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A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है/Only \({1}\in P(A)\) is correct
Explanation
Simple Explanation
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। लेकिन (1), (P(A)) का अवयव नहीं है, इसलिए \({1}\subseteq P(A)\) गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में वे सभी उपसमुच्चय होते हैं जो \(A\) के होते हैं। दिया हुआ \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) है, इसलिए \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का एक तत्व है। उस तत्व का एकल उपसमुच्चय (singleton) \(\{\{3,4\}\}\) निश्चित रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में होगा। बाकी विकल्प गलत क्यों हैं: \(\{3,4\}\) (विकल्प B) \(A\) का तत्व तो है परन्तु उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि 3 और 4 सीधे \(A\) के तत्व नहीं हैं; \(\{1,3\}\) और \(\{3\}\) में 3 मौजूद है जो \(A\) का तत्व नहीं है, अतः वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें — एकल ब्रेसेस के नेस्टिंग से ध्यान रखें (उदा. \(\{\{3,4\}\}\) बनाम \(\{3,4\}\)). / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Here \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), so the object \(\{3,4\}\) is an element of \(A\). Its singleton \(\{\{3,4\}\}\) is therefore a subset of \(A\) and must be in \(\mathcal{P}(A)\). Why the others are wrong: \(\{3,4\}\) (option B) is an element of \(A\) but not a subset of \(A\) because 3 and 4 are not elements of \(A\); \(\{1,3\}\) and \(\{3\}\) include 3 which is not in \(A\), so they are not subsets. Exam tip: always distinguish between 'element of' and 'subset of' — check whether the inner items themselves belong to \(A\) or are nested as an element.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में केवल उन सभी उपसमुच्चयों को शामिल किया जाता है जो \(A\) के हों। उपसमुच्चय हमेशा ब्रेसेस \(\{\;\}\) के रूप में लिखे जाते हैं (जैसे \(\{a\}\), \(\{c\}\))। \(a\) बिना ब्रेसेस के एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं, इसलिए यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व नहीं होगा। निकटतम ग़लत विकल्प \(\emptyset\) है — परन्तु शून्यसमुच्चय हर सेट का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\emptyset\) पावर सेट में होगा। परीक्षा टिप: सदस्य (element) और उपसमुच्चय (subset) अलग होते हैं — उपसमुच्चय पर हमेशा \(\{\}\) ब्रेसेस देखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists only of subsets of \(A\). Subsets are written with braces (for example \(\{a\}\), \(\{c\}\)). The symbol \(a\) without braces is an element of \(A\), not a subset, so it is not in \(\mathcal{P}(A)\). The closest distractor is \(\emptyset\): the empty set is a subset of every set, so it does belong to the power set. Exam tip: check for braces — \(\{x\}\) denotes a subset containing x, while x alone denotes an element.
\(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों का समूह। \(\{7\}\) स्पष्ट रूप से \(A\) का एक उपसमुच्चय है, अतः यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा। जबकि 7 स्वयं \(A\) का एक साधारण तत्व है, पर वह उपसमुच्चय नहीं है जब तक उसे सेट के रूप में न लिखा जाए (यानी \(\{7\}\) की तरह)। इसलिए केवल \(\{7\}\) सही उत्तर है। निकटतम ग़लत विकल्प (केवल 7) इस भ्रम पर आधारित है कि तत्व और उपसमुच्चय समान हैं—यह गलत है। परीक्षा टिप: ‘‘तत्व’’ और ‘‘उपसमुच्चय’’ के बीच अंतर पर ध्यान दें — एक तत्व को उपसमुच्चय बनाने के लिए उसे ब्रेसेज़ \(\{\ \}\) में लिखना ज़रूरी है। / \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), so \(\{7\}\) belongs to \(\mathcal{P}(A)\). The element 7 itself is an element of \(A\) but not a subset of \(A\), so 7 is not in \(\mathcal{P}(A)\). Thus only \(\{7\}\) is correct. The closest distractor (only 7) mistakes an element for a subset. Exam tip: always distinguish between an element x and the singleton set \(\{x\}\) when deciding membership of a power set.
A. क्योंकि हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है/because every set is a subset of itself
Explanation
Simple Explanation
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) से आशय उन सभी उपसमुच्चयों का समूह है जो \(A\) के हैं। किसी भी समुच्चय का नियमानुसार स्वयं उसका उपसमुच्चय होता है (यानी \(A\subseteq A\))। अतः \(\{7,8\}\), जो कि \(A\) के बराबर है, \(\mathcal{P}(A)\) का एक तत्व है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व 7 और 8 हैं, न कि समुच्चय \(\{7,8\}\) स्वयं; C और D स्पष्ट रूप से असत्य हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें—पहला समुच्चय के अंदर मौजूद सदस्य है, दूसरा समुच्चय का हिस्सा (जो स्वयं एक समुच्चय हो सकता है) है। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the collection of all subsets of \(A\). By definition every set is a subset of itself (\(A\subseteq A\)), so \(\{7,8\}\), being equal to \(A\), is one of the subsets and therefore an element of \(\mathcal{P}(A)\). Option B is wrong because the elements of \(A\) are 7 and 8, not the set \(\{7,8\}\) as a single element; options C and D are also false. Exam tip: always distinguish ‘element of a set’ from ‘subset of a set’ when answering power set questions.
({1,5}) (A) का उपसमुच्चय है लेकिन (A) का सीधा तत्व नहीं है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / ({1,5}) is a subset of (A) but not a direct element of (A). So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं: संख्याएँ \(1\), \(2\) और एक ही सदस्य के रूप में समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए \(\{1,2\}\in A\) सत्य है। \(\{1,2\}=A\) असत्य है क्योंकि \(A\) में दो संख्यात्मक तत्त्वों के अलावा स्वयं \(\{1,2\}\) भी एक अतिरिक्त तत्व है, अतः समतुल्य नहीं। \(3\in A\) गलत है क्योंकि \(3\) \(A\) का सदस्य नहीं है। \(\{1,2,3\}\subseteq A\) तब ही सत्य होता यदि \(3\in A\) होता, जो नहीं है। परीक्षण सुझाव: ब्रेसेस पर ध्यान दें — बड़े ब्रेसेस के अंदर क्या एक तत्त्व है और कितने तत्त्व हैं, यह लिखकर जाँचें। / The elements of \(A\) are: the numbers \(1\), \(2\), and the set \(\{1,2\}\) as a single element. Hence \(\{1,2\}\in A\) is true. \(\{1,2\}=A\) is false because \(A\) contains \(1\) and \(2\) as separate elements in addition to the element \(\{1,2\}\), so the two sets are not equal. \(3\in A\) is false since \(3\) is not an element of \(A\). \(\{1,2,3\}\subseteq A\) is false because \(3\) must belong to \(A\) for that subset relation to hold. Exam tip: explicitly list the elements of the set and check membership versus subset — element braces matter.
A = \(\{\emptyset\}\) का एकमात्र अवयव \(\emptyset\) है, इसलिए \(\emptyset \in A\) सत्य है। \(\emptyset = A\) गलत है क्योंकि \(\emptyset\) खाली सेट है जबकि A में एक अवयव मौजूद है — अर्थात् \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\)। \(A \in \emptyset\) भी गलत है क्योंकि खाली सेट के कोई अवयव नहीं होते। परीक्षा सुझाव: हमेशा "अवयव \(\in\)" और "उपसेट \(\subset/\subseteq\)" में फर्क याद रखें और \(\emptyset\) व \(\{\emptyset\}\) को अलग समझें। / A = \(\{\emptyset\}\) has exactly one element, namely \(\emptyset\). Therefore \(\emptyset \in A\) is true. \(\emptyset = A\) is false because the empty set has no elements while A does have one element, so \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\). \(A \in \emptyset\) is false since the empty set contains no elements. Exam tip: always distinguish element membership \(\in\) from subset relations \(\subset,\subseteq\) and remember \(\emptyset\) ≠ \(\{\emptyset\}\).
A. \({2}\in A\) और \({2}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({2}\in A\) and \({2}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({2}) (A) का अवयव है और 2 भी (A) में है, इसलिए \({2}\subset A\) भी सत्य है। \(\in\) और \(\subset\) का अंतर ध्यान रखें। / ({2}) is an element of (A), and 2 is also in (A), so \({2}\subset A\) is also true. Keep the difference between \(\in\) and \(\subset\) clear.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं और (2) स्वयं उपसमुच्चय नहीं है। ({2}) और (2) अलग हैं। / The elements of (P(A)) are subsets of (A), and (2) itself is not a subset. ({2}) and (2) are different.
पावर समुच्चय \(P(A)\) के अवयव वही उपसमुच्चय होते हैं जिनके सभी सदस्य मूल समुच्चय \(A\) के भी सदस्य हों। विकल्प B, {2,3}, में दिए गए दोनों तत्व 2 और 3, दोनों ही \(A\) के सदस्य हैं, अतः {2,3} एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (2) केवल एक तत्व है न कि उपसमुच्चय — पावर सेट के तत्व हमेशा सेट होते हैं। विकल्प C ({4}) में 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, अतः यह उपसमुच्चय नहीं है। विकल्प D ({{1}}) का एकमात्र तत्व {1} है, जबकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं; इसलिए {{1}} भी \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षात्मक टिप: पावर सेट के सदस्य हमेशा ब्रेसेज़ में लिखे गए उपसमुच्चय होते हैं; पहले जाँचें कि विकल्प में ब्रेसेज़ हैं और उसके भीतर के सभी सदस्य \(A\) में मौजूद हैं। / Elements of the power set \(P(A)\) are precisely the subsets of the original set \(A\). Option B, {2,3}, contains only elements 2 and 3 which are in \(A\), so {2,3} is a subset of \(A\) and hence an element of \(P(A)\). Option A (2) is an element of \(A\) but not a subset — elements of a power set must themselves be sets. Option C ({4}) fails because 4 is not in \(A\), so {4} is not a subset. Option D ({{1}}) is a set whose single element is the set {1}, not the number 1, so it is not a subset of \(A\). Exam tip: distinguish between 'element' and 'subset' — look for braces around the correct type of members and verify membership in \(A\).
(B) का एकमात्र अवयव पूरा समुच्चय ({1,2}) है। उपसमुच्चय और अवयव के चिन्ह में सावधानी रखें। / The only element of (B) is the whole set ({1,2}). Be careful with subset and element symbols.
A के सदस्य दो वस्तुएँ हैं: रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) और संख्या 1. इसीलिए \(\varnothing\in A\) सत्य है। विकल्प B गलत है क्योंकि A का तत्व 1 है पर {1} (यानी 1 का एक सेट) A का तत्व नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि कोई भी तत्व रिक्त समुच्चय का सदस्य नहीं होता। विकल्प D गलत है क्योंकि {\varnothing,1} बराबर A के है, इसलिए वह A का proper subset नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: सदैव "तत्व (element)" और "उपसमुच्चय (subset)" में अंतर स्पष्ट कर लें। / The set A contains exactly two elements: the empty set \(\varnothing\) and the number 1. Therefore \(\varnothing\in A\) is true. Option B is false because although 1\in A, the set {1} is not an element of A. Option C is false since nothing belongs to the empty set. Option D is false because {\varnothing,1} equals A, so it is not a proper subset of A. Exam tip: always distinguish between an element \(\in\) and a subset \(\subset or \subseteq\) when checking statements.
A. \(1\in A\) और \(\{1\}\subseteq A\)/\(1\in A\) and \(\{1\}\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है क्योंकि 1 एक अवयव है — इसे लिखते हैं \(1\in A\)। वहीँ \(\{1\}\) एक समुच्चय (singleton) है और वह A का उपसमुच्चय है, इसलिए \(\{1\}\subseteq A\)। विकल्प B में प्रतीकों का उल्टा उपयोग है: \(1\subseteq A\) गलत है क्योंकि 1 एक संख्या (तत्त्व) है, समुच्चय नहीं; और \(\{1\}\in A\) भी गलत है क्योंकि \(\{1\}\) A का अवयव नहीं बल्कि उपसमुच्चय है। C गलत है क्योंकि \(\{1\}\neq A\) (A में 2 और 3 भी हैं)। D गलत है क्योंकि 4 A में नहीं है, अतः \(\{1,4\}\) A का उपसमुच्चय नहीं बन सकता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा \(\in\) (element of) और \(\subseteq\) (subset of) में फर्क पहचानें — एकल संख्या और singleton set अलग चीजें हैं। / Option A is correct because 1 is an element of A, written \(1\in A\), and \(\{1\}\) (the singleton set containing 1) is a subset of A, so \(\{1\}\subseteq A\). Option B incorrectly swaps the relations: \(1\subseteq A\) is meaningless here since 1 is not a set, and \(\{1\}\in A\) is false because the singleton is not an element of A. Option C is false because \(\{1\}\neq A\) (A also contains 2 and 3). Option D is false because 4 is not in A, so \(\{1,4\}\) cannot be a subset of A. Exam tip: clearly distinguish between an element (\(\in\)) and a subset (\(\subseteq\)); treat singletons as sets, not as plain numbers.
({3}) पूरा एक अवयव है जबकि (3) अलग से अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / ({3}) is one whole element while (3) is not separately listed. Keep element and subset different.
किसी समुच्चय X के लिए X ⊆ A तभी होता है जब X का हर अवयव A में हो। {1,2} के दोनों अवयव 1 और 2 A में हैं, इसलिए {1,2} ⊆ A सत्य है। {3} का अवयव 3 भी A में है, अतः {3} ⊆ A सत्य है। शून्य समुच्चय ∅ हर समुच्च्य का भाग होता है, इसलिए ∅ ⊆ A हमेशा सत्य है। परंतु 4, A = {1,2,3} का अवयव नहीं है, इसलिए {4} ⊆ A गलत है। परीक्षा‑सूत्र: किसी सेट के सबसेट की जाँच करते समय पहले उसके अवयवों की उपस्थिति जांच लें और शून्य सेट को हमेशा सबसेट मानें। / For X ⊆ A to be true every element of X must belong to A. Both 1 and 2 are in A, so {1,2} ⊆ A is true; 3 is in A so {3} ⊆ A is true. The empty set ∅ is a subset of every set, so ∅ ⊆ A is true. But 4 is not an element of A = {1,2,3}, so {4} ⊆ A is false. Exam tip: check element membership first and remember that ∅ is always a subset.
A. \(\varnothing\in A\)/\(\varnothing\) belongs to (A)
Step 1
Concept
किसी समुच्चय में जो चीज सीधे अवयव के रूप में लिखी हो, वह उस समुच्चय की सदस्य होती है। / Anything written directly as an element of a set belongs to that set.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(\varnothing\) सीधे (A) के अंदर लिखा है, इसलिए \(\varnothing\in A\) सही है। / Here \(\varnothing\) is directly listed inside (A), so \(\varnothing\in A\) is correct.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) में अंतर ध्यान से समझें। / Exam tip: carefully distinguish between \(\varnothing\) and \({\varnothing}\).
(A) के सदस्य (1), (2) और ({3}) हैं। / The elements of (A) are (1), (2), and ({3}).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (3) अलग सदस्य नहीं है, बल्कि ({3}) पूरा एक सदस्य है। / Here (3) alone is not an element; the whole set ({3}) is one element.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय के अंदर लिखे छोटे समुच्चय को सदस्य और उपसमुच्चय के रूप में सावधानी से पहचानें। / When a set is written inside another set, distinguish element notation from subset notation carefully.
