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({2}) स्वयं (A) का अवयव है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है और (P(A)) का अवयव है। परतों को गिनना जरूरी है। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
({2,3}) स्वयं (A) का तत्व है, इसलिए ({{2,3}}) (A) का subset है। परीक्षा में nested element को एक object मानें। / ({2,3}) itself is an element of (A), so ({{2,3}}) is a subset of (A). In exams, treat a nested element as one object.
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। परीक्षा में \(\varnothing\), (1), और ({1}) को अलग मानें। / The set (A) has (3) distinct elements, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). In exams, treat \(\varnothing\), (1), and ({1}) as different.
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग सदस्य हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। nested sets को अलग तत्व मानकर गिनना चाहिए। / The set (A) has (3) distinct members, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). Nested sets should be counted as separate elements.
समुच्चय (A) में दो अलग सदस्य \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। परीक्षा में nested elements को गिनते समय सावधान रहें। / The set (A) has two distinct members \(\varnothing\) and \({\varnothing}\), so (|\mathcal{P}(A)|=22=4). In exams, be careful while counting nested elements.
({2}) स्वयं (A) का एक तत्व है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है। परीक्षा में तत्व और एकल समुच्चय में फर्क करें। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A). In exams, distinguish an element from a singleton set.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में वे सभी उपसमुच्चय होते हैं जो \(A\) के होते हैं। दिया हुआ \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) है, इसलिए \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का एक तत्व है। उस तत्व का एकल उपसमुच्चय (singleton) \(\{\{3,4\}\}\) निश्चित रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में होगा। बाकी विकल्प गलत क्यों हैं: \(\{3,4\}\) (विकल्प B) \(A\) का तत्व तो है परन्तु उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि 3 और 4 सीधे \(A\) के तत्व नहीं हैं; \(\{1,3\}\) और \(\{3\}\) में 3 मौजूद है जो \(A\) का तत्व नहीं है, अतः वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें — एकल ब्रेसेस के नेस्टिंग से ध्यान रखें (उदा. \(\{\{3,4\}\}\) बनाम \(\{3,4\}\)). / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Here \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), so the object \(\{3,4\}\) is an element of \(A\). Its singleton \(\{\{3,4\}\}\) is therefore a subset of \(A\) and must be in \(\mathcal{P}(A)\). Why the others are wrong: \(\{3,4\}\) (option B) is an element of \(A\) but not a subset of \(A\) because 3 and 4 are not elements of \(A\); \(\{1,3\}\) and \(\{3\}\) include 3 which is not in \(A\), so they are not subsets. Exam tip: always distinguish between 'element of' and 'subset of' — check whether the inner items themselves belong to \(A\) or are nested as an element.
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
({2}), (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{2}}) घात समुच्चय में होगा। सेट और उसके तत्व में अंतर रखें। / ({2}) is an element of (A), so its singleton subset ({{2}}) is in the power set. Keep a clear difference between a set and its element.
(1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है बल्कि ({1}) तत्व है। इसलिए ({0,1}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (1) itself is not an element of (A); ({1}) is an element. So ({0,1}) is not a subset of (A).
यहाँ A के तत्व दो हैं: संख्या 1 और एक एकल सदस्य जिसका चेहरा \(\{2\}\) है। ध्यान दें कि \(2\) और \(\{2\}\) अलग-अलग चीज़ें हैं; \(\{2\}\) एक तत्व के रूप में गिना गया है, न कि 2 का वैयक्तिक तत्व। यदि किसी सेट में \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चय की संख्या \(2^2=4\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 3 है — यह तब होगा जब कोई गलती से भीतरी संख्या \(2\) को अलग तत्व मान ले, जो गलत है। परीक्षा संकेत: हर सदस्य को यह जांचकर गिनें कि वह सामान्य तत्व है या एक ही तत्व वाला उपसमुच्चय। / Set A has two elements: the number 1 and the single element set \(\{2\}\). Note that 2 and \(\{2\}\) are different — \(\{2\}\) is counted as one element, not as the element 2 separately. For a set with \(n\) elements there are \(2^n\) subsets. Here \(n=2\), so the number of subsets is \(2^2=4\). The closest distractor 3 arises if someone mistakenly treats both 2 and \(\{2\}\) as separate elements; that is incorrect. Exam tip: always check whether an item is an element or a subset before counting elements.
समुच्चय \(A=\{\{1\},\,2\}\) में दो तत्व हैं: पहला तत्व है \(\{1\}\) (यह स्वयं एक सेट है) और दूसरा तत्व है संख्या \(2\)। संख्या \(1\) केवल \(\{1\}\) के अंदर मौजूद है और सीधे \(A\) का सदस्य नहीं है। इसलिए \(n(A)=2\)। गलत उत्तर (3) होने की आम गलती यह है कि लोग \(1\), \(\{1\}\) और \(2\) को तीन अलग तत्व मान लेते हैं — यह गलत है। परीक्षा टिप: किसी सेट की संख्या गिनते समय केवल सीधे उपस्थित सदस्यों को गिनें, नेस्टेड (nested) सदस्यों को नहीं। / In the set \(A=\{\{1\},\,2\}\) there are two elements: the element \(\{1\}\) (which is itself a set) and the element \(2\). The number \(1\) is inside \(\{1\}\) and is not a direct member of \(A\). Hence \(n(A)=2\). A common mistake giving the answer 3 is to count \(1\), \(\{1\}\) and \(2\) as three separate elements — that is incorrect. Exam tip: count only the elements that are directly present in the set, not elements nested inside those elements.
A. \(A\in B\) और \(A\subseteq B\) दोनों/Both \(A\in B\) and \(A\subseteq B\)
Explanation
Simple Explanation
(B) में \(A=\{1,2\}\) सदस्य के रूप में है और (1,2) भी (B) में हैं। इसलिए दोनों संबंध सही हैं। / (B) contains \(A=\{1,2\}\) as an element, and it also contains (1,2). Hence both relations are true.
यहाँ ({2}) एक सदस्य के रूप में मौजूद है, लेकिन (2) स्वयं सदस्य नहीं है। नेस्टेड सेट में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण हैं। / Here ({2}) is present as one element, but (2) itself is not an element. Brackets are very important in nested sets.
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
({0}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है। घात समुच्चय के सदस्य हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({0}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
(1) और ({3}) दोनों (A) के अवयव हैं। (3) स्वयं (A) में नहीं है इसलिए उससे बने विकल्प गलत हो सकते हैं। / Both (1) and ({3}) are elements of (A). Since (3) itself is not in (A), options using it may be false.
({3}) पूरा एक अवयव है जबकि (3) अलग से अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / ({3}) is one whole element while (3) is not separately listed. Keep element and subset different.
(A) के सदस्य (1), (2) और ({3}) हैं। / The elements of (A) are (1), (2), and ({3}).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (3) अलग सदस्य नहीं है, बल्कि ({3}) पूरा एक सदस्य है। / Here (3) alone is not an element; the whole set ({3}) is one element.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय के अंदर लिखे छोटे समुच्चय को सदस्य और उपसमुच्चय के रूप में सावधानी से पहचानें। / When a set is written inside another set, distinguish element notation from subset notation carefully.
समुच्चय (H) के अवयव (1,2,{3,4},5) हैं। / The elements of (H) are (1,2,{3,4},5).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ({3,4}) पूरा समुच्चय एक अवयव है, पर (3) और (4) अलग-अलग अवयव नहीं हैं। / Here ({3,4}) is one complete element, while (3) and (4) are not separate elements of (H).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय के अंदर बने समुच्चय को एक अवयव की तरह देखें। / Treat a set inside another set as a single element.
