Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (100) तक की प्राकृतिक संख्याएँ हैं। \(\mathbb{N}\) में पूरक (100) से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। / (A) contains natural numbers up to (100). In \(\mathbb{N}\), the complement is natural numbers greater than (100).
वास्तविक संख्याओं की रेखा पर दो अलग संख्याओं के बीच भी अनंत बिंदु होते हैं। / On the real number line, there are infinitely many points between two distinct numbers.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) में (1) और (2) नहीं हैं, फिर भी उनके बीच अनंत वास्तविक संख्याएं हैं। / Even though (1) and (2) are excluded, ((1,2)) still has infinitely many real numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा संकेत: अंतराल को केवल पूर्णांकों की सूची न समझें। / Exam tip: do not treat an interval as only a list of integers.
\(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{10},2\) जैसी परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार समाप्त होते हैं। / Rational numbers such as \(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{10},2\) have terminating decimal expansions.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे उदाहरण अनंत मिलते हैं। / Infinitely many such examples exist.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह समुच्चय अनंत है। / Therefore, the set is infinite.
(0) और (1) के बीच अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं। / Irrational numbers also exist between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
जैसे \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) एक उदाहरण है और ऐसे उदाहरण अनंत हैं। / For example, \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is one such number, and there are infinitely many more.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह समुच्चय अनंत है। / Hence the set is infinite.
(0) और (1) के बीच \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\) जैसी अनेक परिमेय संख्याएँ हैं। / Between (0) and (1), there are rational numbers like \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\), and so on.
Step 2
Why this answer is correct
यह सूची समाप्त नहीं होती। / This list never ends.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह अनंत समुच्चय है। / Therefore, the set is infinite.
संख्या रेखा पर (4) और (9) के बीच की दूरी (5) है। / On the number line, the distance between (4) and (9) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
(4) से (9) के बीच हर वास्तविक (x) के लिए दोनों दूरियों का योग (5) रहेगा। / For every real (x) between (4) and (9), the sum of the two distances remains (5).
Step 3
Exam Tip
किसी बंद वास्तविक अंतराल में अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। / A closed real interval contains infinitely many real numbers.
A. (A=B), और दोनों अपरिमित हैं/(A=B), and both are infinite
Step 1
Concept
कोई प्राकृतिक संख्या (2) और (3) दोनों से विभाज्य हो तो वह (6) से विभाज्य होती है। / A natural number divisible by both (2) and (3) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) और (B) में \(6,12,18,\ldots\) जैसे वही अवयव हैं। / Thus both (A) and (B) contain the same elements such as \(6,12,18,\ldots\).
Step 3
Exam Tip
समान नियम अलग भाषा में लिखा हो तो वास्तविक अवयव मिलाकर देखें। / When the same rule is written differently, compare the actual elements.
\({x\in\mathbb{Z}:x\ge 0}\) में \(0,1,2,\ldots\) आते हैं, इसलिए यह अपरिमित है। / The set \({x\in\mathbb{Z}:x\ge 0}\) contains \(0,1,2,\ldots\), so it is infinite.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) के बराबर नहीं है। / It does not contain negative integers, so it is not equal to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
अपरिमित समुच्चय हमेशा पूरे मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। / An infinite set need not be equal to the whole parent set.
\(x\equiv 2 \pmod{5}\) को \(2,7,12,\ldots\) और \(-3,-8,\ldots\) जैसे पूर्णांक पूरा करते हैं। / The condition \(x\equiv 2 \pmod{5}\) is satisfied by integers like \(2,7,12,\ldots\) and \(-3,-8,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक दोनों दिशाओं में बिना अंत के मिलते हैं। / Such integers continue endlessly in both directions.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में सीमा न दी हो तो प्रायः अपरिमित समुच्चय बनता है। / A congruence condition without a bound usually gives an infinite set.
(0) और (1) के बीच कई परिमेय संख्याएँ होती हैं, जैसे \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\)। / There are many rational numbers between (0) and (1), such as \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्याएँ बिना अंत के बनाई जा सकती हैं, इसलिए अवयवों की संख्या सीमित नहीं है। / Such numbers can be formed endlessly, so the number of elements is not limited.
Step 3
Exam Tip
छोटे अंतराल में भी परिमेय संख्याओं का समुच्चय अपरिमित हो सकता है। / Even a small interval can contain infinitely many rational numbers.
(2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज होती हैं। / Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(6,12,18,\ldots\) अंतहीन रूप से मिलते हैं। / \(6,12,18,\ldots\) continue endlessly.
Step 3
Exam Tip
और का अर्थ दोनों शर्तें है, लेकिन इससे समुच्चय हमेशा छोटा या परिमित नहीं हो जाता। / And means both conditions, but it does not always make a set finite.
C. \(A=\mathbb{N}\), इसलिए अपरिमित/\(A=\mathbb{N}\), so infinite
Step 1
Concept
प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (n) के लिए \(0=n\cdot 0\) लिखा जा सकता है। / For every natural number (n), we can write \(0=n\cdot 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर प्राकृतिक संख्या (0) को विभाजित करती है। / Thus every natural number divides (0).
Step 3
Exam Tip
यह सूक्ष्म प्रश्न है, इसमें (0) को गुणज और गुणनखंड के रूप में अलग-अलग समझें। / This is a subtle question; distinguish factors of (0) from multiples of (0).
(1) और (2) के बीच \(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4}\) जैसी बहुत-सी परिमेय संख्याएँ हैं। / Between (1) and (2), there are many rational numbers such as \(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय संख्याएँ किसी भी दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत होती हैं। / Infinitely many rational numbers lie between any two distinct real numbers.
Step 3
Exam Tip
एक उदाहरण मिलना परिमितता सिद्ध नहीं करता। / Finding one example does not prove finiteness.
