A) जितना ही है, इसका अर्थ (B) से कोई नया क्षेत्र नहीं जुड़ रहा। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The union is the same size as (A), meaning (B) adds no new region. Therefore, \(B\subseteq A\).
असंबद्ध समुच्चयों में सममित अंतर पूरा संघ होता है, इसलिए (28+34=62) है। साझा भाग शून्य होने पर कुछ हटाना नहीं पड़ता। / For disjoint sets, the symmetric difference is the whole union, so (28+34=62). When the common part is zero, nothing needs to be removed.
कम से कम एक (120-24=96) है, इसलिए दोनों (66+58-96=28) हैं। पहले बाहर वाले भाग को हटाकर संघ निकालें। / At least one is (120-24=96), so both is (66+58-96=28). First remove the outside part to get the union.
एक परीक्षा में (150) विद्यार्थियों में (82) ने प्रश्न (A), (76) ने प्रश्न (B), (69) ने प्रश्न (C), (37) ने (A) और (B), (32) ने (B) और (C), (29) ने (C) और (A), तथा (15) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (82+76+69-37-32-29+15=144) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना न भूलें। / At least one is (82+76+69-37-32-29+15=144). In three sets, do not forget to add the centre at the end.
केवल \(A\cap B\) में (26-10=16) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल रहता है। / Only \(A\cap B\) has (26-10=16) elements. A two-set intersection includes the central three-set region too.
यदि केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (12), केवल \(C\cap A\) में (15) और \(A\cap B\cap C\) में (8) तत्व हैं, तो (n(\(A\cap B\)\cup\(B\cap C\)\cup\(C\cap A\))) कितना है?
यह क्षेत्र कम से कम दो समुच्चयों का भाग है, इसलिए (14+12+15+8=49) है। केंद्र को केवल एक बार जोड़ें। / This region is the part belonging to at least two sets, so (14+12+15+8=49). Add the centre only once.
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (31+27+25+42+11=136) है। वेन आरेख में कोई क्षेत्र दो बार न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (31+27+25+42+11=136). Do not add any region twice in a Venn diagram.
सूत्र में (128=70+65+60-27-24-22+x), इसलिए (x=6) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (128=70+65+60-27-24-22+x), we get (x=6). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (44-18-16=10) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (44-18-16=10).
A. वे तत्व जो (A) और (B) में हैं पर (C) में नहीं हैं/Elements in (A) and (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं, और फिर (A) से साझा भाग लिया जाता है। इसलिए यह केवल \(A\cap B\) वाला भाग है। / (B-C) has elements of (B) not in (C), and then the common part with (A) is taken. So it is the only \(A\cap B\) region.
परस्पर असंबद्ध होने पर संघ (18+24+29=71) है, इसलिए पूरक (90-71=19) है। असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा भाग नहीं घटता। / For mutually disjoint sets, the union is (18+24+29=71), so the complement is (90-71=19). In disjoint sets, no common part is subtracted.
सभी समुच्चय (C) के भीतर हैं, इसलिए उनका संघ (C) ही होगा। उपसमुच्चय श्रृंखला में सबसे बड़ा समुच्चय संघ देता है। / All sets are inside (C), so their union is (C). In a subset chain, the largest set gives the union.
सबसे छोटा समुच्चय (A) तीनों में समान रूप से मौजूद है। इसलिए \(A\cap B\cap C=A\) है। / The smallest set (A) is common to all three sets. Therefore, \(A\cap B\cap C=A\).
(A-B=0) का अर्थ (A) का कोई भाग (B) से बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / (A-B=0) means no part of (A) lies outside (B). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct.
सूत्र से (160=70+75+80-S+18), इसलिए (S=83) है। यहाँ (S) तीनों युग्म प्रतिच्छेदों का योग है। / Using the formula (160=70+75+80-S+18), so (S=83). Here (S) is the sum of the three pairwise intersections.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी क्षेत्रों की जानकारी नहीं मिलती। संघ के लिए केवल और साझा दोनों प्रकार के क्षेत्रों की जरूरत होती है। / These differences do not give information about all regions. The union needs both only-regions and common regions.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
दोनों कथन सही हैं और कारण बताता है कि प्रतिच्छेद क्यों घटाते हैं। वेन आरेख में साझा क्षेत्र की दोहरी गिनती पहचानना जरूरी है। / Both statements are true, and the reason explains why the intersection is subtracted. In Venn diagrams, identifying double counting of the common region is essential.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद (0) होता है, इसलिए संघ सीधा योग होता है। कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है। / For disjoint sets, the intersection is (0), so the union is the direct sum. The reason correctly explains the assertion.
किसी वेन आरेख में (n\(A\cup B\cup C\)=190), (n(\(A\cup B\cup C\)')=25), और ठीक दो समुच्चयों में (54) तत्व हैं। यदि (n(U)) पूछा जाए, तो उत्तर क्या होगा?
सार्वत्रिक समुच्चय (U) संघ और उसके बाहर वाले भाग का योग है, इसलिए (190+25=215) है। ठीक दो वाला आंकड़ा इस प्रश्न में अनावश्यक है। / The universal set (U) is the sum of the union and the outside region, so (190+25=215). The exactly-two data is extra here.
