मानक विद्यालयी अर्थ में \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) हो। समुच्चय \(A={x\in\mathbb{N}:x<1}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Under the usual school meaning \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\). Which statement is correct for the set \(A={x\in\mathbb{N}:x<1}\)?
#sets
#empty-set
#natural-numbers
#finite-set
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? Hint Small clue
A \(A=\{0\}\), एकल अवयव समुच्चय / \(A=\{0\}\), singleton set
B \(A=\varnothing\), रिक्त तथा परिमित / \(A=\varnothing\), empty and finite
C \(A=\{1\}\), परिमित / \(A=\{1\}\), finite
D \(A=\mathbb{N}\), अपरिमित / \(A=\mathbb{N}\), infinite
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Correct Answer
B. \(A=\varnothing\), रिक्त तथा परिमित / \(A=\varnothing\), empty and finite
Step 1
Concept
\(\mathbb{N}\) में (1) से शुरू होने वाली संख्याएँ ली जाती हैं। / In the usual school convention, natural numbers start from (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<1) को कोई प्राकृतिक संख्या पूरा नहीं करती, इसलिए (A) में कोई अवयव नहीं है। / No natural number satisfies (x<1), so (A) has no element.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय को भी परिमित माना जाता है। / Remember that the empty set is also finite.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2-6x+9=0}\) और \(B=\{3,3,3\}\), तो सही कथन चुनिए।
If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2-6x+9=0}\) and \(B=\{3,3,3\}\), choose the correct statement.
#sets
#equal-sets
#repeated-root
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A=B), क्योंकि दोनों में वास्तविक अवयव केवल (3) है / (A=B), because the only actual element in both is (3)
B \(A\ne B\), क्योंकि (B) में तीन अवयव लिखे हैं / \(A\ne B\), because three elements are written in (B)
C \(A=\varnothing\), क्योंकि मूल दोहराया हुआ है / \(A=\varnothing\), because the root is repeated
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Correct Answer
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वास्तविक अवयव केवल (3) है / (A=B), because the only actual element in both is (3)
Step 1
Concept
(x-2 -6x+9=(x-3)2 ), इसलिए हल (x=3) है। / (x-2 -6x+9=(x-3)2 ), so the solution is (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
समुच्चय में समान अवयव बार-बार लिखने से नया अवयव नहीं बनता, इसलिए \(B=\{3\}\) माना जाएगा। / Repeating the same element does not create new elements in a set, so \(B=\{3\}\).
Step 3
Exam Tip
दोहराए हुए मूल या दोहराए हुए अवयव को समुच्चय में एक बार ही गिनें। / Count a repeated root or repeated element only once in set questions.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{Z}:-5\le x\le 5\) और \(x \equiv 1 \pmod{3}}) और (B={-5,-2,1,4}), तो सही निष्कर्ष कौन सा है\)?
\(If (A={x\in\mathbb{Z}:-5\le x\le 5\) and \(x \equiv 1 \pmod{3}}) and (B={-5,-2,1,4}), which conclusion is correct\)?
#sets
#equal-sets
#finite-set
#congruence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A=B), क्योंकि दोनों में वही चार अवयव हैं / (A=B), because both have the same four elements
B \(A\ne B\), क्योंकि (B) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं / \(A\ne B\), because (B) contains negative numbers
C \(A=\varnothing\), क्योंकि सर्वांगसमता केवल धनात्मक संख्याओं पर लगती है / \(A=\varnothing\), because congruence applies only to positive numbers
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Correct Answer
A. (A=B), क्योंकि दोनों में वही चार अवयव हैं / (A=B), because both have the same four elements
Step 1
Concept
(-5) से (5) तक के पूर्णांक लिखकर (3) से भाग देने पर शेष (1) वाले मान चुनते हैं। / List the integers from (-5) to (5) and choose those that leave remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(-5,-2,1,4) सभी \(x \equiv 1 \pmod{3}\) को पूरा करते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। / The values (-5,-2,1,4) all satisfy \(x \equiv 1 \pmod{3}\), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
बराबर समुच्चय में क्रम नहीं, केवल अवयवों की समानता देखी जाती है। / For equal sets, compare elements, not their order.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x^2+4=0}\) को पहचानिए।
Identify the set \(A={x\in\mathbb{R}:x^2+4=0}\).
#sets
#empty-set
#real-numbers
#equation
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? Hint Small clue
A दो अवयवों वाला परिमित समुच्चय / finite set with two elements
B रिक्त समुच्चय / empty set
C अपरिमित समुच्चय / infinite set
D एक अवयव वाला समुच्चय / singleton set
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Correct Answer
B. रिक्त समुच्चय / empty set
Step 1
Concept
वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। / For every real number, \(x^2\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x^2+4=0\) वास्तविक संख्याओं में संभव नहीं है। / Hence \(x^2+4=0\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक क्षेत्र दिया हो तो काल्पनिक मूलों को न गिनें। / When the domain is real numbers, do not count imaginary roots.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{Q}:0<x<1}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about the set \(A={x\in\mathbb{Q}:0<x<1}\)?
#sets
#infinite-set
#rational-numbers
#interval
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह रिक्त समुच्चय है / it is an empty set
B यह परिमित समुच्चय है / it is a finite set
C यह अपरिमित समुच्चय है / it is an infinite set
D यह ({0,1}) के बराबर है / it is equal to ({0,1})
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Correct Answer
C. यह अपरिमित समुच्चय है / it is an infinite set
Step 1
Concept
(0) और (1) के बीच कई परिमेय संख्याएँ होती हैं, जैसे \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\)। / There are many rational numbers between (0) and (1), such as \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्याएँ बिना अंत के बनाई जा सकती हैं, इसलिए अवयवों की संख्या सीमित नहीं है। / Such numbers can be formed endlessly, so the number of elements is not limited.
Step 3
Exam Tip
छोटे अंतराल में भी परिमेय संख्याओं का समुच्चय अपरिमित हो सकता है। / Even a small interval can contain infinitely many rational numbers.
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यदि \(A=\{2,3,3,5,2\}\) और \(B=\{5,2,3\}\), तो कौन सा कथन सही है?
If \(A=\{2,3,3,5,2\}\) and \(B=\{5,2,3\}\), which statement is correct?
#sets
#equal-sets
#roster-form
#duplicates
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? Hint Small clue
A \(A\ne B\), क्योंकि क्रम अलग है / \(A\ne B\), because order is different
B \(A\ne B\), क्योंकि दोहराव है / \(A\ne B\), because repetition exists
C (A=B), क्योंकि अवयव समान हैं / (A=B), because the elements are the same
D \(A\subset B\), पर \(A\ne B\) / \(A\subset B\), but \(A\ne B\)
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Correct Answer
C. (A=B), क्योंकि अवयव समान हैं / (A=B), because the elements are the same
Step 1
Concept
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति और क्रम का महत्व नहीं होता। / In a set, order and repetition do not matter.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों में वास्तविक अवयव (2,3,5) ही हैं। / Both sets contain exactly (2,3,5).
Step 3
Exam Tip
बराबर समुच्चय में केवल अवयवों की समानता जाँचें। / For equal sets, compare actual elements only.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) पाँच से छोटा अभाज्य है\(}) और (B={2,3}), तो कौन सा निष्कर्ष सही है\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a prime number less than five\(}) and (B={2,3}), which conclusion is correct\)?
#sets
#equal-sets
#prime-numbers
#finite-set
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? Hint Small clue
A (A=B)
B \(A=\{1,2,3\}\)
C \(A=\{2,3,5\}\)
D \(A=\varnothing\)
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Step 1
Concept
पाँच से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। / The natural numbers less than five are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें अभाज्य संख्याएँ केवल (2) और (3) हैं, क्योंकि (1) अभाज्य नहीं है। / The prime numbers among them are only (2) and (3), because (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाले प्रश्नों में (1) को अलग से पहचानें। / In prime-number questions, treat (1) carefully.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=9}\) और \(B=\{-3,3\}\), तो सही निष्कर्ष चुनिए।
If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=9}\) and \(B=\{-3,3\}\), choose the correct conclusion.
#sets
#equal-sets
#integer-solutions
#pyq-style
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? Hint Small clue
A (A=B)
B \(A=\{3\}\)
C \(A=\varnothing\)
D (B) अपरिमित है / (B) is infinite
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Step 1
Concept
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=-3) और (x=3) हैं। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=-3) and (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) और (B) में ठीक वही अवयव हैं। / Thus (A) and (B) have exactly the same elements.
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल जाँचें। / For square equations, check both positive and negative roots.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:|x-2|+|x-5|=2}\) कैसा है?
What type of set is \(A={x\in\mathbb{R}:|x-2|+|x-5|=2}\)?
#sets
#empty-set
#absolute-value
#real-numbers
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? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B एक अवयव वाला समुच्चय / singleton set
C परिमित पर दो अवयवों वाला समुच्चय / finite set with two elements
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
A. रिक्त समुच्चय / empty set
Step 1
Concept
वास्तविक संख्या रेखा पर (2) और (5) के बीच की दूरी (3) है। / On the real number line, the distance between (2) and (5) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (x) के लिए (|x-2|+|x-5|) कम से कम (3) होगा, इसलिए वह (2) नहीं हो सकता। / For any (x), (|x-2|+|x-5|) is at least (3), so it cannot be (2).
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित निरपेक्ष मान में न्यूनतम दूरी पहले सोचें। / In absolute-value distance questions, think about the minimum possible distance first.
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\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{N}:x\) 12 का अभाज्य गुणनखंड है}) की प्रकृति क्या है?
\(What is the nature of the set (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a prime factor of 12})?
#sets
#finite-set
#prime-factors
#class-11
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? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B परिमित समुच्चय / finite set
C अपरिमित समुच्चय / infinite set
D \(\mathbb{N}\) के बराबर / equal to \(\mathbb{N}\)
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Correct Answer
B. परिमित समुच्चय / finite set
Step 1
Concept
(12) के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। / The prime factors of (12) are only (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A=\{2,3\}\), जिसमें सीमित अवयव हैं। / So \(A=\{2,3\}\), which has a limited number of elements.
Step 3
Exam Tip
किसी निश्चित संख्या के गुणनखंड हमेशा परिमित होते हैं। / Factors of a fixed number always form a finite set.
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\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{N}:x\) 5 का गुणज है}) को किस रूप में वर्गीकृत करेंगे?
\(How should the set (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a multiple of 5}) be classified?
#sets
#infinite-set
#multiples
#conceptual
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? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B एक अवयव वाला समुच्चय / singleton set
C परिमित समुच्चय / finite set
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
D. अपरिमित समुच्चय / infinite set
Step 1
Concept
\(5,10,15,20,\ldots\) जैसे गुणज बिना रुके मिलते रहते हैं। / Multiples such as \(5,10,15,20,\ldots\) continue without ending.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इस समुच्चय के अवयवों की संख्या निश्चित सीमा तक नहीं रुकती। / Therefore the number of elements is not fixed at a finite limit.
Step 3
Exam Tip
गुणजों के समुच्चय में सीमा न दी हो तो वह सामान्यतः अपरिमित होता है। / A set of multiples is usually infinite when no upper limit is given.
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कौन सा समुच्चय ({1,4,9,16}) के बराबर है?
Which set is equal to ({1,4,9,16})?
#sets
#equal-sets
#set-builder
#squares
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? Hint Small clue
A \({x^2:x\in\mathbb{N},1\le x\le 4}\)
B \({x\in\mathbb{N}:1\le x\le 4}\)
C \({x^2:x\in\mathbb{Z},-4\le x\le 4}\)
D \({x\in\mathbb{N}:x<16}\)
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Correct Answer
A. \({x^2:x\in\mathbb{N},1\le x\le 4}\)
Step 1
Concept
\(1\le x\le 4\) के प्राकृतिक मान (1,2,3,4) हैं। / The natural values satisfying \(1\le x\le 4\) are (1,2,3,4).
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्ग (1,4,9,16) बनते हैं, इसलिए पहला समुच्चय बराबर है। / Their squares are (1,4,9,16), so the first set is equal to the given set.
Step 3
Exam Tip
नियम से बने समुच्चय में वास्तविक परिणामों की सूची बनाकर मिलान करें। / For a rule-based set, list the actual outputs and compare.
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कौन सा समुच्चय रिक्त समुच्चय नहीं है?
Which set is not an empty set?
#sets
#empty-set
#singleton-set
#common-mistake
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? Hint Small clue
A \(\varnothing\) / empty set
B empty set
C \({\varnothing}\) / set containing the empty set
D \({x\in\mathbb{Z}:x^2=-1}\) / integer solutions of \(x^2=-1\)
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Correct Answer
C. \({\varnothing}\) / set containing the empty set
Step 1
Concept
\(\varnothing\) और ({}) दोनों में कोई अवयव नहीं होता। / Both \(\varnothing\) and ({}) have no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) में एक अवयव है, और वह अवयव खुद रिक्त समुच्चय है। / The set \({\varnothing}\) has one element, namely the empty set itself.
Step 3
Exam Tip
\(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को कभी समान न मानें। / Never treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as equal.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) दो अंकों वाली संख्या है}), तो (A) की प्रकृति क्या है?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a two-digit number}), what is the nature of (A)?
#sets
#finite-set
#two-digit-numbers
#school-exam
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? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B परिमित समुच्चय / finite set
C अपरिमित समुच्चय / infinite set
D एक अवयव वाला समुच्चय / singleton set
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Correct Answer
B. परिमित समुच्चय / finite set
Step 1
Concept
दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। / Two-digit natural numbers run from (10) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
इनकी संख्या सीमित है, इसलिए समुच्चय परिमित है। / Their number is limited, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
बड़ी सूची दिखने पर भी यदि आरंभ और अंत तय हों, तो समुच्चय परिमित होता है। / Even a long list is finite when both start and end are fixed.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:-2<x<2}\) और \(B=\{-1,0,1\}\), तो कौन सा कथन सही है?
If \(A={x\in\mathbb{Z}:-2<x<2}\) and \(B=\{-1,0,1\}\), which statement is correct?
#sets
#equal-sets
#integers
#inequality
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? Hint Small clue
A (A=B)
B \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\)
C \(A=\{-2,2\}\)
D (A) रिक्त है / (A) is empty
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Step 1
Concept
(-2<x<2) में (-2) और (2) शामिल नहीं हैं। / The inequality (-2<x<2) does not include (-2) or (2).
Step 2
Why this answer is correct
इस सीमा के पूर्णांक (-1,0,1) हैं। / The integers in this range are (-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
असमानता में खुली और बंद सीमा को सावधानी से पढ़ें। / Read open and closed boundaries carefully.
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कौन सा विकल्प ऐसा युग्म देता है जिसमें दोनों समुच्चय परिमित हैं, लेकिन बराबर नहीं हैं?
Which option gives a pair in which both sets are finite but not equal?
#sets
#finite-set
#equal-sets
#integer-solutions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A={x\in\mathbb{N}:x\le 3}, B={1,2,3}\)
B \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=1}, B={1}\)
C \((A={x\in\mathbb{N}:x\) 2 का गुणज है\(}, B={2,4,6})\) / \((A={x\in\mathbb{N}:x\) is a multiple of \(2}, B={2,4,6})\)
D \(A=\varnothing, B={}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=1}, B={1}\)
Step 1
Concept
\(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{-1,1\}\)। / The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1), so \(A=\{-1,1\}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(B=\{1\}\) है, इसलिए दोनों परिमित हैं लेकिन बराबर नहीं हैं। / Since \(B=\{1\}\), both sets are finite but not equal.
Step 3
Exam Tip
समान दिखने वाले हलों में ऋणात्मक मान भी जाँचें। / In square equations, check the negative solution too.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{Z}:0<x<1}\) के लिए सही विकल्प कौन सा है?
Which option is correct for the set \(A={x\in\mathbb{Z}:0<x<1}\)?
#sets
#empty-set
#integers
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A=\varnothing\)
B \(A=\{0\}\)
C \(A=\{1\}\)
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(A=\varnothing\)
Step 1
Concept
(0) और (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं होता। / There is no integer strictly between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दिए गए नियम को कोई अवयव पूरा नहीं करता। / So no element satisfies the given condition.
Step 3
Exam Tip
पहले क्षेत्र देखें; वास्तविक और पूर्णांक क्षेत्र में उत्तर बदल सकता है। / Always check the domain first; real and integer domains can give different answers.
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यदि \(A={x\in\mathbb{N}:x^2<10}\) और \(B=\{1,2,3\}\), तो सही संबंध बताइए।
If \(A={x\in\mathbb{N}:x^2<10}\) and \(B=\{1,2,3\}\), state the correct relation.
#sets
#equal-sets
#natural-numbers
#inequality
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? Hint Small clue
A (A=B)
B \(A=\{1,2,3,4\}\)
C \(A=\varnothing\)
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं के लिए \(1^2,2^2,3^2\) ही (10) से छोटे हैं। / For natural numbers, \(1^2,2^2,3^2\) are less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\), इसलिए (4) शामिल नहीं होगा। / Since \(4^2=16\), (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
असमानता के साथ वर्ग करने पर अंतिम मान अलग से जाँचें। / In squared inequalities, test the boundary value carefully.
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कौन सा विकल्प बराबर समुच्चयों का सही उदाहरण है?
Which option is a correct example of equal sets?
#sets
#equal-sets
#duplicates
#exam
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? Hint Small clue
A ({1,2,3}) और ({1,2,2,3,3}) / ({1,2,3}) and ({1,2,2,3,3})
B ({1,2,3}) और ({1,2,4}) / ({1,2,3}) and ({1,2,4})
C ({1,2}) और ({1,2,3}) / ({1,2}) and ({1,2,3})
D \(\varnothing\) और ({0}) / \(\varnothing\) and ({0})
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Correct Answer
A. ({1,2,3}) और ({1,2,2,3,3}) / ({1,2,3}) and ({1,2,2,3,3})
Step 1
Concept
बराबर समुच्चयों में अवयवों का वास्तविक संग्रह समान होना चाहिए। / Equal sets must have exactly the same actual elements.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में दोहराव हटाने पर दोनों ({1,2,3}) बनते हैं। / In the first option, removing repetitions gives ({1,2,3}) for both.
Step 3
Exam Tip
दोहराव देखकर समुच्चयों को अलग न मानें। / Do not treat repeated entries as new elements.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 18 का गुणनखंड है\(}) और (B={1,2,3,6,9,18}), तो (A) और (B) के बारे में क्या सत्य है\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of \(18}) and (B={1,2,3,6,9,18}), what is true about (A) and (B)\)?
#sets
#equal-sets
#factors
#finite-set
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A=B)
B (A) रिक्त है / (A) is empty
C (A) अपरिमित है / (A) is infinite
D (B) में (18) नहीं होना चाहिए / (18) should not be in (B)
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Step 1
Concept
(18) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। / The natural factors of (18) are (1,2,3,6,9,18).
Step 2
Why this answer is correct
ये सभी (B) में ठीक से लिखे हैं। / These are exactly the elements of (B).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या का स्वयं भी उसका गुणनखंड होता है। / A number itself is also one of its factors.
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\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{N}:x\) अभाज्य भी है और भाज्य भी है}) कैसा है?
\(What type of set is (A={x\in\mathbb{N}:x\) is both prime and composite})?
#sets
#empty-set
#prime-composite
#reasoning
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? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B एक अवयव वाला समुच्चय / singleton set
C दो अवयवों वाला समुच्चय / two-element set
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
A. रिक्त समुच्चय / empty set
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं और भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। / A prime number has exactly two factors, while a composite number has more than two factors.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी प्राकृतिक संख्या एक साथ दोनों शर्तें पूरी नहीं करती। / No natural number satisfies both conditions together.
Step 3
Exam Tip
विरोधी शर्तें दिखें तो रिक्त समुच्चय की संभावना जाँचें। / When conditions contradict each other, check for the empty set.
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यदि \(A={x\in\mathbb{N}:x\le 100}\), तो (A) की प्रकृति क्या है?
If \(A={x\in\mathbb{N}:x\le 100}\), what is the nature of (A)?
#sets
#finite-set
#natural-numbers
#bounded
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B परिमित समुच्चय / finite set
C अपरिमित समुच्चय / infinite set
D \(\mathbb{Z}\) के बराबर / equal to \(\mathbb{Z}\)
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Correct Answer
B. परिमित समुच्चय / finite set
Step 1
Concept
(A) में (1) से (100) तक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। / The set contains natural numbers from (1) to (100).
Step 2
Why this answer is correct
इनकी संख्या (100) है, इसलिए समुच्चय परिमित है। / There are (100) elements, so it is finite.
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा दी हो तो प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय प्रायः परिमित होता है। / A given upper limit often makes a natural-number set finite.
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यदि \(A={x\in\mathbb{N}:x>100}\), तो सही विकल्प चुनिए।
If \(A={x\in\mathbb{N}:x>100}\), choose the correct option.
#sets
#infinite-set
#natural-numbers
#lower-bound
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A) रिक्त है / (A) is empty
B (A) परिमित है / (A) is finite
C (A) अपरिमित है / (A) is infinite
D \(A=\{100\}\)
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Correct Answer
C. (A) अपरिमित है / (A) is infinite
Step 1
Concept
\(101,102,103,\ldots\) जैसी प्राकृतिक संख्याएँ अंत तक नहीं रुकतीं। / Natural numbers \(101,102,103,\ldots\) continue without end.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (x>100) को पूरा करने वाले अवयव अपरिमित हैं। / So there are infinitely many elements satisfying (x>100).
Step 3
Exam Tip
केवल निचली सीमा दी हो तो अपरिमितता जाँचें। / With only a lower bound, check for infiniteness.
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निम्न में से किस स्थिति में (A) और (B) बराबर नहीं होंगे?
In which situation will (A) and (B) not be equal?
#sets
#equal-sets
#empty-set
#zero
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A=\{a,b,c}, B={c,b,a\}\)
B \(A=\{1,1,2}, B={1,2\}\)
C \(A=\varnothing, B={}\)
D \(A={0}, B=\varnothing\)
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Correct Answer
D. \(A={0}, B=\varnothing\)
Step 1
Concept
पहले तीन विकल्पों में क्रम, दोहराव या संकेत अलग है, अवयव नहीं। / In the first three options, only order, repetition, or notation changes, not the elements.
Step 2
Why this answer is correct
({0}) में (0) अवयव के रूप में है, जबकि \(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं। / The set ({0}) contains (0), while \(\varnothing\) contains nothing.
Step 3
Exam Tip
शून्य और रिक्तता को अलग रखें। / Keep zero and emptiness separate.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2-5x+6=0}\) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2-5x+6=0}\).
#sets
#finite-set
#quadratic
#equation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A=\{2,3\}\), परिमित / \(A=\{2,3\}\), finite
B \(A=\varnothing\)
C (A) अपरिमित है / (A) is infinite
D \(A=\{6\}\)
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Correct Answer
A. \(A=\{2,3\}\), परिमित / \(A=\{2,3\}\), finite
Step 1
Concept
(x-2 -5x+6=(x-2)(x-3)) है। / (x-2 -5x+6=(x-2)(x-3)).
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक हल (2) और (3) हैं, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। / The integer solutions are (2) and (3), so \(A=\{2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद के हलों को समुच्चय में लिखते समय दोहराव नहीं गिनते। / When writing roots as a set, do not count repetition.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x^2-2x+1=0}\) की सही पहचान क्या है?
What is the correct identification of \(A={x\in\mathbb{R}:x^2-2x+1=0}\)?
#sets
#singleton-set
#finite-set
#repeated-root
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B ({1}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय / ({1}), singleton finite set
C ({1,1}), दो अवयवों वाला समुच्चय / ({1,1}), two-element set
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
B. ({1}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय / ({1}), singleton finite set
Step 1
Concept
(x-2 -2x+1=(x-1)2 ) है। / (x-2 -2x+1=(x-1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
हल केवल (x=1) है, दोहराया मूल भी समुच्चय में एक बार ही लिखा जाता है। / The only solution is (x=1), and a repeated root is written once in a set.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में समान अवयव बार-बार नहीं गिने जाते। / Identical elements are not counted repeatedly in a set.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:|x|\le 2}\), तो (A) किसके बराबर है?
If \(A={x\in\mathbb{Z}:|x|\le 2}\), which set is equal to (A)?
#sets
#equal-sets
#absolute-value
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({-2,-1,0,1,2})
B ({-2,2})
C ({0,1,2})
D \(\mathbb{Z}\)
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Correct Answer
A. ({-2,-1,0,1,2})
Step 1
Concept
\(|x|\le 2\) का अर्थ है (x) शून्य से अधिकतम (2) दूरी पर है। / \(|x|\le 2\) means (x) is at most (2) units away from zero.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक अवयव (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। / The integer elements are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाली शर्त में दोनों ओर के मान शामिल करें। / For absolute-value conditions, include values on both sides.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) अभाज्य और सम है}), तो (A) कैसा है?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is prime and even}), what type of set is (A)?
#sets
#singleton-set
#prime-number
#finite-set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B ({2}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय / ({2}), singleton finite set
C अपरिमित समुच्चय / infinite set
D ({1,2})
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Correct Answer
B. ({2}), एक अवयव वाला परिमित समुच्चय / ({2}), singleton finite set
Step 1
Concept
(2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। / (2) is the only even prime number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A=\{2\}\), जो एक अवयव वाला परिमित समुच्चय है। / Hence \(A=\{2\}\), a singleton finite set.
Step 3
Exam Tip
सम अभाज्य से जुड़े प्रश्नों में (2) को विशेष रूप से याद रखें। / In questions about even primes, remember the special role of (2).
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 0 का गुणनखंड है}), तो सही कथन कौन सा है?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of 0}), which statement is correct?
#sets
#infinite-set
#factors-of-zero
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A=\varnothing\)
B \(A=\{0\}\)
C \(A=\mathbb{N}\), इसलिए अपरिमित / \(A=\mathbb{N}\), so infinite
D \(A=\{1\}\)
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Correct Answer
C. \(A=\mathbb{N}\), इसलिए अपरिमित / \(A=\mathbb{N}\), so infinite
Step 1
Concept
प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (n) के लिए \(0=n\cdot 0\) लिखा जा सकता है। / For every natural number (n), we can write \(0=n\cdot 0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर प्राकृतिक संख्या (0) को विभाजित करती है। / Thus every natural number divides (0).
Step 3
Exam Tip
यह सूक्ष्म प्रश्न है, इसमें (0) को गुणज और गुणनखंड के रूप में अलग-अलग समझें। / This is a subtle question; distinguish factors of (0) from multiples of (0).
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\(यदि (A={x\in\mathbb{Z}:x\) 0 का गुणज है}), तो (A) किसके बराबर है?
\(If (A={x\in\mathbb{Z}:x\) is a multiple of 0}), what is (A) equal to?
#sets
#singleton-set
#multiple-of-zero
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\mathbb{Z}\)
B ({0})
C \(\varnothing\)
D \(\mathbb{N}\)
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Step 1
Concept
(0) का गुणज \(0\cdot k\) के रूप में होता है। / A multiple of (0) has the form \(0\cdot k\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी पूर्णांक (k) के लिए \(0\cdot k=0\), इसलिए केवल (0) मिलता है। / For every integer (k), \(0\cdot k=0\), so only (0) occurs.
Step 3
Exam Tip
(0) के गुणज और (0) के गुणनखंड में भ्रम न करें। / Do not confuse multiples of (0) with factors of (0).
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यदि (A) और (B) बराबर समुच्चय हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
If (A) and (B) are equal sets, which conclusion is necessary?
#sets
#equal-sets
#cardinality
#concept
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A) और (B) के अवयवों की संख्या समान है / (A) and (B) have the same number of elements
B (A) और (B) की लिखने की विधि समान है / (A) and (B) are written in the same form
C (A) और (B) दोनों अपरिमित ही होंगे / both (A) and (B) must be infinite
D (A) और (B) दोनों रिक्त ही होंगे / both (A) and (B) must be empty
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Correct Answer
A. (A) और (B) के अवयवों की संख्या समान है / (A) and (B) have the same number of elements
Step 1
Concept
बराबर समुच्चयों में प्रत्येक अवयव समान होता है। / Equal sets contain exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनके अवयवों की संख्या भी समान होगी। / Therefore they must have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
समान संख्या पर्याप्त नहीं, पर बराबर समुच्चय होने पर संख्या अवश्य समान होती है। / Equal size alone is not sufficient, but equality always implies equal size.
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कौन सा उदाहरण दिखाता है कि समान अवयव-संख्या होने पर भी समुच्चय बराबर होना आवश्यक नहीं?
Which example shows that sets with the same number of elements need not be equal?
#sets
#equal-sets
#cardinality
#common-mistake
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({1,2}) और ({2,1}) / ({1,2}) and ({2,1})
B ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
C \(\varnothing\) और ({}) / \(\varnothing\) and ({})
D ({a,b}) और ({b,a,a}) / ({a,b}) and ({b,a,a})
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Correct Answer
B. ({1,2}) और ({3,4}) / ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
दोनों समुच्चयों में (2) अवयव हैं। / Both sets have (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ({1,2}) और ({3,4}) के अवयव अलग हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। / But ({1,2}) and ({3,4}) contain different elements, so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
बराबरी के लिए संख्या नहीं, अवयवों की समानता निर्णायक है। / Equality depends on elements, not just on count.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x=x+1}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct for the set \(A={x\in\mathbb{R}:x=x+1}\)?
#sets
#empty-set
#equation
#reasoning
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है / it is the set of all real numbers
B यह ({1}) है / it is ({1})
C यह रिक्त समुच्चय है / it is the empty set
D यह ({0}) है / it is ({0})
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Correct Answer
C. यह रिक्त समुच्चय है / it is the empty set
Step 1
Concept
समीकरण (x=x+1) से (0=1) मिलेगा, जो असत्य है। / The equation (x=x+1) gives (0=1), which is false.
Step 2
Why this answer is correct
कोई वास्तविक संख्या इसे पूरा नहीं कर सकती। / No real number can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
असंभव समीकरण से रिक्त समुच्चय बनता है। / An impossible equation gives an empty solution set.
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कौन सा समुच्चय वास्तविक संख्या-रेखा पर अपरिमित है?
Which set is infinite on the real number line?
#sets
#infinite-set
#real-numbers
#interval
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \({x\in\mathbb{R}:x=2}\)
B \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\)
C \({x\in\mathbb{Z}:2<x<3}\)
D \({x\in\mathbb{N}:x^2=4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\)
Step 1
Concept
(2) और (3) के बीच अनगिनत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। / There are infinitely many real numbers between (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\) अपरिमित है। / Hence \({x\in\mathbb{R}:2<x<3}\) is infinite.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक अंतराल और पूर्णांक अंतराल को अलग-अलग समझें। / Distinguish real intervals from integer intervals.
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कौन सा युग्म बराबर समुच्चय नहीं बनाता?
Which pair does not form equal sets?
#sets
#equal-sets
#domain
#integer-solutions
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \({x\in\mathbb{N}:x^2=16}\) और ({4}) / \({x\in\mathbb{N}:x^2=16}\) and ({4})
B \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({-4,4}) / \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({-4,4})
C \({x\in\mathbb{N}:x<4}\) और ({1,2,3}) / \({x\in\mathbb{N}:x<4}\) and ({1,2,3})
D \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4}) / \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
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Correct Answer
D. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4}) / \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
Step 1
Concept
पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। / In the integer domain, \(x^2=16\) has solutions (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वह समुच्चय ({4}) के बराबर नहीं हो सकता। / So it cannot be equal to ({4}).
Step 3
Exam Tip
बराबरी जाँचते समय दिए गए क्षेत्र को पहले देखें। / Check the given domain before testing equality.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{N}:1<x<2}\) की सही पहचान चुनिए।
Choose the correct identification of \(A={x\in\mathbb{N}:1<x<2}\).
#sets
#empty-set
#natural-numbers
#strict-inequality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A=\{1\}\)
B \(A=\{2\}\)
C \(A=\varnothing\)
D \(A=\{1,2\}\)
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Correct Answer
C. \(A=\varnothing\)
Step 1
Concept
(1) और (2) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। / There is no natural number strictly between (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (A) में कोई अवयव नहीं है। / Hence (A) has no element.
Step 3
Exam Tip
कठोर असमानता में सीमा के दोनों अंक शामिल नहीं होते। / In a strict inequality, boundary numbers are not included.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), तो (A) क्या है?
If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), what is (A)?
#sets
#singleton-set
#integer-solutions
#inequality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\varnothing\)
B ({0})
C ({-1,0,1})
D \(\mathbb{Z}\)
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Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। / For every integer, \(x^2\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। / The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें। / In non-negative square questions, check zero separately.
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कौन सा कथन रिक्त समुच्चय के लिए गलत है?
Which statement is false for the empty set?
#sets
#empty-set
#zero
#misconception
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A इसमें कोई अवयव नहीं होता / it has no element
B यह परिमित समुच्चय है / it is a finite set
C इसकी अवयव-संख्या (0) है / its number of elements is (0)
D यह ({0}) के बराबर है / it is equal to ({0})
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Correct Answer
D. यह ({0}) के बराबर है / it is equal to ({0})
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता और उसकी संख्या (0) है। / The empty set has no element and its cardinality is (0).
Step 2
Why this answer is correct
({0}) में (0) एक अवयव है, इसलिए वह रिक्त नहीं है। / The set ({0}) contains (0) as an element, so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
अवयव-संख्या (0) और अवयव (0) में अंतर समझें। / Understand the difference between cardinality (0) and element (0).
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 30 का गुणनखंड है और \(x>30}), तो (A) क्या होगा\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of 30 and \(x>30}), what will (A) be\)?
#sets
#empty-set
#factors
#logical-condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\varnothing\)
B ({30})
C \({31,32,33,\ldots}\)
D ({1,2,3,5,6,10,15,30})
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Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
किसी धनात्मक संख्या का कोई प्राकृतिक गुणनखंड उससे बड़ा नहीं होता। / No natural factor of a positive number is greater than the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
(30) का सबसे बड़ा गुणनखंड (30) ही है। / The greatest factor of (30) is (30).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और उससे बड़ी संख्या वाली शर्त साथ आए तो रिक्तता जाँचें। / When a factor is required to be greater than the number, check for emptiness.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 4 का गुणज है और \(x\le 20}), तो (A) किसके बराबर है\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a multiple of 4 and \(x\le 20}), what is (A) equal to\)?
#sets
#finite-set
#multiples
#equal-sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({4,8,12,16,20})
B ({0,4,8,12,16,20})
C ({4,8,12,16})
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
A. ({4,8,12,16,20})
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में (4) के गुणज \(4,8,12,16,20,\ldots\) हैं। / Multiples of (4) in natural numbers are \(4,8,12,16,20,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le 20\) होने से केवल (4,8,12,16,20) बचते हैं। / The condition \(x\le 20\) leaves (4,8,12,16,20).
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा गुणजों के अपरिमित समुच्चय को परिमित बना देती है। / An upper bound turns this infinite pattern into a finite set.
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किस विकल्प में (A) और (B) बराबर हैं?
In which option are (A) and (B) equal?
#sets
#equal-sets
#natural-numbers
#convention
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A={x\in\mathbb{N}:x<5}, B={0,1,2,3,4}\)
B \(A={x\in\mathbb{N}:x\le 5}, B={1,2,3,4}\)
C \(A={x\in\mathbb{N}:x<5}, B={1,2,3,4}\)
D \(A={x\in\mathbb{N}:x>5}, B={1,2,3,4}\)
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Correct Answer
C. \(A={x\in\mathbb{N}:x<5}, B={1,2,3,4}\)
Step 1
Concept
विद्यालयी \(\mathbb{N}\) में (0) शामिल नहीं माना गया है। / In the school convention used here, (0) is not included in \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x<5) वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। / The natural numbers less than (5) are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{N}\) की परिभाषा प्रश्न में जैसे दी हो, उसी का पालन करें। / Follow the definition of \(\mathbb{N}\) given or assumed in the question.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x^2=2}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about \(A={x\in\mathbb{R}:x^2=2}\).
#sets
#finite-set
#real-solutions
#quadratic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(A=\varnothing\)
B \(A={\sqrt{2}}\)
C \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), परिमित / \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), finite
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Correct Answer
C. \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), परिमित / \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), finite
Step 1
Concept
\(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। / The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समुच्चय में दो अवयव हैं और वह परिमित है। / Thus the set has two elements and is finite.
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण में ऋणात्मक मूल को न छोड़ें। / Do not miss the negative root in a square equation.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=2}\) के लिए सही उत्तर क्या है?
What is the correct answer for \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=2}\)?
#sets
#empty-set
#integer-solutions
#domain
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? Hint Small clue
A \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\)
B \(A={\sqrt{2}}\)
C \(A=\varnothing\)
D \(A=\{2\}\)
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Correct Answer
C. \(A=\varnothing\)
Step 1
Concept
\(x^2=2\) के वास्तविक हल पूर्णांक नहीं हैं। / The real solutions of \(x^2=2\) are not integers.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक क्षेत्र में कोई (x) यह शर्त पूरी नहीं करता। / In the integer domain, no (x) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
समान समीकरण का उत्तर क्षेत्र बदलने पर बदल सकता है। / The same equation can give different sets when the domain changes.
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कौन सा समुच्चय परिमित है, यद्यपि उसके अवयव लिखना लंबा हो सकता है?
Which set is finite even though listing its elements may be long?
#sets
#finite-set
#prime-numbers
#bounded
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(({x\in\mathbb{N}:x\) अभाज्य है}) / set of prime natural numbers
B \(({x\in\mathbb{N}:x\) 1000 से छोटा अभाज्य है}) / primes less than (1000)
C \({x\in\mathbb{Z}:x<0}\) / negative integers
D \({x\in\mathbb{R}:0<x<1}\) / real numbers between (0) and (1)
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Correct Answer
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 1000 से छोटा अभाज्य है}) / primes less than (1000)
Step 1
Concept
(1000) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हैं। / There are only finitely many natural numbers less than (1000).
Step 2
Why this answer is correct
उनमें अभाज्य संख्याएँ भी सीमित संख्या में ही होंगी। / Therefore the primes among them are also finite in number.
Step 3
Exam Tip
बड़ा परिमित समुच्चय भी परिमित ही रहता है। / A large finite set is still finite.
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कौन सा समुच्चय अपरिमित है, पर उसे सरल नियम से लिखा जा सकता है?
Which set is infinite but can be written by a simple rule?
#sets
#infinite-set
#set-builder
#multiples
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? Hint Small clue
A \({x\in\mathbb{N}:x\le 10}\)
B \(({x\in\mathbb{N}:x\) 3 का गुणज है}) / natural multiples of (3)
C \({x\in\mathbb{Z}:x^2=25}\) / integer solutions of \(x^2=25\)
D \({x\in\mathbb{N}:x<1}\) / natural numbers less than (1)
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Correct Answer
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 3 का गुणज है}) / natural multiples of (3)
Step 1
Concept
(3) के प्राकृतिक गुणज \(3,6,9,\ldots\) लगातार चलते हैं। / Natural multiples of (3) are \(3,6,9,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
इनका कोई अंतिम अवयव नहीं है। / They have no last element.
Step 3
Exam Tip
सरल नियम होने का अर्थ परिमित होना नहीं है। / Having a simple rule does not mean the set is finite.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 10 का गुणनखंड है\(}) और (B={x\in\mathbb{N}:x\) 20 का गुणनखंड है}), तो कौन सा कथन सही है?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of \(10}) and (B={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of 20}), which statement is correct?
#sets
#equal-sets
#finite-set
#factors
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A=B)
B \(A\ne B\), पर दोनों परिमित हैं / \(A\ne B\), but both are finite
C दोनों अपरिमित हैं / both are infinite
D दोनों रिक्त हैं / both are empty
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Correct Answer
B. \(A\ne B\), पर दोनों परिमित हैं / \(A\ne B\), but both are finite
Step 1
Concept
(10) के गुणनखंड ({1,2,5,10}) हैं। / The factors of (10) are ({1,2,5,10}).
Step 2
Why this answer is correct
(20) के गुणनखंड ({1,2,4,5,10,20}) हैं, इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। / The factors of (20) are ({1,2,4,5,10,20}), so the sets are not equal.
Step 3
Exam Tip
निश्चित संख्याओं के गुणनखंडों के समुच्चय परिमित होते हैं। / Factors of fixed numbers form finite sets.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x^2<0}\) को पहचानिए।
Identify the set \(A={x\in\mathbb{R}:x^2<0}\).
#sets
#empty-set
#real-numbers
#square
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B ({0})
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,0\)) / negative real numbers
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Correct Answer
A. रिक्त समुच्चय / empty set
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। / The square of a real number is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x^2<0\) की कोई वास्तविक पूर्ति नहीं है। / Therefore \(x^2<0\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
वर्ग से बने ऋणात्मक परिणामों पर तुरंत वास्तविक क्षेत्र जाँचें। / Whenever a square is required to be negative, check the real domain immediately.
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यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=0}\) और \(B=\varnothing\), तो कौन सा कथन सही है?
If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=0}\) and \(B=\varnothing\), which statement is correct?
#sets
#singleton-set
#empty-set
#zero
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (A=B)
B \(A=\{0\}\) और \(A\ne B\) / \(A=\{0\}\) and \(A\ne B\)
C (A) रिक्त है / (A) is empty
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Correct Answer
B. \(A=\{0\}\) और \(A\ne B\) / \(A=\{0\}\) and \(A\ne B\)
Step 1
Concept
\(x^2=0\) का पूर्णांक हल केवल (x=0) है। / The only integer solution of \(x^2=0\) is (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A=\{0\}\), जिसमें एक अवयव है। / Thus \(A=\{0\}\), which has one element.
Step 3
Exam Tip
({0}) और \(\varnothing\) को अलग-अलग पहचानें। / Identify ({0}) and \(\varnothing\) separately.
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यदि \(A={x\in\mathbb{N}:x^2-1=0}\) और \(B=\{-1,1\}\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If \(A={x\in\mathbb{N}:x^2-1=0}\) and \(B=\{-1,1\}\), which conclusion is correct?
#sets
#equal-sets
#natural-numbers
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (A=B)
B \(A=\{1\}\), इसलिए \(A\ne B\) / \(A=\{1\}\), so \(A\ne B\)
C \(A=\varnothing\)
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Correct Answer
B. \(A=\{1\}\), इसलिए \(A\ne B\) / \(A=\{1\}\), so \(A\ne B\)
Step 1
Concept
\(x^2-1=0\) से (x=-1) या (x=1) मिलता है। / \(x^2-1=0\) gives (x=-1) or (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
पर \(\mathbb{N}\) में केवल (1) आता है, (-1) नहीं। / But in \(\mathbb{N}\), only (1) is allowed, not (-1).
Step 3
Exam Tip
हल लिखने से पहले दिए हुए समुच्चय-क्षेत्र को लागू करें। / Apply the given domain before writing the solution set.
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\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{N}:x\) 2 से विभाज्य है और x 3 से विभाज्य है}) की प्रकृति क्या है?
\(What is the nature of (A={x\in\mathbb{N}:x\) is divisible by 2 and x is divisible by 3})?
#sets
#infinite-set
#divisibility
#multiples
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A रिक्त समुच्चय / empty set
B परिमित समुच्चय / finite set
C अपरिमित समुच्चय / infinite set
D ({6})
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Correct Answer
C. अपरिमित समुच्चय / infinite set
Step 1
Concept
(2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज होती हैं। / Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(6,12,18,\ldots\) अंतहीन रूप से मिलते हैं। / \(6,12,18,\ldots\) continue endlessly.
Step 3
Exam Tip
और का अर्थ दोनों शर्तें है, लेकिन इससे समुच्चय हमेशा छोटा या परिमित नहीं हो जाता। / And means both conditions, but it does not always make a set finite.
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