Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
धन पूर्णांक हलों के लिए पहले हर चर को (1) दें। संख्या \(^{19}C_{4}=3876\) है। / For positive integer solutions, give (1) to each variable first. The count is \(^{19}C_{4}=3876\).
कुल (11) चालों में से (7) दाईं चालों के स्थान चुनें। संख्या \(^{11}C_{7}=330\) है। / Choose the positions of (7) right moves among (11) moves. The number is \(^{11}C_{7}=330\).
वृत्त पर कोई भी (4) बिंदु एक चतुर्भुज बनाते हैं। इसलिए संख्या \(^{11}C_{4}=330\)। / Any (4) points on the circle form a quadrilateral. Hence the number is \(^{11}C_{4}=330\).
निश्चित सदस्य को पहले चुन लें और बाकी (2) को (17) में से चुनें। संख्या \(^{17}C_{2}=136\) है। / Fix the required member first and choose the remaining (2) from (17). The number is \(^{17}C_{2}=136\).
\(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\) होता है। इसे \(\frac{11}{5}\) के बराबर रखने पर (n=15)। / \(\frac{^{n}C_{5}}{^{n}C_{4}}=\frac{n-4}{5}\). Equating it to \(\frac{11}{5}\) gives (n=15).
समानता में पूरक सूचकांक का योग (n) है। इसलिए (r+(r+1)=n), अतः (n=2r+1)। / For equality, complementary indices add to (n). Thus (r+(r+1)=n), so (n=2r+1).
क्योंकि \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), योग \(2,^{15}C_{7}\) है। पास्कल से यह \(^{16}C_{8}\) भी है। / Since \(^{15}C_{8}=^{15}C_{7}\), the sum is \(2,^{15}C_{7}\). By Pascal's rule it is also \(^{16}C_{8}\).
दो (n) आकार के समूहों से (3) चुनने में सभी (3) एक समूह से या (2,1) विभाजन से आते हैं। यही पहचान है। / While choosing (3) from two groups of size (n), either all (3) come from one group or the split is (2,1). This proves the identity.
किसी भी (4) शीर्षों से एक चतुर्भुज बनता है। इसलिए संख्या \(^{12}C_{4}=495\) है। / Any (4) vertices form one quadrilateral. Thus the number is \(^{12}C_{4}=495\).
समान (n) के लिए \(^{n}C_{r}=^{n}C_{s}\) होने पर (r=s) या (r+s=n)। यहां (n=10) है। / For same (n), \(^{n}C_{r}=^{n}C_{s}\) implies (r=s) or (r+s=n). Here (n=10).
अनुपात \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\) होगा, इसलिए (n=14)। परीक्षा में पहले अनुपात लिखें। / The ratio is \(\frac{^{n}C_{3}}{^{n}C_{2}}=\frac{n-2}{3}\), so (n=14). In exams write the ratio first.
सममिति से (4= n-2), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में \( \binom{n}{r}=\binom{n}{s} \) हो तो (r=s) या (r+s=n) जाँचें। / By symmetry, (4=n-2), so (n=6). In exams, when \( \binom{n}{r}=\binom{n}{s} \), check (r=s) or (r+s=n).
