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(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) याद रखें। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Remember (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) for exams.
({x}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में सीधे तत्व नहीं बल्कि उपसमुच्चय आते हैं। / ({x}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets not direct elements.
पूरक हमेशा किसी दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में निकाला जाता है। बिना (U) के पूरक स्पष्ट नहीं होता। / A complement is always found with respect to a given universal set. Without (U) the complement is not clear.
पावर सेट की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) पर \(2^{n}\) के रूप में होती है, यानी \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\)। यहाँ \(2^{n}=16\) दिया है, और \(16=2^{4}\) है, अतः \(n(A)=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि \(8=2^{3}\) होता, जो कि \(16\) नहीं है। परीक्षा युक्ति: ऐसे प्रश्नों में दी हुई संख्या को आधार 2 की घात में लिखकर सीधे n निकालें (या लागू करें \(n=\log_{2}(\text{size})\))। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\), i.e. \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\). Given \(2^{n}=16\) and since \(16=2^{4}\), we get \(n(A)=4\). Option D (8) is incorrect because \(8=2^{3}\), not 16. Exam tip: write the given power-set size as a power of 2 or use \(n=\log_{2}(\text{size})\) to find \(n\) quickly.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({3}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{3}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({3}). So the power set is \({\emptyset,{3}}\).
\(\{1,9\})\) में मौजूद दोनों तत्त्व (1 और 9) सेट \(A\) में भी हैं, अतः \(\{1,9\}\subseteq A\)। पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय तत्व के रूप में होते हैं, इसलिए \(\{1,9\}\in \mathcal{P}(A)\) सत्य है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं न कि उपसमुच्चय; विकल्प C निराधार है क्योंकि युनिवर्सल सेट \(U\) को निर्दिष्ट नहीं किया गया है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(\{1,9\}\) वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट और उपसमुच्चय के बीच फर्क स्पष्ट रखें — उपसमुच्चय होने पर वह पावर सेट का तत्व होता है। / Both elements 1 and 9 of \(\{1,9\}\) are members of \(A\), so \(\{1,9\}\subseteq A\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\) as an element, therefore \(\{1,9\}\in\mathcal{P}(A)\) is true. Option A is wrong because elements of \(A\) are numbers, not subsets; option C is irrelevant since the universal set \(U\) is not specified; option D is false because \(\{1,9\}\) is indeed a subset of \(A\). Exam tip: remember that being a subset makes a set an element of the power set.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)) में (1) तत्व है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)) has (1) element.
यहाँ \(A\) के दो तत्व हैं: \(\emptyset\) और \(1\)। इसलिए \(n(A)=2\)। किसी भी समुच्चय के लिए शक्ति समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या की सामान्य सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) है, अतः \(2^{2}=4\)। गलत विकल्पों का स्पष्टीकरण: (B) = 2 चुनने वाले अक्सर \(n(A)\) (तत्वों की संख्या) को ही उत्तर समझ लेते हैं, जबकि प्रश्न शक्ति समुच्चय की संख्या पूछ रहा है; (D) = 8 तब गलत होगा जब कोई त्रुटिवश A में तीन तत्व मान ले (क्योंकि \(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: पहले स्पष्ट रूप से \(n(A)\) लिखें और फिर हमेशा \(2^{n(A)}\) लागू करें; ध्यान रखें कि \(\emptyset\) यदि A का सदस्य है तो वह भी एक सामान्य तत्व माना जाएगा। / Set \(A\) has two elements: \(\emptyset\) and \(1\), so \(n(A)=2\). The number of subsets (power set size) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(2^{2}=4\). Why the distractors are wrong: option B (2) confuses the count of elements of \(A\) with the count of subsets; option D (8) would be correct only if \(A\) had three elements (since \(2^3=8\)). Quick exam tip: always compute \(n(A)\) first, then use \(2^{n(A)}\); also remember that an occurrence of \(\emptyset\) inside a set is treated as a single element, not as “no element”.
B. चश्मा न पहनने वाले कक्षा के विद्यार्थी/class students not wearing glasses
Explanation
Simple Explanation
पूरक में उसी (U) के अंदर वे तत्व आते हैं जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं। यहां (G') चश्मा न पहनने वाले विद्यार्थियों को दिखाता है। / A complement contains elements inside (U) that are not in the given set. Here (G') means students not wearing glasses.
समुच्चय \(A\) में चार तत्व हैं: \(p,q,r,s\)। प्रत्येक तत्व से केवल एक एकल उपसमुच्चय बनता है (जैसे \(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)) इसलिए एक‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या 4 है। विकल्प D (8) भ्रम में डाल सकता है — यह \(2^3\) जैसा कोई संबंध दर्शाता है; जबकि कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, एक‑तत्व वाले ही 4 हैं। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के एक‑तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा सेट के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / Set \(A\) has four elements: \(p,q,r,s\). Each element produces exactly one singleton subset (\(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)), so there are 4 singleton subsets. Option D (8) is incorrect — 8 is not the number of singletons (total subsets are \(2^4=16\)). Exam tip: the number of singleton subsets equals the number of elements in the set (n singletons for an n‑element set).
({1,4}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि (4) (A) में नहीं है। इसलिए यह घात समुच्चय में नहीं आएगा। / ({1,4}) is not a subset of (A) because (4) is not in (A). So it will not be in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी लिखें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
A में कुल 4 तत्व हैं। किसी भी दो-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 4 गलत है — वह \(\binom{4}{1}=4\) के कारण एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है; विकल्प 8 भी गलत है और कभी-कभी गलत तरीके से \(2^{n-1}\) जैसा फॉर्मूला लागू करने पर आता है। परीक्षा टिप: दो-तत्व के लिए सीधे \(nC2=\dfrac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Set A has 4 elements. The number of 2-element subsets is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\). So 6 is correct. Option 4 is incorrect — it equals \(\binom{4}{1}=4\), the number of singletons; option 8 is also incorrect and often arises from misapplying formulas like \(2^{n-1}\). Exam tip: remember the shortcut \(nC2= n(n-1)/2\) for two-element subsets.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) होता है। इसे \(A\subseteq A\) से समझें। / Every set is a subset of itself so \(A\in\mathcal{P}(A)\). Understand it from \(A\subseteq A\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं इसलिए ({2}) सही है। (2) (A) का तत्व है लेकिन घात समुच्चय का तत्व नहीं। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets so ({2}) is correct. (2) is an element of (A) but not of the power set.
चार‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या का अर्थ है कि पाँच में से किन चार तत्वों को चुना जा रहा है। यह संयोजन से दिया जाता है: \(\binom{5}{4}=5\)। वैकल्पिक दृष्टिकोण: हर चार‑तत्व वाले उपसमुच्चय के लिए एक तत्व छोड़ा जाता है, इसलिए 5 अलग‑अलग तरीके हैं। निकटवर्ती विक्षेपक 10 है — यह \(\binom{5}{2}=10\) है (दो‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या) और इसलिए गलत है। परिक्षा‑टिप: यदि आप \(\binom{n}{r}\) याद नहीं रखते, तो सोचें कि चार चुनना मतलब एक छोड़ना है — चुनने के आसान तरीके गिनना उपयोगी होता है। / The number of four‑element subsets equals the number of ways to choose 4 elements from 5: \(\binom{5}{4}=5\). Equivalently, choosing 4 to include is the same as choosing 1 to exclude, so there are 5 choices. The closest distractor 10 is \(\binom{5}{2}=10\), the number of 2‑element subsets, hence incorrect. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) or think in terms of which elements you leave out to count quickly.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
पहले परिशिष्ट निकालें: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), इसमें 3 तत्व हैं। किसी समुच्चय S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के तत्वों की संख्या हमेशा \(2^{|S|}\) होती है, अतः \(\mathcal{P}(A')\) में \(2^3=8\) तत्व होंगे। विकल्प (4) गलत है क्योंकि यह तत्वों की संख्या का आधा है; विकल्प (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) का मान है — यानी किसी ने गलती से परिशिष्ट का आकार 4 मान लिया होगा। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा परिशिष्ट \(A'\) की संख्या गिनें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{|A'|}\) लगाएँ। / First find the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), which has 3 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(S)\) of any set S is \(2^{|S|}\), so \(\mathcal{P}(A')\) has \(2^3=8\) elements. Option 4 is incorrect (too small); option 16 is incorrect because it equals \(2^4\), implying an incorrect complement size of 4. Exam tip: always count |A'| first, then compute \(2^{|A'|}\).
(A) में दो तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। अंदर के कोष्ठकों को देखकर तत्व गिनें। / Set (A) has two elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Count elements carefully using brackets.
पहले (A') निकालते हैं जो ({1,4,5}) है। फिर (\mathcal{P}(A')) इसी समुच्चय के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'), which is ({1,4,5}). Then (\mathcal{P}(A')) is made from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए किसी भी समुच्चय में ऐसा उपसमुच्चय एक ही होता है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). So any set has exactly one such subset.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,ग}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of ({a,c}) are in (A), so it is a subset. Elements of a power set are subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
(1) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय हैं। / Keep (1) fixed and choose or not choose the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(15) को न लेकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में हटे हुए तत्व के बाद बचे तत्व गिनें। / Without (15), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. In exams count the elements left after removing the fixed element.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल वही पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set itself. So the number is (1).
A. \({1}\subseteq A\) और \({1}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1}\subseteq A\) and \({1}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए वह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (1) को (\mathcal{P}(A)) का तत्व न मानें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (1) as an element of (\mathcal{P}(A)).
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(2) और (4) को रखना अनिवार्य है और (6) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (2) and (4) is compulsory and (6) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं और (A) में सम अंक हैं। बचे हुए विषम अंक (1,3,5,7,9) हैं। / All digits are from (0) to (9), and (A) contains even digits. The remaining odd digits are (1,3,5,7,9).
1 को समाहित करना और 4 को न समाहित करना दोनों निश्चित हैं। बचे हुए तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के पास होने/न होने के दो-दो विकल्प हैं, इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) होगी। नज़दीकी भ्रम (विकल्प D = 8): यदि कोई 4 मान लेता है तो वह तीन स्वतंत्र तत्व मान कर \(2^3=8\) गिन सकता है — पर यहाँ 4 अंशित नहीं होना तय है, इसलिए एक विकल्प घट जाता है। परीक्षा टिप: पहले शामिल/बहिष्कृत किए हुए तत्व तय कर लें, फिर शेष तत्वों के सबसमुच्चयों की गिनती करें। / Including 1 and excluding 4 are fixed conditions. The remaining elements 2 and 3 are free, each having 2 choices (in or out), so the number of subsets is \(2^2=4\). Closest distractor (option D = 8) arises from mistakenly treating three elements as free and counting \(2^3=8\), but since 4 is fixed excluded, only two elements are free. Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements.
(A) में दो अलग तत्व \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। / (A) has two distinct elements \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=22=4).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। एक तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of one element subsets is (4).
