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57 questions tagged with integer solutions.
If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(-4\le x\le 4\), how many values of (x) are possible?
A. (9)
पूर्णांक (-4) से (4) तक दोनों सिरों सहित आते हैं। कुल मान (9) हैं। / The integers from (-4) to (4) are included with both endpoints. The total number of values is (9).
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(-5<x\le 1\), how many values of (x) are there?
A. (6)
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0,1) हैं। (-5) शामिल नहीं है और (1) शामिल है। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0,1). The value (-5) is excluded and (1) is included.
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If \(x\in \mathbb{Z}\) and \( \frac{x+2}{3}>1 \) and (x<9), how many integer solutions are there?
A. (5)
पहली शर्त से (x>1) और दूसरी से (x<9) है इसलिए (x=2,3,4,5,6,7,8) कुल (7) नहीं बल्कि विकल्प जांचने पर (7) होना चाहिए। / The first condition gives (x>1) and the second gives (x<9), so (x=2,3,4,5,6,7,8), which are (7) integers. Always list integer endpoints carefully.
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If \(x\in \mathbb{Z}\) and \(-5\leq 2x-1<9\), how many integer solutions are there?
C. (7)
\(-4\leq 2x<10\) से \(-2\leq x<5\) है इसलिए (-2,-1,0,1,2,3,4) कुल (7) हल हैं। सीमा बिंदुओं को अलग से जांचें।
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If \(x-2<5\), \(x\in\mathbb{Z}\), and \(x\geq 2\), which are the possible integer values of \(x\)?
A. \(\{2,3,4,5,6\}\)
असमानता \(x-2<5\) में दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(x<7\) मिलता है। साथ ही \(x\geq 2\) और \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(x\) के मान 2 से 6 तक होंगे: \(\{2,3,4,5,6\}\)। विकल्प B में 7 शामिल है, लेकिन \(x<7\) के कारण 7 मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) या \(>\) में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 2 to both sides of \(x-2<5\) gives \(x<7\). Since \(x\geq 2\) and \(x\) is an integer, the possible values are the integers from 2 through 6: \(\{2,3,4,5,6\}\). Option B is incorrect because 7 is not allowed by the strict inequality \(x<7\). Exam tip: a strict inequality, such as \(<\) or \(>\), excludes its boundary value.
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If \(4x-1>15\) and \(x\in\mathbb{Z}\), what is the smallest integer solution?
A. 5
\(4x-1>15\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(4x>16\) और 4 से भाग देने पर \(x>4\) मिलता है। 4 स्वयं हल नहीं है, क्योंकि असमानता सख्त है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) या \(<\) वाली सख्त असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Adding 1 to both sides gives \(4x>16\), and dividing by 4 gives \(x>4\). Since the inequality is strict, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: In a strict inequality such as \(>\) or \(<\), the boundary value is excluded.
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What is the greatest integer solution of the inequality \(9x-4\leq 5x+20\)?
A. 6
दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(4x-4\leq 20\) मिलता है। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(4x\leq 24\), अतः \(x\leq 6\)। इसलिए सभी पूर्णांक \(6\) या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 6 है। परीक्षा-युक्ति: असमानता हल करने के बाद पूर्णांक हलों की सीमा में सबसे बड़ा मान चुनें। / Subtracting \(5x\) from both sides gives \(4x-4\leq 20\). Adding 4 and dividing by 4 yields \(x\leq 6\). Thus every integer less than or equal to 6 is a solution, and the greatest integer solution is 6. Exam tip: after solving an inequality, identify the largest integer included in the solution set.
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If \(\frac{x+3}{2}>6\), what is the least integer value of \(x\)?
A. 10
असमानता \(\frac{x+3}{2}>6\) में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर \(x+3>12\), अर्थात् \(x>9\) प्राप्त होता है। 9 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। ध्यान रखें कि ‘>’ में 9 शामिल नहीं होता; यदि चिह्न ‘\(\geq\)’ होता, तो 9 भी मान्य होता। / Multiplying \(\frac{x+3}{2}>6\) by 2 gives \(x+3>12\), so \(x>9\). The smallest integer greater than 9 is 10. Therefore, the correct answer is 10. Remember that the strict sign ‘>’ excludes 9; with ‘\(\geq\)’, 9 would also be included.
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If \(x+5<12\) and \(0\leq x\), which integer values of \(x\) are possible?
A. \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)
असमानता \(x+5<12\) में दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(x<7\) प्राप्त होता है। साथ ही \(0\leq x\) है, इसलिए \(x\) के पूर्णांक मान 0 से 6 तक होंगे: \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)। 7 शामिल नहीं है, क्योंकि \(7<7\) असत्य है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(<\) में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Subtracting 5 from both sides of \(x+5<12\) gives \(x<7\). Together with \(0\leq x\), the possible integer values of \(x\) are \(\{0,1,2,3,4,5,6\}\). The value 7 is excluded because \(7<7\) is false. Exam tip: In a strict inequality such as \(<\), the boundary value is not included.
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If \(2x+3>11\) and \(x\in\mathbb{Z}\), what is the smallest integer solution?
A. 5
असमानता \(2x+3>11\) में दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>8\) और 2 से भाग देने पर \(x>4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 4 स्वयं हल नहीं है; 4 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: \(>\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल नहीं होता। / Subtracting 3 from both sides of \(2x+3>11\) gives \(2x>8\), and dividing by 2 gives \(x>4\). Since \(x\) is an integer, 4 is not included; the smallest integer greater than 4 is 5. Exam tip: For a strict inequality \(>\), the boundary value is excluded.
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What is the greatest integer solution of the inequality \\(6x+1\leq 2x+17\\)?
A. 4
असमानता को हल करने पर \(6x+1\leq 2x+17\) से \(4x\leq 16\), अतः \(x\leq 4\) मिलता है। इसलिए सभी पूर्णांक हल 4 या उससे छोटे हैं और सबसे बड़ा पूर्णांक हल 4 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि 5 रखने पर \(31\leq 27\) असत्य हो जाता है। परीक्षा में असमानता हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटने का ध्यान रखें। / Solving the inequality, \(6x+1\leq 2x+17\) gives \(4x\leq 16\), so \(x\leq 4\). Thus, all integer solutions are 4 or less, and the greatest integer solution is 4. Option 5 is incorrect because substituting it gives \(31\leq 27\), which is false. In exams, remember to reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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Choose the correct statement for the sets \(A=\{x:x^2=4,\ x\in\mathbb{Z}\}\) and \(B=\{-2,2\}.
A. \(A=B\)
समुच्चय \(A\) में वे सभी पूर्णांक शामिल हैं जो \(x^2=4\) को संतुष्ट करते हैं। इस समीकरण के पूर्णांक हल \(x=2\) और \(x=-2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। यह समुच्चय \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं; इसलिए \(B\) और \(A\) एक-दूसरे के उपसमुच्चय हैं, न कि एक-दूसरे के उचित उपसमुच्चय। परीक्षा-टिप: \(x^2=a\) हल करते समय दोनों मान \(\pm\sqrt{a}\) अवश्य जाँचें और दिए गए क्षेत्र, यहाँ \(\mathbb{Z}\), का ध्यान रखें। / Set \(A\) contains every integer satisfying \(x^2=4\). The integer solutions are \(x=2\) and \(x=-2\), so \(A=\{-2,2\}\), which is exactly set \(B\). Therefore, \(A=B\). Option C is incorrect because the two sets have identical elements; hence each set is a subset of the other, not a proper subset of the other. Exam tip: when solving \(x^2=a\), consider both values \(\pm\sqrt{a}\) and check the specified domain, here \(\mathbb{Z}\).
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If \(A=\{x : x\in\mathbb{Z} \text{ and } x^2-2x=0\}\) and \(B=\{0,2\}\), which statement is true?
A. A = B
दिये गये समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)=0\)। अतः हल \(x=0\) और \(x=2\) हैं। चूँकि परिभाषा में \(x\in\mathbb{Z}\) है, इसलिए \(A=\{0,2\}=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि सही संबंध समता है, न कि उचित उपसमुच्चय; विकल्प B और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि A में दोनों 0 और 2 हैं और खाली समुच्चय नहीं है। परीक्षा-सुझाव: समीकरणों में हमेशा शून्य को जड़ के रूप में याद रखें और परिभाषित डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) की जाँच करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)=0\). Thus the integer solutions are \(x=0\) and \(x=2\). Since \(A\) is defined over \(\mathbb{Z}\), \(A=\{0,2\}=B\), so A equals B. The nearest distractor C is wrong because it asserts a proper subset rather than equality; B omits 0 and D contradicts the found roots. Exam tip: always factor and list all roots (including 0) and check the domain of the variable.
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If \(A=\{x:\ x\in\mathbb{Z},\ x^2=1\}\) and \(B=\{-1,1\}\), which of the following is true?
A. \(A=B\)
समाधान: पूर्णांकों में समीकरण \(x^2=1\) के हल \(x=1\) और \(x=-1\) हैं। अतः \(A=\{-1,1\}\), जो कि दिया गया \(B\) सेट है। इसलिए \(A=B\) सत्य है। नज़दीकी विचलन: विकल्प (B) सिर्फ \(1\) को रखता है और \(-1\) को छोड़ देता है, इसलिए गलत है। परखने की टिप: जब सेट समीकरण दें तो पहले डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) में सभी हल लिखें और फिर तत्वों की एक सूची बनाकर तुलना करें। / Reasoning: Over integers the equation \(x^2=1\) has solutions \(x=1\) and \(x=-1\). Thus \(A=\{-1,1\}\), which equals \(B\); so \(A=B\) is correct. Closest distractor: option (B) lists only \(1\) and omits \(-1\), so it is incorrect. Exam tip: always solve the equation within the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)) and compare full element lists to test set equality.
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If \(A={x \in \mathbb{Z}:x^3=x}\) and \(B=\{-1,0,1\}\), choose the correct conclusion.
A. (A=B)
\(x^3=x\) से \(x^3-x=0\) मिलता है। / From \(x^3=x\), we get \(x^3-x=0\).
इसे (x(x-1)(x+1)=0) लिखने पर पूर्णांक हल (-1,0,1) मिलते हैं। / Writing it as (x(x-1)(x+1)=0) gives the integer solutions (-1,0,1).
(A) और (B) में वही तीन तत्व हैं, इसलिए दोनों समान समुच्चय हैं। / Since (A) and (B) have exactly the same three elements, the sets are equal.
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If \(A={x \in \mathbb{Z}:x^2=9}\) and \(B=\{-3,3\}\), choose the correct statement.
A. (A=B)
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=3) और (x=-3) हैं। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=3) and (x=-3).
(A) के तत्व (-3,3) ही हैं। / The elements of (A) are exactly (-3,3).
(A) और (B) के तत्व समान हैं इसलिए (A=B)। / Since (A) and (B) have the same elements, (A=B).
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For the sets \(A=\{x\in\mathbb{Z}:(x-2)(x+3)=0\}\) and \(B=\{-3,2\}\), which conclusion is correct?
A. (A=B)
गुणनफल शून्य होने पर (x-2=0) या (x+3=0) होगा। / If the product is zero, then (x-2=0) or (x+3=0).
इससे (x=2) और (x=-3) मिलते हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। / This gives (x=2) and (x=-3), so (A) and (B) have the same elements.
बराबर समुच्चय में लिखने का क्रम महत्व नहीं रखता। / In equal sets, the written order does not matter.
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Which option gives a non-empty set with exactly (1) element?
B. \(({x\in\mathbb{Z}:x^2=9\) और \(x>0})\)\(({x\in\mathbb{Z}:x^2=9\) and \(x>0})\)
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3).
(x>0) शर्त से केवल (3) बचता है, इसलिए एक अवयव है। / The condition (x>0) leaves only (3), so there is exactly one element.
एक अतिरिक्त असमानता दो हलों को एक हल में बदल सकती है। / An extra inequality can reduce two solutions to one.
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Which option gives a set equal to ({0,1})?
A. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=x}\)
\(x^2=x\) से (x(x-1)=0) मिलता है। / \(x^2=x\) gives (x(x-1)=0).
पूर्णांक क्षेत्र में हल (0) और (1) हैं, इसलिए समुच्चय ({0,1}) है। / In the integer domain, the solutions are (0) and (1), so the set is ({0,1}).
यदि क्षेत्र \(\mathbb{N}\) हो और (0) शामिल न माना जाए, तो उत्तर बदल सकता है। / If the domain is \(\mathbb{N}\) and (0) is not included, the answer may change.
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\(If (A={x\in\mathbb{Z}:x^2=16\) and \(x<0}), what is (A)\)?
A. ({-4})
\(x^2=16\) के पूर्णांक हल (-4) और (4) हैं। / The integer solutions of \(x^2=16\) are (-4) and (4).
(x<0) शर्त के कारण केवल (-4) बचेगा। / The condition (x<0) leaves only (-4).
अतिरिक्त शर्त समाधान-समुच्चय को छोटा कर सकती है। / An extra condition can reduce the solution set.
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If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2-7x+12=0}\) and \(B=\{3,4\}\), which conclusion is correct?
A. (A=B)
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)) है। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)).
पूर्णांक हल (3) और (4) हैं, इसलिए (A) और (B) के अवयव समान हैं। / The integer solutions are (3) and (4), so (A) and (B) have the same elements.
बराबर समुच्चय में केवल अवयवों की समानता देखी जाती है। / For equal sets, compare the elements only.
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Which option gives a pair in which both sets are finite but not equal?
B. \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=1}, B={1}\)
\(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं, इसलिए \(A=\{-1,1\}\)। / The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1), so \(A=\{-1,1\}\).
\(B=\{1\}\) है, इसलिए दोनों परिमित हैं लेकिन बराबर नहीं हैं। / Since \(B=\{1\}\), both sets are finite but not equal.
समान दिखने वाले हलों में ऋणात्मक मान भी जाँचें। / In square equations, check the negative solution too.
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What is the correct answer for \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=2}\)?
C. \(A=\varnothing\)
\(x^2=2\) के वास्तविक हल पूर्णांक नहीं हैं। / The real solutions of \(x^2=2\) are not integers.
पूर्णांक क्षेत्र में कोई (x) यह शर्त पूरी नहीं करता। / In the integer domain, no (x) satisfies the condition.
समान समीकरण का उत्तर क्षेत्र बदलने पर बदल सकता है। / The same equation can give different sets when the domain changes.
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If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), what is (A)?
B. ({0})
किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। / For every integer, \(x^2\ge 0\).
\(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। / The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें। / In non-negative square questions, check zero separately.
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Which pair does not form equal sets?
D. \({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) और ({4})\({x\in\mathbb{Z}:x^2=16}\) and ({4})
पूर्णांक क्षेत्र में \(x^2=16\) के हल (-4) और (4) हैं। / In the integer domain, \(x^2=16\) has solutions (-4) and (4).
इसलिए वह समुच्चय ({4}) के बराबर नहीं हो सकता। / So it cannot be equal to ({4}).
बराबरी जाँचते समय दिए गए क्षेत्र को पहले देखें। / Check the given domain before testing equality.
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If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=9}\) and \(B=\{-3,3\}\), choose the correct conclusion.
A. (A=B)
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=-3) और (x=3) हैं। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=-3) and (x=3).
इसलिए (A) और (B) में ठीक वही अवयव हैं। / Thus (A) and (B) have exactly the same elements.
वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मूल जाँचें। / For square equations, check both positive and negative roots.
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\(If (W={x:x\) is an integer and \(x^2=1}), what is (W)\)?
A. \(W=\{-1,1\}\)
\(x^2=1\) के पूर्णांक हल (-1) और (1) हैं। / The integer solutions of \(x^2=1\) are (-1) and (1).
दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों समुच्चय में होंगे। / Both are integers, so both are in the set.
पूर्णांक शर्त में ऋणात्मक हल को न भूलें। / Under an integer condition, do not forget the negative solution.
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