Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (r) brackets से (b) चुनते हैं/Because (b) is chosen from (r) brackets
Explanation
Simple Explanation
\(b^r\) बनाने के लिए (n) brackets में से (r) brackets चुनते हैं। परीक्षा में binomial coefficient को bracket selection से जोड़ें। / To form \(b^r\), choose (r) brackets from (n) brackets. In exams connect binomial coefficients with bracket selection.
Coefficients \(^{10}C_3\) और \(^{10}C_7\) हैं और (3+7=10) है। परीक्षा में पूरक powers के coefficients बराबर होते हैं। / The coefficients are \(^{10}C_3\) and \(^{10}C_7\), and (3+7=10). In exams coefficients of complementary powers are equal.
Coefficient क्रमशः \(^{9}C_4\) और \(^{9}C_5\) हैं और ये पूरक indices हैं। परीक्षा में binomial coefficients में symmetry देखें। / The coefficients are \(^{9}C_4\) and \(^{9}C_5\), which have complementary indices. In exams check symmetry in binomial coefficients.
A. (b) को (r) brackets से चुनना/Choosing (b) from (r) brackets
Explanation
Simple Explanation
(n) brackets में से (r) brackets में (b) चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके हैं। परीक्षा में binomial coefficient को selection मानें। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (b) from (r) of the (n) brackets. In exams treat a binomial coefficient as selection.
\(a^{3}b^{5}\) के लिए (a) वाले (3) स्थान चुनें। गुणांक \(^{8}C_{3}=56\) है। / For \(a^{3}b^{5}\), choose the (3) positions of (a). The coefficient is \(^{8}C_{3}=56\).
गुणांक \(^{10}C_{4}\times2^{4}\) होगा। इसका मान \(210\times16=3360\) है। / The coefficient is \(^{10}C_{4}\times2^{4}\). Its value is \(210\times16=3360\).
गुणनफल ( (1+x)^{12} ) है, इसलिए गुणांक \( \binom{12}{8}=495 \)। द्विपद गुणन में घातें जोड़कर सरल करें। / The product is ( (1+x)^{12} ), so the coefficient is \( \binom{12}{8}=495 \). In binomial products, combine powers first.
गुणांक \( \binom{12}{5} \) है, इसलिए उत्तर (792) है। परीक्षा में ( (1+x)^n ) में \(x^r\) का गुणांक सीधे \( \binom{n}{r} \) लें। / The coefficient is \( \binom{12}{5} \), so the answer is (792). In exams, for ( (1+x)^n ), the coefficient of \(x^r\) is \( \binom{n}{r} \).
किसी भी आकार के उपसमुच्चय में अवयव चुनने के लिए संयोजन लागू होते हैं। चार तत्वों में से ठीक दो चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं, इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प (12) गलत है क्योंकि यह क्रमबद्ध चयन (permutation) \(P(4,2)=4\times3=12\) को गिनता है जहाँ (p,q) और (q,p) अलग माने जाते हैं; उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता। विकल्प (4) और (8) आम गलती हैं — 4 शायद आंशिक जोड़ी गिनने की गलत धारणा है और 8 किसी अन्य गलत विभाजन/गणना से आया होगा। परीक्षा सुझाव: हमेशा यह तय करें कि क्रम मायने रखता है या नहीं — क्रम नहीं रखें तो \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Use combinations because order does not matter in subsets. The number of ways to choose exactly two elements from four is \(\binom{4}{2}=6\), so the correct answer is 6. Option 12 is incorrect because it counts ordered selections (permutations) \(P(4,2)=4\times3=12\), treating (p,q) and (q,p) as different; subsets do not consider order. Options 4 and 8 arise from mistaken counting methods. Exam tip: first decide whether order matters — if not, apply \(\binom{n}{r}\).
A के ठीक दो अवयव चुनने की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए हम संयोजनों का उपयोग करते हैं। विकल्प C (20) गलत है क्योंकि यह \({}_5P_2=5\times4=20\) है, जो क्रमगणना (ordered pairs) को गिनता है। विकल्प A (5) और D (25) भी गलत हैं — 25 बराबर है \(5^2\) जिसका अर्थ है क्रम तथा रिप्लेसमेंट के साथ जोड़े; 5 किसी भी उपसमुच्चयों की सही गिनती नहीं दर्शाता। परीक्षा सुझाव: सीधे सूत्र \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) याद रखें। / The number of ways to choose exactly two elements from A is given by the combination \(\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10\). Subsets are unordered, so combinations are used. Option C (20) is wrong because \({}_5P_2=5\times4=20\) counts ordered pairs (permutations). Options A (5) and D (25) are also incorrect — 25 equals \(5^2\) (ordered selections with replacement), while 5 is not the correct count for two-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) for quick answers.
पहले तत्व 5 को बाहर कर दें; बचे हुए तत्व {1,2,3,4} में से किसी भी दो को चुनना है। इसलिए संख्या है \\(\\binom{4}{2} = 6\\)। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि यह किसी त्रुटिपूर्ण, अधूरा गणना दर्शाता है। विकल्प C (8) गलत है — 8 किसी मान्य \(nCk\) का परिणाम नहीं है यहाँ। विकल्प D (10) गलत है; 10 बराबर होता है \(\\binom{5}{2}\\), जो तब मिलेगा जब 5 को बाहर न किया गया हो। परीक्षा टिप: किसी तत्व को "शामिल नहीं" करना हो तो पहले उसे सेट से हटा दें और बची वस्तुओं पर \(nCk\) लागू करें। / Exclude the element 5 first; then choose 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is \\(\\binom{4}{2}=6\\). Option A (4) is an undercount due to incorrect selection. Option C (8) is not a valid result of a correct combination computation for this case. Option D (10) equals \\(\\binom{5}{2}\\), which you get only if you do not exclude 5. Exam tip: When a specific element must be excluded, remove it first and then apply combinations to the remaining elements.
किसी भी उपसमुच्चय के लिए अवयवों का चयन क्रमहीन होता है, इसलिए यह संयोजन की समस्या है। 5 तत्वों में से 3 चुनने के तरीके की संख्या \\(
\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!2!}=10
\\) है। इसलिए सही उत्तर 10 है। निकटतम भ्रामक विकल्प 15 इसलिए गलत है क्योंकि वह किसी गलत संयोजन या अनुचित गणना का परिणाम हो सकता है — वास्तविक सही संयोजन 5 में से 3 चुनने पर 10 ही देता है। परीक्षा सुझाव: हमेशा यह याद रखें कि उपसमुच्चयों के लिए क्रम मायने नहीं रखता, अतः संयोजन \\(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Selection of elements for a subset is unordered, so this is a combinations problem. The number of ways to choose 3 elements from 5 is \\(
\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!2!}=10
\\). Hence 10 is correct. The closest distractor 15 is incorrect — it comes from a mistaken calculation, not from the correct combination formula for 5 choose 3. Exam tip: for counting r-element subsets of an n-element set always use \\(\binom{n}{r}\) because order does not matter.
