यदि \(A\) में \(n\) तत्व हैं और \(\mathcal{P}(A)\) में 64 तत्व हैं, तो \(A\) के \(3\)-तत्वीय उपसमुच्चय कितने होंगे?

Correct Answer: C. 20. Explanation: घातांक संबंध से \(|\mathcal{P}(A)|=2^n=64\) होने पर \(2^n=64\Rightarrow n=6\). किसी भी सेट के \(k\)-तत्वीय उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{k}\) से दी जाती है, अतः यहाँ \(\binom{6}{3}=20\)। परीक्षा में भ्रमित करने वाली धारणा: 15 दरअसल \(\binom{6}{2}=15\) है (कभी-कभी विद्यार्थी तत्वों की संख्या बदलकर गलती कर लेते हैं), और 18 के लिए कोई पूर्णांक \(k\) नहीं है जिससे \(\binom{6}{k}=18\)। टैम्प: पहले \(2^n\) से \(n\) निकालें, फिर उपसमुच्चयों के लिए \(\binom{n}{k}\) लगाएँ। / Since the power set size gives \(2^n=64\), we get \(n=6\). The number of 3‑element subsets is given by the binomial coefficient \(\binom{n}{3}\), so \(\binom{6}{3}=20\). Note on distractors: 15 equals \(\binom{6}{2}\) (a common swap error), and 18 cannot arise as \(\binom{6}{k}\) for any integer \(k\). Exam tip: first compute \(n\) from \(2^n\), then apply \(\binom{n}{k}\) for the requested subset size.