Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\) होता है। इसे \(\frac{11}{5}\) के बराबर रखने पर (n=15)। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\). Equating it to \(\frac{11}{5}\) gives (n=15).
निश्चित सदस्य को पहले चुन लें और बाकी (2) को (17) में से चुनें। संख्या \(^{17}C_{2}=136\) है। / Fix the required member first and choose the remaining (2) from (17). The number is \(^{17}C_{2}=136\).
संभव मामले (2G3B) और (3G2B) हैं। योग \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\)। / The possible cases are (2G3B) and (3G2B). The sum is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{3}+^{5}C_{3}\times{}^{6}C_{2}=350\).
ठीक (4) शिक्षक के लिए \(^{10}C_{4}\) और (2) छात्र के लिए \(^{8}C_{2}\) लें। गुणन से (5880) मिलता है। / Choose (4) teachers using \(^{10}C_{4}\) and (2) students using \(^{8}C_{2}\). Multiplication gives (5880).
विशेष लोगों में से (1) और बाकी (4) लोगों को शेष (9) में से चुनें। संख्या \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\)। / Choose (1) special person and the remaining (4) people from the other (9). The number is \(^{3}C_{1}\times{}^{9}C_{4}=378\).
कुल चयन \(^{14}C_{6}\) हैं। कोई नामित विद्यार्थी न चुने जाने वाले \(^{11}C_{6}\) घटाने पर (2541) मिलता है। / Total selections are \(^{14}C_{6}\). Subtract selections with no named student \(^{11}C_{6}\) to get (2541).
वरिष्ठ सदस्यों की संख्या (2), (3), या (4) हो सकती है। योग \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\)। / The number of senior members can be (2), (3), or (4). The sum is \(^{4}C_{2}{}^{12}C_{5}+^{4}C_{3}{}^{12}C_{4}+^{4}C_{4}{}^{12}C_{3}=6952\).
(13) बिंदुओं में (5) बिंदु एक रेखा पर और (4) बिंदु दूसरी रेखा पर हैं। ये दोनों समूह अलग हैं और अन्य कोई (3) बिंदु सरल रेखा पर नहीं हैं। कितने त्रिभुज बनेंगे?
कुल \(^{13}C_{3}\) में से अमान्य चयन \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) घटाएं। उत्तर (286-14=272)। / Subtract invalid choices \(^{5}C_{3}+^{4}C_{3}\) from total \(^{13}C_{3}\). The answer is (286-14=272).
कुल युग्म \(^{12}C_{2}\) हैं। (5) कोलिनियर बिंदुओं के \(^{5}C_{2}\) युग्मों की जगह (1) रेखा होगी, इसलिए (66-10+1=57)। / Total pairs are \(^{12}C_{2}\). The \(^{5}C_{2}\) pairs from collinear points give only (1) line, so (66-10+1=57).
दो शीर्ष चुनने के तरीके \(^{18}C_{2}\) हैं। इनमें से (18) भुजाएं घटाने पर (135) विकर्ण मिलते हैं। / The ways to choose two vertices are \(^{18}C_{2}\). Subtracting (18) sides gives (135) diagonals.
वृत्त पर कोई भी (4) बिंदु एक चतुर्भुज बनाते हैं। इसलिए संख्या \(^{11}C_{4}=330\)। / Any (4) points on the circle form a quadrilateral. Hence the number is \(^{11}C_{4}=330\).
हर आंतरिक प्रतिच्छेद (4) शीर्षों के चयन से बनता है। इसलिए संख्या \(^{10}C_{4}=210\) है। / Each interior intersection is determined by choosing (4) vertices. Hence the number is \(^{10}C_{4}=210\).
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)। / The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
कुल (11) चालों में से (7) दाईं चालों के स्थान चुनें। संख्या \(^{11}C_{7}=330\) है। / Choose the positions of (7) right moves among (11) moves. The number is \(^{11}C_{7}=330\).
पहले भाग में \(^{5}C_{3}\) और दूसरे भाग में \(^{6}C_{4}\) रास्ते हैं। कुल \(10\times15=150\)। / The first part has \(^{5}C_{3}\) paths and the second part has \(^{6}C_{4}\) paths. Total \(10\times15=150\).
कुल रास्ते \(^{11}C_{6}=462\) हैं। उस बिंदु से होकर जाने वाले \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\) घटाएं, उत्तर (252)। / Total paths are \(^{11}C_{6}=462\). Subtract paths through that point \(^{4}C_{2}\times{}^{7}C_{4}=210\), giving (252).
गैर-लगातार चयन के लिए सूत्र \(^{n-r+1}C_{r}\) है। यहां \(^{21}C_{5}=20349\)। / For non-consecutive selection, use \(^{n-r+1}C_{r}\). Here \(^{21}C_{5}=20349\).
वृत्तीय चयन में संख्या \(\frac{10}{10-3}\times{}^{7}C_{3}\) है। इसका मान (50) है। / For circular selection, the count is \(\frac{10}{10-3}\times{}^{7}C_{3}\). Its value is (50).
स्टार और बार विधि से संख्या \(^{15+3-1}C_{3-1}=^{17}C_{2}\) है। इसका मान (136) है। / By the stars and bars method, the count is \(^{15+3-1}C_{3-1}=^{17}C_{2}\). Its value is (136).
धन पूर्णांक हलों के लिए पहले हर चर को (1) दें। संख्या \(^{19}C_{4}=3876\) है। / For positive integer solutions, give (1) to each variable first. The count is \(^{19}C_{4}=3876\).
कुल \(^{16}C_{3}\) से \(x_i\geq6\) वाले मामले घटाकर दोहरे मामले जोड़ें। (560-480+24=104)। / Subtract cases with \(x_i\geq6\) from total \(^{16}C_{3}\) and add double-overlap cases. (560-480+24=104).
कुल \(^{12}C_{2}=66\) हल हैं। \(x\geq4\) वाले \(^{8}C_{2}=28\) घटाने पर (38) मिलते हैं। / There are \(^{12}C_{2}=66\) total solutions. Subtract \(^{8}C_{2}=28\) cases with \(x\geq4\) to get (38).
पहले (4) सूटों में से सूट चुनें और फिर (13) में से (5) पत्ते चुनें। संख्या \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\)। / First choose one of (4) suits and then choose (5) cards from (13). The number is \(4\times{}^{13}C_{5}=5148\).
दिल के (2) पत्ते \(^{13}C_{2}\) तरीकों से और बाकी (3) पत्ते \(^{39}C_{3}\) तरीकों से चुने जाएंगे। गुणन से (712842)। / Choose (2) hearts in \(^{13}C_{2}\) ways and the other (3) cards in \(^{39}C_{3}\) ways. Multiplication gives (712842).
कुल \(^{52}C_{5}\) से बिना इक्के वाले \(^{48}C_{5}\) हाथ घटाएं। उत्तर (886656) है। / Subtract hands with no ace \(^{48}C_{5}\) from total \(^{52}C_{5}\). The answer is (886656).
(4) रानियों में से (3) चुनें और बाकी (3) पत्ते (48) गैर-रानी पत्तों से चुनें। संख्या \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\)। / Choose (3) queens from (4) and the other (3) cards from (48) non-queen cards. The number is \(^{4}C_{3}\times{}^{48}C_{3}=69184\).
सम योग के लिए विषम अंकों की संख्या (0), (2), या (4) होनी चाहिए। गणना \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\)। / For an even sum, the number of odd digits must be (0), (2), or (4). The count is \(^{5}C_{0}{}^{4}C_{4}+^{5}C_{2}{}^{4}C_{2}+^{5}C_{4}{}^{4}C_{0}=66\).
(3) के (5) गुणज और (10) गैर-गुणज हैं। चयन \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\) होगा। / There are (5) multiples of (3) and (10) non-multiples. The selection count is \(^{5}C_{2}\times{}^{10}C_{2}=450\).
आयत के लिए (6) क्षैतिज रेखाओं में से (2) और (7) ऊर्ध्व रेखाओं में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\)। / For a rectangle, choose (2) horizontal lines from (6) and (2) vertical lines from (7). The count is \(^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=315\).
पहले (5) विद्यार्थी \(^{10}C_{5}\) तरीकों से चुने जाते हैं। दो समूह अनाम हैं, इसलिए (2) से भाग दें और उत्तर (126) है। / First choose (5) students in \(^{10}C_{5}\) ways. Since the two groups are unnamed, divide by (2) to get (126).
पहले (4) लोगों को \(^{8}C_{4}\) तरीकों से चुनें और उन्हें (3) तरीकों से दो जोड़ों में बांटें। कुल \(70\times3=210\)। / First choose (4) people in \(^{8}C_{4}\) ways and split them into two pairs in (3) ways. Total \(70\times3=210\).
पहले (6) जोड़ों में से (4) जोड़े चुनें और हर चुने जोड़े से (1) व्यक्ति चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\)। / Choose (4) couples from (6) and then choose (1) person from each selected couple. The number is \(^{6}C_{4}\times2^{4}=240\).
एक जैसी टॉफियों की संख्या (0) से (4) तक हो सकती है। योग \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\)। / The number of identical candies can be from (0) to (4). Sum \(^{8}C_{4}+^{8}C_{3}+^{8}C_{2}+^{8}C_{1}+1=163\).
पत्रिकाएं (2), (3), या (4) ली जा सकती हैं। इसलिए संख्या \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\)। / The number of magazines can be (2), (3), or (4). Hence the count is \(^{9}C_{4}+^{9}C_{3}+^{9}C_{2}=246\).
हर डिब्बे में पहले (1) गेंद रखें। बची (3) गेंदों का वितरण \(^{6}C_{3}=20\) तरीकों से होगा। / Place (1) ball in each box first. The remaining (3) balls can be distributed in \(^{6}C_{3}=20\) ways.
कुल \(^{11}C_{2}=55\) वितरण हैं। किसी एक डिब्बे में कम से कम (5) गेंदें होने वाले \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) घटाएं, उत्तर (10)। / Total distributions are \(^{11}C_{2}=55\). Subtract \(3\times{}^{6}C_{2}=45\) cases where one box has at least (5) balls, giving (10).
ठीक (5) तत्वों वाला उपसमुच्चय चुनना (12) में से (5) तत्व चुनना है। संख्या \(^{12}C_{5}=792\) है। / Choosing a subset with exactly (5) elements means choosing (5) elements from (12). The number is \(^{12}C_{5}=792\).
किसी (n) तत्वों वाले समुच्चय में विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{n-1}\) होते हैं। यहां \(2^{9}=512\)। / In an (n)-element set, the number of odd-sized subsets is \(2^{n-1}\). Here \(2^{9}=512\).
आकार (6), (7), और (8) के उपसमुच्चय गिनें। योग \(^{8}C_{6}+^{8}C_{7}+^{8}C_{8}=37\)। / Count subsets of sizes (6), (7), and (8). The sum is \(^{8}C_{6}+^{8}C_{7}+^{8}C_{8}=37\).
वैंडरमोंड पहचान से यह योग \(^{12}C_{4}\) के बराबर है। इसलिए मान (495) है। / By Vandermonde's identity, the sum equals \(^{12}C_{4}\). Hence the value is (495).
गुणांक \(^{10}C_{4}\times2^{4}\) होगा। इसका मान \(210\times16=3360\) है। / The coefficient is \(^{10}C_{4}\times2^{4}\). Its value is \(210\times16=3360\).
\(a^{3}b^{5}\) के लिए (a) वाले (3) स्थान चुनें। गुणांक \(^{8}C_{3}=56\) है। / For \(a^{3}b^{5}\), choose the (3) positions of (a). The coefficient is \(^{8}C_{3}=56\).
विजेता संख्याओं में से (4) और गैर-विजेता (24) में से (2) चुनें। संख्या \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\)। / Choose (4) winning numbers and (2) numbers from the (24) non-winning numbers. The count is \(^{6}C_{4}\times{}^{24}C_{2}=4140\).
मामले (1S1C1O), (1S2C), और (2S1C) हैं। कुल \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\)। / The cases are (1S1C1O), (1S2C), and (2S1C). Total \(2\times3\times4+2\times{}^{3}C_{2}+{}^{2}C_{2}\times3=33\).
(9) सदस्यों में से (4) चुनने हैं। एक जोड़ी (P) के दोनों सदस्य साथ नहीं चुने जा सकते और दूसरी जोड़ी (Q) से कम से कम (1) सदस्य चुना जाना चाहिए। दोनों जोड़ियां अलग हैं। कितने चयन संभव हैं?
पहले (Q) से कम से कम (1) सदस्य वाले चयन \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\) हैं। इनमें (P) की दोनों सदस्य वाली \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) स्थितियां घटाएं, उत्तर (80)। / First count selections with at least (1) member from (Q): \(^{9}C_{4}-^{7}C_{4}=91\). Subtract \(^{7}C_{2}-^{5}C_{2}=11\) cases containing both members of (P), giving (80).
हर पेशे से (2) चुनें और परिणामों को गुणा करें। संख्या \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\)। / Choose (2) people from each profession and multiply the results. The number is \(^{5}C_{2}\times{}^{6}C_{2}\times{}^{7}C_{2}=3150\).
निश्चित सदस्य को शामिल मानकर शेष (14) में से (5) चुनें और दोनों विशेष साथ वाले \(^{12}C_{3}\) घटाएं। उत्तर \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\) है। / After fixing the required member, choose (5) from the remaining (14) and subtract cases where both special members are together, \(^{12}C_{3}\). The answer is \(^{14}C_{5}-{}^{12}C_{3}=1782\).
