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दो तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में (\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / The number of two-element subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, remember elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets.
\(A\cap B={3,4}\) है, इसलिए इसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। पहले प्रतिच्छेद निकालें, फिर घात समुच्चय की संख्या लगाएँ। / \(A\cap B={3,4}\), so its power set has \(2^2=4\) elements. First find the intersection, then apply the power set formula.
यदि \(|A| = n\) हो तो पावर सेट की संख्या \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) होती है। दिया गया है कि \(|\mathcal{P}(A)| = 128\)। क्योंकि \(128 = 2^7\), अतः \(|A| = 7\)। निकट का भ्रमित करने वाला विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि \(2^8 = 256\) होता है; विकल्प 6 भी गलत है क्योंकि \(2^6 = 64\)। परीक्षा-सुझाव: छोटे घातों \(2^n\) की मानों की एक सूची याद रखें (जैसे 64, 128, 256) — यह शीघ्र पहचान में मदद करती है। / If \(|A| = n\), then the power set has \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\) elements. Given \(|\mathcal{P}(A)| = 128\) and since \(128 = 2^7\), it follows that \(|A| = 7\). The tempting option 8 is incorrect because \(2^8 = 256\), and 6 is wrong because \(2^6 = 64\). Exam tip: memorize small powers of 2 (e.g. 64, 128, 256) to quickly identify \(n\).
(A) में अभाज्य नहीं होने वाली संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में (U) की अभाज्य संख्याएँ आएँगी। ध्यान रखें कि (1) अभाज्य नहीं होता। / (A) contains the numbers that are not prime, so (A') contains the prime numbers of (U). Remember that (1) is not prime.
पूरक (A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। सार्वत्रिक समुच्चय हमेशा पहले देखें। / The complement (A') contains elements of (U) that are not in (A). Always check the universal set first.
(a) निश्चित है और (d,e) स्वतंत्र हैं। (b,c) के लिए कुल (4) विकल्पों में से दोनों साथ वाला विकल्प हटेगा, इसलिए \(3\times 2^2=12\)। / (a) is fixed and (d,e) are free. For (b,c), remove the one case where both are chosen, so the count is \(3\times 2^2=12\).
\({\emptyset,2}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। (1) और ({2}), (A) के तत्व नहीं हैं। / \({\emptyset,2}\) is a subset of (A), so it is an element of the power set. (1) and ({2}) are not elements of (A).
(\mathcal{P}(A)) के एकल तत्व वे उपसमुच्चय हैं जिनमें (1) तत्व है। उनकी संख्या \(\binom{5}{1}=5\) है। / Singleton elements of (\mathcal{P}(A)) are one-element subsets of (A). Their number is \(\binom{5}{1}=5\).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में केवल उन सभी उपसमुच्चयों को शामिल किया जाता है जो \(A\) के हों। उपसमुच्चय हमेशा ब्रेसेस \(\{\;\}\) के रूप में लिखे जाते हैं (जैसे \(\{a\}\), \(\{c\}\))। \(a\) बिना ब्रेसेस के एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं, इसलिए यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व नहीं होगा। निकटतम ग़लत विकल्प \(\emptyset\) है — परन्तु शून्यसमुच्चय हर सेट का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\emptyset\) पावर सेट में होगा। परीक्षा टिप: सदस्य (element) और उपसमुच्चय (subset) अलग होते हैं — उपसमुच्चय पर हमेशा \(\{\}\) ब्रेसेस देखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists only of subsets of \(A\). Subsets are written with braces (for example \(\{a\}\), \(\{c\}\)). The symbol \(a\) without braces is an element of \(A\), not a subset, so it is not in \(\mathcal{P}(A)\). The closest distractor is \(\emptyset\): the empty set is a subset of every set, so it does belong to the power set. Exam tip: check for braces — \(\{x\}\) denotes a subset containing x, while x alone denotes an element.
B. संयुक्त संख्याएँ और (1)/Composite numbers and (1)
Explanation
Simple Explanation
(A), (U) में उपस्थित अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ रहेंगी। / (A) is the set of prime numbers present in (U). So the complement contains (1) and composite numbers.
दिए गए घात समुच्चय में मूल समुच्चय का सबसे बड़ा उपसमुच्चय ({p,q}) है। इसलिए \(A=\{p,q\}\)। / The largest subset shown in the power set is ({p,q}), which is the original set. Hence \(A=\{p,q\}\).
A. बड़ा समुच्चय छोटा पूरक देता है/A larger set gives a smaller complement
Explanation
Simple Explanation
जब \(A\subseteq B\), तो (B) के बाहर की हर वस्तु (A) के बाहर भी होगी। पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है। / When \(A\subseteq B\), everything outside (B) is also outside (A). Inclusion reverses under complement.
कम से कम (3) तत्वों वाले उपसमुच्चय (3) या (4) तत्वों के होंगे। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\) है। / Subsets with at least (3) elements have (3) or (4) elements. The number is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=5\).
({2}), (A) का एक तत्व है, इसलिए उसका एकल उपसमुच्चय ({{2}}) घात समुच्चय में होगा। सेट और उसके तत्व में अंतर रखें। / ({2}) is an element of (A), so its singleton subset ({{2}}) is in the power set. Keep a clear difference between a set and its element.
A. सभी वास्तविक संख्याएँ सिवाय (-2) और (2)/All real numbers except (-2) and (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=4\) के हल (-2) और (2) हैं। \(\mathbb{R}\) में पूरक इन दोनों को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। / The solutions of \(x^2=4\) are (-2) and (2). In \(\mathbb{R}\), the complement is all real numbers except these two.
यदि \(A=\emptyset\), तो (\mathcal{P}(A)={\emptyset}) है। इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) तत्व हैं। / If \(A=\emptyset\), then (\mathcal{P}(A)={\emptyset}). Hence (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) elements.
(1) को निश्चित रखकर शेष (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाली गिनती में बाकी तत्व स्वतंत्र होते हैं। / Fix (1), and the remaining two elements may be chosen or not chosen in \(2^2=4\) ways. With a fixed element, the rest are independent.
यदि \(A\subseteq B\), तो (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चयों में भी यही समावेशन रहता है। / If \(A\subseteq B\), every subset of (A) is also a subset of (B). So the same inclusion holds for power sets.
पॉवर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व वास्तव में \(A\) के उपसमुच्चय हैं। उन उपसमुच्चयों की गिनती करें जिनके सदस्यों का योग 3 है: \(\{3\}\) (एकल), \(\{0,3\}\) (0 जोड़ने से योग नहीं बदलता), \(\{1,2\}\) और \(\{0,1,2\}\)। ये चार उपसमुच्चय हैं इसलिए उत्तर 4 है। निकटतम विक्षेपक 3 इसलिए गलत है क्योंकि उसमें किसी एक उपसमुच्चय (उदा. \(\{0,1,2\}\)) की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा टिप: 0 को अलग से देखें — 0 किसी भी उपसमुच्चय में जोड़ने पर योग नहीं बदलता, इसलिए बिना 0 वाले समाधान में 0 जोड़ने से अतिरिक्त उपसमुच्चय बनते हैं। / Elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of \(A\). List subsets whose elements sum to 3: \(\{3\}\), \(\{0,3\}\) (adding 0 does not change the sum), \(\{1,2\}\), and \(\{0,1,2\}\). That gives 4 subsets, so the answer is 4. The closest distractor 3 is wrong because it omits one valid subset (for example \(\{0,1,2\}\)). Exam tip: treat 0 specially — any subset summing to 3 without 0 produces a distinct subset summing to 3 when 0 is included, so count those pairs.
(3) के गुणज (3,6,9,12) हैं, इसलिए (A) में (4) तत्व हैं। (U) में (12) तत्व हैं, अतः (A') में (8) तत्व होंगे। / The multiples of (3) are (3,6,9,12), so (A) has (4) elements. Since (U) has (12) elements, (A') has (8) elements.
(\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}) है। ({m,n}) के तत्व (m,n) इसमें नहीं हैं, इसलिए यह इसका उपसमुच्चय नहीं है। / (\mathcal{P}(A)={\emptyset,{m},{n},{m,n}}). The elements (m,n) are not in it, so ({m,n}) is not its subset.
घातांक संबंध से \(|\mathcal{P}(A)|=2^n=64\) होने पर \(2^n=64\Rightarrow n=6\). किसी भी सेट के \(k\)-तत्वीय उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{k}\) से दी जाती है, अतः यहाँ \(\binom{6}{3}=20\)। परीक्षा में भ्रमित करने वाली धारणा: 15 दरअसल \(\binom{6}{2}=15\) है (कभी-कभी विद्यार्थी तत्वों की संख्या बदलकर गलती कर लेते हैं), और 18 के लिए कोई पूर्णांक \(k\) नहीं है जिससे \(\binom{6}{k}=18\)। टैम्प: पहले \(2^n\) से \(n\) निकालें, फिर उपसमुच्चयों के लिए \(\binom{n}{k}\) लगाएँ। / Since the power set size gives \(2^n=64\), we get \(n=6\). The number of 3‑element subsets is given by the binomial coefficient \(\binom{n}{3}\), so \(\binom{6}{3}=20\). Note on distractors: 15 equals \(\binom{6}{2}\) (a common swap error), and 18 cannot arise as \(\binom{6}{k}\) for any integer \(k\). Exam tip: first compute \(n\) from \(2^n\), then apply \(\binom{n}{k}\) for the requested subset size.
(2,5) निश्चित हैं और (1) निषिद्ध है। शेष (3,4) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (2,5) are fixed and (1) is forbidden. The remaining (3,4) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
विषम आकार वाले उपसमुच्चय \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\) हैं। (n>0) में आधे उपसमुच्चय विषम आकार के होते हैं। / Odd-sized subsets are \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=8\). For (n>0), half the subsets have odd size.
हर तत्व के लिए तीन स्थितियाँ हैं: (X) में, केवल (Y) में, या दोनों से बाहर। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / For each element there are three choices: in (X), only in (Y), or outside both. Thus the total is \(3^3=27\).
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय (4) उपसमुच्चयों से बनता है। यहाँ \(\emptyset\) भी (A) का एक तत्व है। / A two-element set has (4) subsets in its power set. Here \(\emptyset\) is also an element of (A).
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और ठीक (2) तत्व वाले \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए उत्तर (64-15=49) है। / Total subsets are \(2^6=64\), and exactly two-element subsets are \(\binom{6}{2}=15\). So the answer is (64-15=49).
B. जो कोई भी विषय नहीं पढ़ते/Students studying neither subject
Explanation
Simple Explanation
\(A'\cap B'\) में वे छात्र हैं जो (A) में भी नहीं और (B) में भी नहीं हैं। यह न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों को दर्शाता है। / \(A'\cap B'\) contains students not in (A) and not in (B). It represents students studying neither Mathematics nor Physics.
हमें ऐसे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 शामिल नहीं है और 4 शामिल है। 4 को शामिल मानने पर बचते हैं केवल तत्व 2 और 3 — हर एक के लिए शामिल/न शामिल के दो विकल्प हैं। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह मानता है कि तीन तत्व स्वतंत्र हैं (\(2^{3}=8\)), जो यहाँ लागू नहीं होता; विकल्प A और B अवकलन हैं। परीक्षा सुझाव: जब कोई तत्व "शामिल" या "शामिल नहीं" बताता हो, तो स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{(स्वतंत्र तत्वों की संख्या)}}\) द्वारा पाएँ। / We count subsets that exclude 1 and include 4. With 4 fixed in and 1 fixed out, the only free elements are 2 and 3. Each free element can be present or absent, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option D (8) is incorrect because it assumes three free choices (\(2^{3}\)); A and B are undercounts. Exam tip: when elements are fixed in/out, count the remaining free elements and compute \(2^{\text{(number of free elements)}}\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, अकेले तत्व नहीं। (1) को ({1}) लिखने पर वह घात समुच्चय का तत्व होगा। / A power set contains subsets, not bare elements. (1) would need to be written as ({1}) to be an element of the power set.
B. (U) में अपूर्ण वर्ग संख्याएँ/Non-perfect-square numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) के पूर्ण वर्ग (1,4,9) हैं। पूरक में (U) की बाकी अपूर्ण वर्ग संख्याएँ होंगी। / (A) contains the perfect squares (1,4,9) in (U). Its complement contains the remaining non-perfect-square numbers in (U).
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं। (A) सम अंकों का समुच्चय है, इसलिए पूरक विषम अंक हैं। / All digits are from (0) to (9). (A) is the set of even digits, so the complement is the odd digits.
(1,2) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं। शेष (3,4) के लिए \(2^2\) तरीके, इसलिए कुल (8) हैं। / There are (2) ways to choose exactly one of (1,2). The remaining (3,4) give \(2^2\) choices, so total (8).
(A) में (100) तक की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(\mathbb{N}\) में पूरक (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। / (A) contains natural numbers up to (100). In \(\mathbb{N}\), the complement is natural numbers greater than (100).
असंयुक्त उपसमुच्चय में (x) और (z) नहीं आ सकते। केवल (y,w) चुने जा सकते हैं, इसलिए \(2^2=4\) हैं। / A disjoint subset cannot contain (x) or (z). Only (y,w) may be chosen, so there are \(2^2=4\).
(A) में (1,3,7,9) हैं। इसलिए पूरक (2) या (5) से विभाज्य तत्व ({2,4,5,6,8,10}) हैं। / (A) contains (1,3,7,9). So the complement is the elements divisible by (2) or (5): ({2,4,5,6,8,10}).
