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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Hard Level 11

यदि \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) हो, तो \(\mathcal{P}(A)\) में निम्न में से कौन सा तत्व अवश्य होगा?

If \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), which of the following must be an element of \(\mathcal{P}(A)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\{\{3,4\}\}\)

Explanation

Simple Explanation

घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में वे सभी उपसमुच्चय होते हैं जो \(A\) के होते हैं। दिया हुआ \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) है, इसलिए \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का एक तत्व है। उस तत्व का एकल उपसमुच्चय (singleton) \(\{\{3,4\}\}\) निश्चित रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में होगा। बाकी विकल्प गलत क्यों हैं: \(\{3,4\}\) (विकल्प B) \(A\) का तत्व तो है परन्तु उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि 3 और 4 सीधे \(A\) के तत्व नहीं हैं; \(\{1,3\}\) और \(\{3\}\) में 3 मौजूद है जो \(A\) का तत्व नहीं है, अतः वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें — एकल ब्रेसेस के नेस्टिंग से ध्यान रखें (उदा. \(\{\{3,4\}\}\) बनाम \(\{3,4\}\)). / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Here \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), so the object \(\{3,4\}\) is an element of \(A\). Its singleton \(\{\{3,4\}\}\) is therefore a subset of \(A\) and must be in \(\mathcal{P}(A)\). Why the others are wrong: \(\{3,4\}\) (option B) is an element of \(A\) but not a subset of \(A\) because 3 and 4 are not elements of \(A\); \(\{1,3\}\) and \(\{3\}\) include 3 which is not in \(A\), so they are not subsets. Exam tip: always distinguish between 'element of' and 'subset of' — check whether the inner items themselves belong to \(A\) or are nested as an element.

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यदि \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) हो, तो \(\mathcal{P}(A)\) में निम्न में से कौन सा तत्व अवश्य होगा? / If \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), which of the following must be an element of \(\mathcal{P}(A)\)?

Correct Answer: A. \(\{\{3,4\}\}\). Explanation: घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में वे सभी उपसमुच्चय होते हैं जो \(A\) के होते हैं। दिया हुआ \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) है, इसलिए \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का एक तत्व है। उस तत्व का एकल उपसमुच्चय (singleton) \(\{\{3,4\}\}\) निश्चित रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में होगा। बाकी विकल्प गलत क्यों हैं: \(\{3,4\}\) (विकल्प B) \(A\) का तत्व तो है परन्तु उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि 3 और 4 सीधे \(A\) के तत्व नहीं हैं; \(\{1,3\}\) और \(\{3\}\) में 3 मौजूद है जो \(A\) का तत्व नहीं है, अतः वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें — एकल ब्रेसेस के नेस्टिंग से ध्यान रखें (उदा. \(\{\{3,4\}\}\) बनाम \(\{3,4\}\)). / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Here \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), so the object \(\{3,4\}\) is an element of \(A\). Its singleton \(\{\{3,4\}\}\) is therefore a subset of \(A\) and must be in \(\mathcal{P}(A)\). Why the others are wrong: \(\{3,4\}\) (option B) is an element of \(A\) but not a subset of \(A\) because 3 and 4 are not elements of \(A\); \(\{1,3\}\) and \(\{3\}\) include 3 which is not in \(A\), so they are not subsets. Exam tip: always distinguish between 'element of' and 'subset of' — check whether the inner items themselves belong to \(A\) or are nested as an element.