Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले (m) विशेष सदस्यों को दूसरे भाग में रखिए और बाकी (n-m) सदस्यों को स्वतंत्र विकल्प दीजिए। परीक्षा में ऐसे sums में fixed marked set पहले चुनें। / First place the (m) special members in the second part and give free choices to the remaining (n-m) members. In exams choose the fixed marked set first in such sums.
पहले (3) चिह्नित सदस्य चुनें और बाकी (n-3) सदस्य subset में आएं या न आएं। परीक्षा में अंदर वाले चयन को पहले गिनना तेज होता है। / Choose the (3) marked members first and let each of the remaining (n-3) members enter the subset or not. In exams count the inner selection first.
((1+x)^n) को differentiate करके (x) से multiply करने पर यह sum मिलता है। परीक्षा में (r) factor दिखे तो derivative method सोचें। / Differentiate ((1+x)^n) and multiply by (x) to obtain this sum. In exams think of the derivative method when a factor (r) appears.
दो बार differentiation करने पर (r(r-1)) factor आता है और \(x^2\) से power restore होती है। परीक्षा में (r(r-1)) के लिए second derivative लगाएं। / Two differentiations produce the factor (r(r-1)), and \(x^2\) restores the power. In exams use the second derivative for (r(r-1)).
Powers को falling factorials में तोड़ने से standard binomial sums लगते हैं। परीक्षा में \(r^3\) को सीधे expand करने के बजाय falling form लिखें। / Breaking powers into falling factorials allows standard binomial sums. In exams write \(r^3\) in falling form instead of expanding directly.
A. पहले बड़ा समूह चुनना या पहले marked (s)-समूह चुनना एक ही कार्य है/Choosing the large group first or choosing the marked (s)-group first is the same task
Explanation
Simple Explanation
दोनों तरफ (r)-समूह के भीतर (s) विशेष सदस्यों वाला same selection गिना जाता है। परीक्षा में nested selection को order बदलकर देखें। / Both sides count the same selection with (s) special members inside an (r)-group. In exams change the order of nested selection.
Sequential selection में हर selected block का internal order हटता है। परीक्षा में कई labelled groups दिखें तो multinomial denominator बनाएं। / In sequential selection the internal order of each selected block is removed. In exams form a multinomial denominator when many labelled groups appear.
दो size (2) groups और दो size (4) groups की अदला-बदली duplicate देती है। परीक्षा में equal-size unlabelled groups के factorials से extra divide करें। / Interchanging the two size (2) groups and the two size (4) groups gives duplicates. In exams divide extra by factorials of equal-size unlabelled groups.
तीनों groups same size और unlabelled हैं इसलिए group order (3!) भी हटता है। परीक्षा में equal unlabelled groups में extra (3!) याद रखें। / All three groups have the same size and are unlabelled, so group order (3!) is also removed. In exams remember the extra (3!) for equal unlabelled groups.
A. (^{r}C_k\sum_{i=0}^{r-k}(-1)^i{}^{r-k}C_i(r-k-i)^n)
Explanation
Simple Explanation
पहले empty boxes चुनें, फिर बाकी boxes में onto distribution करें। परीक्षा में exactly empty boxes में selection plus inclusion-exclusion लगाएं। / First choose the empty boxes, then distribute onto the remaining boxes. In exams use selection plus inclusion-exclusion for exactly empty boxes.
Empty boxes को inclusion-exclusion से घटाया और जोड़ा जाता है। परीक्षा में onto का मतलब हर labelled box non-empty समझें। / Empty boxes are subtracted and added by inclusion-exclusion. In exams interpret onto as every labelled box being non-empty.
पहले (3) labelled non-empty groups गिनते हैं, फिर labels की (3!) अदला-बदली हटाते हैं। परीक्षा में unlabelled groups के लिए labelled count divide करें। / First count (3) labelled non-empty groups, then remove the (3!) label permutations. In exams divide the labelled count for unlabelled groups.
Minimum sum (14) हटाने पर (16) बचता है, इसलिए \({}^{16+4-1}C_{3}\) मिलता है। परीक्षा में unequal lower bounds पहले subtract करें। / After removing the minimum sum (14), (16) remains, so \({}^{16+4-1}C_{3}\) is obtained. In exams subtract unequal lower bounds first.
कुल (24) और तीन variables की maximum (8) होने से केवल ((8,8,8)) संभव है। परीक्षा में inclusion-exclusion से पहले extreme feasibility देखें। / Since the total is (24) and the maximum of each of the three variables is (8), only ((8,8,8)) is possible. In exams check extreme feasibility before inclusion-exclusion.
Violation \(x_i\geq6\) से शुरू होती है और inclusion-exclusion लागू होता है। परीक्षा में upper bound (5) हो तो shift (6) लें। / A violation starts at \(x_i\geq6\), so inclusion-exclusion applies. In exams use shift (6) for upper bound (5).
पहले (3) positive variables चुनें, फिर (12) को (3) positive parts में बांटें। परीक्षा में exactly positive variables में choose variables plus positive stars-bars करें। / Choose the (3) positive variables first, then split (12) into (3) positive parts. In exams use choose variables plus positive stars and bars for exactly positive variables.
पहले empty boxes चुनें, फिर बाकी (3) boxes में positive distribution करें। परीक्षा में exactly empty को boxes selection और positive distribution में तोड़ें। / First choose the empty boxes, then distribute positively into the remaining (3) boxes. In exams split exactly empty into box selection and positive distribution.
Derangement के alternating factorial expression को compare करने से यह recurrence मिलता है। परीक्षा में derangement recurrence के लिए inclusion-exclusion form याद रखें। / Comparing the alternating factorial expression for derangements gives this recurrence. In exams remember the inclusion-exclusion form for derangement recurrence.
पहले सही रहने वाले (2) objects चुनें और बाकी (5) objects derange करें। परीक्षा में exactly fixed points के लिए choose fixed plus derange rest लगाएं। / First choose the (2) objects that stay fixed and derange the remaining (5). In exams use choose fixed plus derange rest for exactly fixed points.
यह (6) objects का derangement है और \(D_6=265\) होता है। परीक्षा में letters-envelope mismatch को derangement समझें। / This is a derangement of (6) objects and \(D_6=265\). In exams treat letter-envelope mismatch as derangement.
(A,B) की positions distance (k+1) पर होती हैं और order के (2) choices हैं। परीक्षा में fixed gap problems में positions first count करें। / The positions of (A,B) are at distance (k+1), and there are (2) choices for order. In exams count positions first in fixed-gap problems.
Positions के (10-3-1=6) choices और (A,B) order के (2) choices हैं। परीक्षा में between condition में position pairs गिनें। / There are (10-3-1=6) position choices and (2) choices for the order of (A,B). In exams count position pairs for between conditions.
उन (3) books के (3!) relative orders में केवल (1) allowed है। परीक्षा में fixed relative order में total को (k!) से divide करें। / Only (1) of the (3!) relative orders of those (3) books is allowed. In exams divide total by (k!) for fixed relative order.
तीन स्वतंत्र before-after restrictions count को \(2^3\) से divide करती हैं। परीक्षा में independent pairs पर (2) की power से divide करें। / Three independent before-after restrictions divide the count by \(2^3\). In exams divide by a power of (2) for independent pairs.
A. (A) को fix करके (B) की two possible circular positions देखें/Fix (A) and check the two possible circular positions of (B)
Explanation
Simple Explanation
Circular rotation हटाने के बाद fixed distance वाली positions गिनी जाती हैं। परीक्षा में circular distance में पहले one object fix करें। / After removing circular rotation, positions with fixed distance are counted. In exams fix one object first for circular distance.
Total circular arrangements (7!) हैं और adjacent block \(2\cdot6!\) ways में आता है। परीक्षा में circular not adjacent को complement से करें। / Total circular arrangements are (7!), and the adjacent block occurs in \(2\cdot6!\) ways. In exams handle circular not-adjacent by complement.
(7) couple-blocks की circular arrangement (6!) है और हर block में (2) internal orders हैं। परीक्षा में circular block count में blocks minus one factorial लें। / The circular arrangement of (7) couple-blocks is (6!), and each block has (2) internal orders. In exams use blocks minus one factorial for circular block count.
पहले men को circle में (5!) ways से बैठाएं, फिर (6) gaps में women को (6!) ways से रखें। परीक्षा में circular alternate में starting factor (2) न लगाएं। / Seat the men in a circle in (5!) ways, then place the women in the (6) gaps in (6!) ways. In exams do not add a starting factor (2) in circular alternation.
Bracelet में rotations और reflections same माने जाते हैं। परीक्षा में bracelet count के लिए (\frac{(n-1)!}{2}) लगाएं। / In a bracelet, rotations and reflections are considered the same. In exams use (\frac{(n-1)!}{2}) for bracelet count.
Last digit (0) fix होने पर बाकी (4) places में (8) non-zero digits से ordered selection होता है। परीक्षा में zero-last case leading restriction हटाता है। / When the last digit is fixed as (0), the remaining (4) places use ordered selection from (8) non-zero digits. In exams the zero-last case removes the leading restriction.
Last digit के (4) choices हैं, first digit के (7) non-zero choices बचते हैं, फिर (3) places fill होती हैं। परीक्षा में zero और non-zero even cases अलग करें। / There are (4) choices for the last digit, (7) remaining non-zero choices for the first digit, and then (3) places are filled. In exams separate zero and non-zero even cases.
Exactly (2) odd positions चुनें, फिर odd और even digits के choices multiply करें। परीक्षा में exactly type digit questions में positions first चुनें। / Choose exactly (2) odd positions, then multiply choices of odd and even digits. In exams choose positions first in exactly-type digit questions.
हर symbol का आना onto condition है, इसलिए missing symbols को inclusion-exclusion से हटाते हैं। परीक्षा में at least once को onto mapping समझें। / Every symbol appearing is an onto condition, so missing symbols are removed by inclusion-exclusion. In exams treat at least once as onto mapping.
पहले (3) symbols चुनें, फिर (7) positions पर onto strings बनाएं। परीक्षा में exactly distinct symbols के लिए choose set plus onto count करें। / First choose (3) symbols, then form onto strings on (7) positions. In exams use choose set plus onto count for exactly distinct symbols.
Repeated symbol चुनें, बाकी (r-2) distinct symbols चुनें, फिर multiset arrange करें। परीक्षा में exactly one repeat में repeated item पहले fix करें। / Choose the repeated symbol, choose the remaining (r-2) distinct symbols, then arrange the multiset. In exams fix the repeated item first for exactly one repeat.
यह (n) brackets को (p,q,r,s) sizes में बांटने का multinomial count है। परीक्षा में exponents को group sizes मानें। / This is the multinomial count of dividing (n) brackets into sizes (p,q,r,s). In exams treat exponents as group sizes.
Powers का sum (9) है और coefficient multinomial form से मिलता है। परीक्षा में multinomial term में repeated arrangements जैसा denominator रखें। / The powers sum to (9), and the coefficient comes from the multinomial form. In exams use a repeated-arrangement style denominator in multinomial terms.
A. एक bracket से \(x^2\) या दो brackets से (x) चुनना/Choose \(x^2\) from one bracket or (x) from two brackets
Explanation
Simple Explanation
\(x^2\) बनने के दो disjoint cases हैं। परीक्षा में polynomial expansion coefficients में exponent-sum cases बनाएं। / There are two disjoint cases to form \(x^2\). In exams make exponent-sum cases for polynomial expansion coefficients.
Case (1): एक \(x^2\) चुनें, case (2): दो (x) चुनें। परीक्षा में same power पाने वाले सभी cases जोड़ें। / Case (1): choose one \(x^2\), case (2): choose two (x)'s. In exams add all cases that produce the same power.
Modulo (3) classes अलग करने के लिए cube roots of unity का filter उपयोग होता है। परीक्षा में (3)-step coefficient sums को even-odd से अलग पहचानें। / The cube roots of unity filter is used to separate modulo (3) classes. In exams distinguish (3)-step coefficient sums from even-odd sums.
A. \(\frac{{}^{n}C_{r+1}}{{}^{n}C_r}=\frac{n-r}{r+1}\)
Explanation
Simple Explanation
Consecutive binomial coefficients में यह ratio बढ़ने और घटने की दिशा बताता है। परीक्षा में peak खोजने के लिए ratio को (1) से compare करें। / This ratio shows the direction of increase and decrease in consecutive binomial coefficients. In exams compare the ratio with (1) to locate the peak.
Ratio \(\frac{n-r}{r+1}>1\) होना चाहिए। परीक्षा में monotonicity के लिए consecutive ratio को (1) से compare करें। / The ratio \(\frac{n-r}{r+1}>1\) must hold. In exams compare consecutive ratios with (1) for monotonicity.
Unequal equal-combination indices complementary होते हैं। परीक्षा में lower indices का sum upper index के बराबर करें। / Unequal equal-combination indices are complementary. In exams set the sum of lower indices equal to the upper index.
Complementary indices से (2r-1+r+8=24), इसलिए (r=6)। परीक्षा में equal combinations में same-index case और complement case अलग देखें। / Complementary indices give (2r-1+r+8=24), so (r=6). In exams check same-index and complement cases separately in equal combinations.
({}^{n}P_4=(n-3){}^{n}P_3), इसलिए (n-3=12)। परीक्षा में consecutive permutation relation सीधे लगाएं। / ({}^{n}P_4=(n-3){}^{n}P_3), so (n-3=12). In exams apply the consecutive permutation relation directly.
\(\frac{n-r}{r+1}=\frac{3}{4}\) से (4n-4r=3r+3) मिलता है। परीक्षा में ratio equations को cross multiply करें। / From \(\frac{n-r}{r+1}=\frac{3}{4}\), we get (4n-4r=3r+3). In exams cross-multiply ratio equations.
Ratio \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\) है। परीक्षा में consecutive combination ratio का सही direction रखें। / The ratio is \(\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\). In exams keep the direction of consecutive combination ratios correct.
At least (2) special का complement (0) special या exactly (1) special है। परीक्षा में complement में सभी unwanted cases घटाएं। / The complement of at least (2) special is (0) special or exactly (1) special. In exams subtract all unwanted cases in the complement.
Case (1): दोनों शामिल हों, case (2): दोनों बाहर हों। परीक्षा में paired restriction को दो disjoint cases में तोड़ें। / Case (1): both are included, case (2): both are excluded. In exams split paired restrictions into two disjoint cases.
Total selections से (A,B) दोनों वाले selections घटते हैं। परीक्षा में not together selection में complement सबसे छोटा route है। / Subtract selections containing both (A,B) from total selections. In exams complement is the shortest route for not-together selection.
