Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Zero variable चुनें और बाकी (3) variables में positive sum (16) बांटें। परीक्षा में exactly zero cases को positive distribution में बदलें। / Choose the zero variable and split positive sum (16) among the remaining (3) variables. In exams convert exactly-zero cases into positive distribution.
Minimum sum (10) हटाने पर (12) बचता है और (4) variables में distribute होता है। परीक्षा में lower bounds subtract करके stars and bars लगाएं। / After removing the minimum sum (10), (12) remains and is distributed among (4) variables. In exams subtract lower bounds and use stars and bars.
पहले (3) positive variables चुनें, फिर (12) को (3) positive parts में बांटें। परीक्षा में exactly positive variables में choose variables plus positive stars-bars करें। / Choose the (3) positive variables first, then split (12) into (3) positive parts. In exams use choose variables plus positive stars and bars for exactly positive variables.
Minimum sum (14) हटाने पर (16) बचता है, इसलिए \({}^{16+4-1}C_{3}\) मिलता है। परीक्षा में unequal lower bounds पहले subtract करें। / After removing the minimum sum (14), (16) remains, so \({}^{16+4-1}C_{3}\) is obtained. In exams subtract unequal lower bounds first.
पहले zero variables चुनें, फिर बाकी दो variables positive sum (18) बनाते हैं। परीक्षा में exactly zero cases में positive distribution लगाएं। / Choose the zero variables first, then the remaining two variables form a positive sum of (18). In exams use positive distribution for exactly-zero cases.
Minimum (3+4+5=12) हटाने पर (8) बचता है। परीक्षा में unequal lower bounds को पहले shift करें। / Removing the minimum (3+4+5=12) leaves (8). In exams shift unequal lower bounds first.
चार variables को पहले (2) देने पर (17) बचता है। परीक्षा में lower bound घटाकर non-negative stars and bars लगाएं। / Give (2) first to the four variables, leaving (17). In exams subtract the lower bound and apply non-negative stars and bars.
Stars and bars में (18) stars और (3) bars arrange होते हैं। परीक्षा में अऋणात्मक हलों के लिए \(^{n+r-1}C_{r-1}\) लगाएं। / In stars and bars, (18) stars and (3) bars are arranged. In exams use \(^{n+r-1}C_{r-1}\) for non-negative solutions.
कुल \(^{12}C_{2}=66\) हल हैं। \(x\geq4\) वाले \(^{8}C_{2}=28\) घटाने पर (38) मिलते हैं। / There are \(^{12}C_{2}=66\) total solutions. Subtract \(^{8}C_{2}=28\) cases with \(x\geq4\) to get (38).
स्टार और बार विधि से संख्या \(^{15+3-1}C_{3-1}=^{17}C_{2}\) है। इसका मान (136) है। / By the stars and bars method, the count is \(^{15+3-1}C_{3-1}=^{17}C_{2}\). Its value is (136).
कुल \( \binom{12}{2} \) से किसी चर के (6) या अधिक होने के \(3\binom{6}{2}\) मामले घटते हैं, उत्तर (21) है। ऊपरी सीमा में पूरक गिनती उपयोगी रहती है। / From total \( \binom{12}{2} \), subtract \(3\binom{6}{2}\) cases where a variable is (6) or more, giving (21). For upper bounds, complementary counting is useful.
न्यूनतम मान घटाने पर (a+b+z=7) मिलता है, इसलिए \( \binom{9}{2}=36 \)। पहले शर्तों को शून्य-आधारित बनाइए। / After subtracting minimum values, (a+b+z=7), so \( \binom{9}{2}=36 \). First convert constraints to zero-based variables.
\(x_1\) और \(x_2\) की शर्तों को बदलकर गैर-ऋणात्मक चर में लिखें और \(x_3\) के लिए मामले लें। सीमा वाली शर्त में मामलों का योग करें। / Convert the restrictions on \(x_1\) and \(x_2\) into non-negative variables and take cases for \(x_3\). For bounded variables, add case counts.
\( \frac{1}{2} \) और \( \frac{11}{2} \) के बीच पूर्णांक ( 1 ) से ( 5 ) तक हैं। पूर्णांक समाधान में केवल अलग-अलग बिंदु चिन्हित करें। / The integers between \( \frac{1}{2} \) and \( \frac{11}{2} \) are from ( 1 ) to ( 5 ). For integer solutions, mark only separate points.
( -3 ) शामिल है और ( 4 ) शामिल नहीं है। पूर्णांक समाधान में लगातार छाया के बजाय अलग बिंदु चिन्हित करें। / ( -3 ) is included and ( 4 ) is excluded. For integer solutions, mark separate points instead of a continuous shade.
\(-\frac{5}{2}\) से बड़े पूर्णांक (-2) से शुरू होते हैं और \(\frac{13}{3}\) तक (4) अंतिम पूर्णांक है। परीक्षा में fractional boundary पर valid integer चुनें। / Integers greater than \(-\frac{5}{2}\) start at (-2), and the last integer up to \(\frac{13}{3}\) is (4). In exams, choose valid integers at fractional boundaries.
A. सबसे छोटा (4), सबसे बड़ा (11)/Smallest (4), greatest (11)
Explanation
Simple Explanation
हल \(6\le x+2<14\) से \(4\le x<12\), इसलिए पूर्णांक (4) से (11) तक हैं। परीक्षा में ऊपरी strict सीमा से ठीक पहले वाला पूर्णांक लें। / The solution \(6\le x+2<14\) gives \(4\le x<12\), so integers run from (4) to (11). In exams, take the integer just before a strict upper boundary.
(-7) शामिल है और \(\frac{5}{2}\) से छोटे पूर्णांक (2) तक हैं। परीक्षा में पूर्णांक प्रतिबंध हो तो रेखा नहीं, अलग बिंदु बनाएं। / (-7) is included, and integers less than \(\frac{5}{2}\) go up to (2). In exams, with an integer restriction, mark separate points instead of a continuous line.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (2) शामिल है। परीक्षा में पूर्णांक शर्त होने पर अलग-अलग बिंदु दिखाएँ। / (-2) is not included but (2) is included. In exams, show separate points when the condition is over integers.
केवल अलग-अलग पूर्णांक बिंदु भरे हैं इसलिए \(x\in\mathbb{Z}\) होगा। परीक्षा में रेखा और अलग बिंदुओं में अंतर पहचानें। / Only separate integer points are filled, so \(x\in\mathbb{Z}\). In exams, distinguish a shaded line segment from separate points.
\(2<2x\leq 12\) से \(1<x\leq 6\) मिलता है। पूर्णांक मान (2,3,4,5,6) हैं। / From \(2<2x\leq 12\), we get \(1<x\leq 6\). The integer values are (2,3,4,5,6).
\(3x\ge 7\) से \(x\ge \frac{7}{3}\) मिलता है इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक (3) है। सीमा से ऊपर पहला पूर्णांक लें। / \(3x\ge 7\) gives \(x\ge \frac{7}{3}\), so the least integer is (3). Take the first integer above the boundary.
\(x+2\le 6\) से \(x\le 4\) मिलता है और धनात्मक पूर्णांक (1,2,3,4) हैं। गिनते समय (0) को धनात्मक पूर्णांक न मानें। / \(x+2\le 6\) gives \(x\le 4\), and the positive integers are (1,2,3,4). Do not count (0) as a positive integer.
हल \(-1\le x<\frac{11}{3}\) है, इसलिए पूर्णांक ({-1,0,1,2,3}) मिलते हैं। परीक्षा में अंतिम उत्तर डोमेन के अनुसार लिखें। / The solution is \(-1\le x<\frac{11}{3}\), so the integers are ({-1,0,1,2,3}). In exams write the final answer according to the domain.
(-3) शामिल नहीं है और (2) शामिल है। परीक्षा में खुले और बंद छोर अलग-अलग जांचें। / The value (-3) is not included and (2) is included. In exams check open and closed endpoints separately.
(2x<6) से (x<3), इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (2) है। परीक्षा में खुले चिह्न (<) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / From (2x<6), (x<3), so the greatest integer is (2). In exams a strict sign (<) does not include the boundary value.
पूर्णांक (-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1) हैं। दोनों सिरे खुले हैं, इसलिए (-7) और (2) शामिल नहीं हैं। / The integers are (-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1). Both endpoints are open, so (-7) and (2) are not included.
