The first condition gives (x>1) and the second gives (x<9), so (x=2,3,4,5,6,7,8), which are (7) integers. Always list integer endpoints carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (5). The first condition gives (x>1) and the second gives (x<9), so (x=2,3,4,5,6,7,8), which are (7) integers. Always list integer endpoints carefully.
Step 3
Exam Tip
पहली शर्त से (x>1) और दूसरी से (x<9) है इसलिए (x=2,3,4,5,6,7,8) कुल (7) नहीं बल्कि विकल्प जांचने पर (7) होना चाहिए।
Writing it as (x(x-1)(x+1)=0) gives the integer solutions (-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
Since (A) and (B) have exactly the same three elements, the sets are equal. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। चरण 2: इसे (x(x-1)(x+1)=0) लिखने पर पूर्णांक हल (-1,0,1) मिलते हैं। चरण 3: (A) और (B) में वही तीन तत्व हैं, इसलिए दोनों समान समुच्चय हैं।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements of (A) are exactly (-3,3).
Step 3
Exam Tip
Since (A) and (B) have the same elements, (A=B). चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: (A) के तत्व (-3,3) ही हैं। चरण 3: (A) और (B) के तत्व समान हैं इसलिए (A=B)।
This gives (x=2) and (x=-3), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
In equal sets, the written order does not matter. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर (x-2=0) या (x+3=0) होगा। चरण 2: इससे (x=2) और (x=-3) मिलते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में लिखने का क्रम महत्व नहीं रखता।
B. \(({x\in\mathbb{Z}:x^2=9\) और \(x>0})\)/\(({x\in\mathbb{Z}:x^2=9\) and \(x>0})\)
Step 1
Concept
The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x>0) leaves only (3), so there is exactly one element.
Step 3
Exam Tip
An extra inequality can reduce two solutions to one. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। चरण 2: (x>0) शर्त से केवल (3) बचता है, इसलिए एक अवयव है। चरण 3: एक अतिरिक्त असमानता दो हलों को एक हल में बदल सकती है।
In the integer domain, the solutions are (0) and (1), so the set is ({0,1}).
Step 3
Exam Tip
If the domain is \(\mathbb{N}\) and (0) is not included, the answer may change. चरण 1: \(x^2=x\) से (x(x-1)=0) मिलता है। चरण 2: पूर्णांक क्षेत्र में हल (0) और (1) हैं, इसलिए समुच्चय ({0,1}) है। चरण 3: यदि क्षेत्र \(\mathbb{N}\) हो और (0) शामिल न माना जाए, तो उत्तर बदल सकता है।
The integer solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
The condition (x<0) leaves only (-4).
Step 3
Exam Tip
An extra condition can reduce the solution set. चरण 1: \(x^2=16\) के पूर्णांक हल (-4) और (4) हैं। चरण 2: (x<0) शर्त के कारण केवल (-4) बचेगा। चरण 3: अतिरिक्त शर्त समाधान-समुच्चय को छोटा कर सकती है।
The integer solutions are (3) and (4), so (A) and (B) have the same elements.
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare the elements only. चरण 1: (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)) है। चरण 2: पूर्णांक हल (3) और (4) हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। चरण 3: बराबर समुच्चय में केवल अवयवों की समानता देखी जाती है।
The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1), so \(A=\{-1,1\}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(B=\{1\}\), both sets are finite but not equal.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check the negative solution too. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{-1,1\}\)। चरण 2: \(B=\{1\}\) है, इसलिए दोनों परिमित हैं लेकिन बराबर नहीं हैं। चरण 3: समान दिखने वाले हलों में ऋणात्मक मान भी जाँचें।
In the integer domain, no (x) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
The same equation can give different sets when the domain changes. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल पूर्णांक नहीं हैं। चरण 2: पूर्णांक क्षेत्र में कोई (x) यह शर्त पूरी नहीं करता। चरण 3: समान समीकरण का उत्तर क्षेत्र बदलने पर बदल सकता है।
The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
Step 3
Exam Tip
In non-negative square questions, check zero separately. चरण 1: किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। चरण 2: \(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। चरण 3: गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें।
D. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4})/\({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
Step 1
Concept
In the integer domain, \(x^2=16\) has solutions (-4) and (4).
Step 2
Why this answer is correct
So it cannot be equal to ({4}).
Step 3
Exam Tip
Check the given domain before testing equality. चरण 1: पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। चरण 2: इसलिए वह समुच्चय ({4}) के बराबर नहीं हो सकता। चरण 3: बराबरी जाँचते समय दिए गए क्षेत्र को पहले देखें।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=-3) and (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (A) and (B) have exactly the same elements.
Step 3
Exam Tip
For square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=-3) और (x=3) हैं। चरण 2: इसलिए (A) और (B) में ठीक वही अवयव हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल जाँचें।
The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both are in the set.
Step 3
Exam Tip
Under an integer condition, do not forget the negative solution. चरण 1: \(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में होंगे। चरण 3: पूर्णांक शर्त में ऋणात्मक हल को न भूलें।
